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第九章,第五節,一、一個方程所確定的隱函數 及其導數,二、方程組所確定的隱函數組 及其導數,隱函數的求導方法,一、一個方程所確定的隱函數及其導數,定理1. 設函數,則方程,單值連續函數 y = f (x) ,并有連續,(隱函數求導公式),定理證明從略，僅就求導公式推導如下：, 具有連續的偏導數;,的某鄰域內可唯一確定一個,在點,的某一鄰域內滿足,滿足條件,導數,兩邊對 x 求導,在,的某鄰域內,則,若F( x , y ) 的二階偏導數也都連續,二階導數:,則還有,例1,解,定理2 .,若函數,的某鄰域內具有連續偏導數 ,則方程,在點,并有連續偏導數,定一個單值連續函數 z = f (x , y) ,定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:,滿足, 在點,滿足:,某一鄰域內可唯一確,兩邊對 x 求偏導,同樣可得,則,例2,解,例3,解1,解2,解3,例4.,設F( u, v)具有連續偏導數,解法1 利用偏導數公式.,確定的隱函數.,已知方程,解:,故,對方程兩邊求微分:,解法2 微分法.,二、方程組所確定的隱函數組及其導數,隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.,由 F、G 的偏導數組成的行列式,稱為F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.,以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例 ,即,定理3.,的某一鄰域內具有連續偏,設函數,則方程組,的單值連續函數,且有偏導數公式 :, 在點,的某一鄰域內可唯一確定一組滿足,滿足:,導數；,條件,定理證明略.僅推導偏導數公式如下：,有隱函數組,則,兩邊對 x 求導得,設方程組,在點P 的某鄰域內,故得,系數行列式,同樣可得,例5,解1,解2.,解3,在方程組兩邊求微分得,例6.,解:,在方程組兩邊對 x 求導, 并整理得,(1) 證明方程組,例7.,(1) 將方程組改寫成下面的形式,則按假設,由隱函數存在定理,即得所要證的結論.,(2)將方程組所確定的反函數,解,將上述恒等式兩邊分別對x求導數,得,同理,可得,內容小結,1. 隱函數( 組) 存在定理,2. 隱函數 ( 組) 求導方法,方法1. 利用復合函數求導法則直接計算 ;,方法2. 利用微分形式不變性 ;,方法3. 代公式,練習題:1.

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