S曲線無碳小車-畢業設計論文

S曲線無碳小車設計 I 摘要 S曲線無碳小車來自全國大學生工程訓練綜合能力競賽命題，本文通過認真分析任務要求，確定小車應有的功能，完成了方案設計、技術設計和加工裝配調試三個階段，制作出了行駛平穩輕巧，效率高且轉彎半徑、周期可調的小車，并提出了提高零件精度和增加賽道校準裝置的改進方向。 在方案設計中，根據功能性需求，小車按模塊化設計可分為六個部分：車架、原動機構、傳動機構、轉向機構、驅動系統、微調機構，對每個部分采用擴展性思維尋求多種可行方案，并綜合考慮功能實現、加工裝配、成本可行性等因素進行優化設計。 其中，車架為骨架式玻纖板，原動機構采用滑輪組和變徑繞線軸、轉向機構采用關節軸承連接的曲柄連桿機構、驅動系統采用單輪差速、微調機構采用細螺紋調節搖桿與連桿長度以及微調圓盤調節曲柄長度。 在技術設計中，采用現代機械設計方法，通過MATLAB建模做能耗規律和運動學分析，設計關鍵參數，并使用SolidWorks仿真分析，繪制圖紙。 關鍵詞 模塊化設計，matlab建模，solidworks仿真，曲柄連桿機構，單輪差速 沈陽工程學院畢業設計（論文） II Abstract The non-carbon car of S curve is from the national comprehensive ability training contest of college students of engineering, in this paper, through careful analysis of mission requirements, the cars function is determined. It completed the three phase of technical design and assembly design, debugging, produced a stable running lightweight, high efficiency and turning radius, adjustable cycle cart, and put forward the improvement direction of improving the accuracy of parts and adding the track calibration device. In the design of the scheme, concerning the functional requirements, according to the modular designing,the car can be divided into six parts: frame, driving mechanism, transmission mechanism, a steering mechanism, driving system, adjustment mechanism. For each part, it used the extended thinking to seek a variety of options, andconsider factors, such as the realization of the function, processing and assembling, cost and feasibility, to optimize the design. Among them, the frame is frame type of glass plate, driving mechanism adopts group and variable diameter pulley spool, the steering mechanism adopts a crank connecting rod mechanism, connected by joint bearing, driving system has a differential single wheel, adjusting mechanism uses fine thread to adjust the length of rocker and the connecting rod, and the trimming disc to adjust crank length. In the technical design, using the modern design method, it made energy consumption analysis of law and kinematics by the MATLAB modeling, designed key parameters, then did SolidWorks simulation, and produced drawings. Key Words modular designing, matlab modeling, SolidWorks simulation, crank connecting rod mechanism, single differential wheel S曲線無碳小車設計 III 目錄 摘要 . I Abstract . II 1 緒論. - 1 - 1.1 小車的設計要求. - 1 - 1.2 小車的設計方法. - 2 - 2 方案設計. - 4 - 2.1 車架. - 7 - 2.2 原動機構. - 7 - 2.3 傳動機構. - 10 - 2.4 轉向機構. - 13 - 2.5 驅動系統. - 15 - 2.6 微調機構. - 18 - 3 技術設計. - 20 - 3.1 數學模型的建立及參數確定. - 20 - 3.1.1 能耗規律模型. - 20 - 3.1.2 運動學分析模型. - 23 - 3.1.3 確定零件尺寸. - 27 - 3.2 零部件設計. - 29 - 3.2.1 標準件及材料明細表. - 29 - 沈陽工程學院畢業設計（論文） IV 3.2.2需加工的零件. - 30 - 3.3 整體設計. - 31 - 3.3.1 整體裝配圖. - 31 - 3.3.2 小車運動仿真分析. - 33 - 4 小車的加工、裝配和調試. - 34 - 4.1 小車零件的加工. - 34 - 4.2 小車的裝配. - 35 - 4.3 小車調試. - 36 - 5 評價分析及總結. - 37 - 5.1 小車設計結果. - 37 - 5.2 小車設計的優缺點. - 37 - 5.3 改進方向. - 38 - 5.4 總結和體會. - 38 - 參考文獻. - 39 - 附錄. - 40 - 附錄1 S曲線無碳小車命題要求. - 40 - 附錄2 耗能分析程序. - 41 - 附錄3 運動學分析程序. - 42 - S曲線無碳小車設計 - 1 - 1 緒論 1.1 小車的設計要求 S曲線無碳小車需要采用三輪結構，其前進和轉向的能量來源必須來自給定的重力勢能，即重量1Kg的重塊（ 5065mm，普通碳鋼）垂直下降4002mm獲得的4J能量，重錘下落后需要同小車一起運動，不能脫離車身。 圖1.1 小車標準要求 要求小車一邊前進，一邊自動繞過障礙物，以小車避開障礙物的數量和前進的距離來綜合評定優劣。障礙物為每隔1米放置的直徑 20mm、高200mm的彈性圓棒（如圖1.2）。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 2 - 圖1.2 小車繞障要求 1.2 小車的設計方法 首先認真對小車任務要求（詳見附錄1）進行分析，得到小車明確的設計思路，下面是小車設計的流程。（如圖1.3） S曲線無碳小車設計 - 3 - 圖1.3 設計流程圖沈陽工程學院畢業設計（論文） - 4 - 2 方案設計 通過分析，小車應具備的基本功能有：重力勢能的轉換、驅動自身前進、自動避開障礙物，并且要在一定的能量下盡可能提高前進距離和繞桿數量。 根據小車的功能性需求，進行模塊化設計。小車的設計劃分為六個部分：車架、原動機構、傳動機構、轉向機構、驅動系統、微調機構。采用擴展性思維設計每一個模塊，尋求多種可行的方案并優化設計。 下面為設計圖框（圖2.1）。 S曲線無碳小車設計 - 5 - 圖2.1 設計圖框 在選擇方案時應綜合考慮功能實現、加工制做、成本等各方面因素（如圖2.2），提出多種方案，不輕易做最終實施，從而得到最優的設計方案。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 6 - 圖2.2 方案設計因素 S曲線無碳小車設計 - 7 - 2.1 車架 車架是其他支承件連接的基礎，是最重要的支承件，其結構設計必須合理、巧妙。車架體積不需要很大，所承載的負荷比較小，受力不是很大，主要部件尺寸也都較小。因此可以采用玻璃纖維板材，經雕刻機加工成所需形狀，鉗工修磨后，拼接粘合成三角式車架和其他各個組件。加工簡單，質量可靠，成本低，重量輕。 2.2 原動機構 原動機構的作用主要是將鐵錘下降的重力勢能轉化為小車前進的動能。可以實現這一目的的方案有很多，如繞線輪和齒輪齒條機構，但后者需要較長的空間，不容易實現，從效率和簡潔性來看，采用線輪最佳。通過滑輪和尼龍線將動力傳遞到繞線軸上，實現能量的轉化。 此外，原動機構還應滿足以下具體要求： 1.確保小車的驅動力大小恰當，減小車速，使小車在轉向時不會因重錘慣性或擺動而失穩，甚至傾翻。 2.地面對輪子的摩擦系數可能不同，因此在不同的場地小車是需要的動力也不一樣。在調試時，原動機構還需要能根據不同的需要調整其驅動力。 3.機構簡潔可靠，能量轉化效率高。 綜上分析，本文提出了一種驅動力可調的變徑線軸原動機構。 如下圖2.3所示，重錘拴在線繩的一端，由兩個定滑輪支撐，可以垂直在籠中平穩下降，為繞線軸提供平穩而持續的動力。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 8 - 圖2.3 滑輪組 為了避免小車在拐彎時因速度過大而發生傾翻，或重塊的劇烈搖晃影響其運動。必須限制重塊的晃動，使其重心豎直方向始終經過小車三個輪構成的三角形內，因此采用質量較輕的碳纖維桿和玻纖板材圍成一個直徑合適的籠狀結構（圖2.4），保證重塊在“籠”中平穩下落，維持車體的平衡。此外，碳纖和玻纖材料的使用極大的減輕了小車的重量，同時降低小車的重心高度，保證小車運動中的車身穩定。 S曲線無碳小車設計 - 9 - 圖2.4 重錘在籠狀直筒中下降 線輪軸在小車動力傳遞機構中起到了重力勢能到動能的轉換作用。線輪軸的粗細將直接對小車的驅動力大小，前進速度和加速度產生影響。而線輪軸上的繞線位置將影響線繩對小車車身的力矩，影響兩驅動輪所受的摩擦力分配，進而影響小車前進方向和差速效果。 由于最大靜摩擦一般情況下大于動摩擦因數，起步所需的驅動力也應略大于正常前進所需的驅動力。 如果將線輪軸設計成圓柱，當線輪軸的直徑過小時，將導致重物下落為小車提供的扭矩不足，小車可能會難以起步。當線輪軸的直徑增大到能夠順利起步時，小車在后來的加速度將會過大，使小車不斷加速，行駛過快，影響到車身前進的平穩性，出現側向滑動，甚至有可能出現側翻，此外線輪軸過粗會使繞線的圈數減少，也會減少小車的繞桿數量和縮短前進距離。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 10 - 經過上述分析和反復的實驗改進后，將線輪軸設計成中間一段圓錐面的形式，并改變線繩的纏繞方式，起步時將線繞在直徑大的一段圓柱面上，啟動后工作在直徑逐漸減小的圓錐面，經短暫過渡后再工作在直徑小的軸上。該機構（如圖2.5）可以根據變徑線軸與線繩相切處的直徑大小，調整扭矩的大小。 圖2.5 變徑線軸 該機構（如圖2.5）可以通過改變繩子繞在變徑線軸上的部位不同，調整驅動力的輸出。 2.3 傳動機構 S曲線無碳小車設計 - 11 - 把動力按準確的傳動比傳遞到轉向機構和兩個驅動輪上，是傳動機構的主要作用。為了實現小車更遠的行駛，更多的繞桿和精確繞桿，傳動機構需要滿足傳動比可靠、傳遞效率高、結構簡單、重量輕的特點。 保證傳動鏈與執行件之間的嚴格傳動比，盡量縮短傳動鏈，減少傳動件的個數，縮小傳動誤差，盡量減少能量的轉換次數會有效地提高能量利用率。由繞線軸直接驅動兩個驅動輪，結構最簡單、效率最高。這是在不考慮其它條件時最優的方式，但這顯然不滿足變速和行程及扭矩的需要。因此，只能在考慮到結構合理的前提下，盡量減少傳動副的數量。 圖2.6 傳動機構 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 12 - 實現小車的周期性轉向，必須將繞線軸的動力按精確的傳動比輸出到后輪軸和轉向機構上，使前進與轉向嚴格協調。齒輪傳動結構緊湊、工作可靠、傳動比穩定。齒輪的傳動效率最高可達98%，因此可以很好的提高能量利用效率。考慮到傳動所需載荷較小，金屬齒輪成本較高且重量大，因此選用工程塑料齒輪即可。 帶輪具有傳動距離遠、緩沖吸震等特點。因此從小車結構設計上考慮，在動力傳遞到轉向機構的最后一環，選用帶輪傳動。 各傳動軸的材料要有足夠的支承剛度，減少受載后的彎曲變形，在布置上也要考慮軸的兩支承跨距要盡量小，使齒輪盡量靠近支承處，從而提高傳動機構的工作精度。 繞線軸和驅動軸之間采用一級齒輪增速（如圖2.7）。在兩根傳動軸上安裝能夠相互嚙合的一對直齒輪，前軸（驅動軸）上安裝小齒輪，在后軸上安裝大齒輪，把重物繞線繞于后軸，通過齒輪傳動的傳動比將重物下降的行程放大。 S曲線無碳小車設計 - 13 - 圖2.7 增速齒輪副 2.4 轉向機構 轉向機構是無碳小車設計中的一個關鍵。它需要盡量減少能量損失和可加工性好等基本條件，同時還需要能夠將旋轉運動轉化為滿足要求的來回擺動，帶動前輪導向，從而實現越障的功能。能實現該功能的機構有：直動推桿盤式凸輪機構、圓柱凸輪機構、曲柄連桿機構等。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 14 - 圖2.8 小車俯視圖 依靠直動推桿盤式凸輪機構轉向：通過具有一定曲線輪廓的凸輪，推動轉向桿實現周期性的連續或不連續的任意預期往復運動，控制前輪擺動，以實現按預定軌跡的轉向。其優點是結構簡單緊湊、設計過程簡單，只需給出合理的凸輪輪廓，就可以控制運動，但加工過程比較困難。 依靠圓柱凸輪機構轉向：通過具有一定曲線凹槽的凸輪連接構件，使從動件獲得連續或不連續的規律性擺動。優缺點與直動推桿盤式凸輪機構相同，加工更困難，且精度難以保證、尺寸微調困難，因此不采用。 依靠曲柄連桿機構轉向。依靠曲柄連桿機構推動轉向桿實現周期性的往復轉動，以控制前輪預定往復運動。運動副單位面積所受壓力較小，而且摩擦耗能小，可以使用市場上供應的關節軸承；兩構件之間的連接類型屬于幾何封閉，不像凸輪機構有時需利用外加彈簧來保持接觸。 但是曲柄連桿機構一般情況下只能近似實現給定的運動軌跡，且設計較為復雜；機構作往復運動有較大的慣性力，尤其是在高速時將引起較大的振動和動載荷，故曲柄連桿機構常用于低速場合。 S曲線無碳小車設計 - 15 - 圖2.8 轉向機構 由于本小車設計的速度和傳遞的力不大，零件質量較輕，可以忽略慣性力。而且機構并不復雜，可以用MATLAB和SoildWorks軟件進行參數化設計。而且有現成的標準件和工具可以改造，其中的連桿和曲柄也便于制作微調機構，因此選用該方案。 2.5 驅動系統 驅動系統即為三個輪子，是小車前進和繞障運動的最終執行裝置。需要控制的參數有差速裝置和輪子的材料、直徑、厚度、結構強度等。 根據摩擦理論，摩擦力矩與正壓力的關系為 NM（2.1） 對于固定的材料為常數，滾動摩擦力為 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 16 - RNRMf（2.2） 由等式（2.2）可知，輪子的直徑越大，小車受到的阻力越小，因此行駛距離和繞桿數目越多。但尺寸還需要考慮材料、加工、安裝等等問題，后面將做進一步分析確定。 后輪可以采用的方案有雙輪同步驅動，使用差速器的雙輪差速驅動，使用單向軸承的雙輪差速驅動，單輪差速驅動。 由于小車是沿著曲線前進的，后輪必定會產生差速。車輛在拐彎時車輪的軌跡是圓弧，如果車輛向左轉彎，圓弧的圓心在左側，同一時間內右側輪子的路程比左側輪子長。若兩側車輪固定于同一剛性轉軸上，以同一角速度轉動，則內側或外側車輪在滾動中必然發生滑移。為了減少滑移帶來的能量損失，必須通過動力控制，使左邊車慢于右邊車輪，用不同的轉速來彌補距離的差異，減少輪子與地面的打滑，優化轉向過程。 圖2.9 差速原理圖 雙輪同步驅動必定會產生輪子與地面的打滑，前進受到過多的約束，能量損耗加大，因此應進行優化。 使用差速器的雙輪差速驅動可以避免雙輪同步驅動出現的問題，這種差速方法能較多的減少摩擦損耗，實現預期運動。但是，它需要采用將連接兩輪的車軸斷開的半軸結構，增加了裝配難度，而且車身結構也將變得復雜。 S曲線無碳小車設計 - 17 - 使用單向軸承的雙輪差速驅動，其原理是根據速度調節阻力，自動使速度較大的輪子成為從動輪，速度較慢的輪子成為主動輪，從而交替轉彎。但是，由于單向軸承存在側隙，在主動輪和從動輪的切換過程中將出現誤差，影響運動的精度。 使用單輪差速驅動是固定用一個輪子作主動輪，另一個為從動輪。就像一輛自行車后輪在旁邊裝上一個支撐輪。前進方向的改變完全由前輪控制，轉彎圓弧內側的輪子阻力始終大于外側，從而實現差速。其結構簡單易行，傳動精度比利用單向軸承高，能量利用效率也比差速器高，但速度沒有使用差速器的雙輪差速驅動穩定。 圖2.10 單輪差速 綜上，在本文設計的驅動系統中，輪子直徑、厚度等尺寸應恰當，采用單輪差速驅動。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 18 - 2.6 微調機構 機械裝置通常包括：原動機構、傳動機構、執行機構、控制部分和輔助設備。而微調機構就屬于小車的控制部分。其主要作用是調整小車的軌跡（幅值，方向，周期等），優化小車的軌跡。此外，由于加工誤差和裝配誤差對曲柄連桿機構的影響很大，因此必須對誤差進行修正。 本文設計的曲柄連桿機構包含了一個微調機構，該機構由微調搖桿、微調連接桿、和微調曲柄組成。其中的微調曲柄由一個固定在帶輪軸上的調節圓盤和在圓盤上可以調節徑向位置的月牙板組成（如圖2.11）。 轉向軸承為桿端關節軸承，可以滿足一定角度的空間任意方向的全尺寸旋轉，因為標準件可直接購買，降低了制作成本。 圖2.11 微調連桿和微調曲柄 微調搖桿和微調連桿長度的改變可以實現小車出發時前輪轉角位置的精確調節，從而保證整個軌跡的中位線方向與賽道平行，影響小車的前進軌跡。其微調由螺距很小的螺紋連接實現，可以精確調節其長度。 S曲線無碳小車設計 - 19 - 調節曲柄長度可以對轉向輪擺角幅度進行調整，從而控制小車轉彎軌跡，保證不撞桿，同時實現路線最短最優。調節月牙板在調節圓盤上的徑向位置就可以改變曲柄長度。 而對不同障礙間距的適應，需要改變傳動機構的傳動比，進而改變曲柄運動的周期和角速度，這一點可以對帶輪直徑進行微調修配或者更換帶輪來實現。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 20 - 3 技術設計 在技術設計中，主要任務是將方案付諸實施，具體確定各個零部件的詳細尺寸參數，并完成加工，裝配和調試等過程。 3.1 數學模型的建立及參數確定 使用MATLAB軟件對小車進行數學建模，可以模擬小車在不同參數下的運動和能耗情況，從而對其參數進行優化，得到適合給定軌跡的零件參數，并提高小車的能量利用效率。 3.1.1 能耗規律模型 在潤滑良好的情況下，小車內部摩擦耗能很小，為分析方便起見，簡化能耗模型，僅考慮車輪與地面的摩擦阻力。 設小車的能量利用效率為，輪子與地面的摩擦系數為。則有 S曲線無碳小車設計 - 21 - 3131*iiiiRNgmNmghsii總（3.1） 式中iN 為第i個輪子對地面的壓力； iR 為第i個輪子的半徑； iS 為第i個輪子行走的距離； 總m 為小車的質量。 下面詳細模擬小車的參數變化與前進距離的關系，分別從輪子的半徑和小車的重量兩個參數考慮其影響。（MATLAB程序詳見附錄2） 圖3.1為摩擦系數為0.5，車輪半徑依次增加10mm時，小車前進距離與小車驅動效率的關系圖。 圖3.2為摩擦系數為0.5，重量依次增加0.2kg時，小車前進距離與小車驅動效率的關系圖。 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 22 - 圖3.1 小車在不同車輪半徑下前進距離與驅動效率的關系 圖3.2 小車在不同重量下前進距離與驅動效率的關系 由圖可知，當隨著車輪半徑的增加和重量的減小，小車前進距離將變大。所以，在設計時應盡量使用大的車輪半徑和輕的車身。 S曲線無碳小車設計 - 23 - 3.1.2 運動學分析模型 （1）變量聲明（如圖3.3）： 后輪半徑R 后輪A與前輪轉動中心橫向偏距1a 后輪B與前輪轉動中心橫向偏距2a 驅動軸與前輪轉動中心的距離d 曲柄軸與前輪轉動中心的距離b 搖桿長c 連桿長l 曲柄長0r 繞線軸與線繩相切處的截面圓半徑1r 小帶輪基準半徑4r 大帶輪基準半徑5r 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 24 - 圖3.3 小車參數符號說明 a、驅動模型： 當重塊下降dh時，繞線軸轉過的角度為1d ，有 11dhdr （3.2） 驅動軸轉過的角度為2d ，則 1212ddi （3.3） 小車移動的距離為 S曲線無碳小車設計 - 25 - 2ds R d （3.4） b、轉向模型： 由傳動機構可得 2253 245 25 4 3iz zd rd dr z z （3.5） 設繞線軸與轉向桿的夾角為時，曲柄轉過的角度為5 則與5 的關系可用方程表示為： 5 52 2 2 2 20 0( cos ) ( sin sin ) cosl c c b r c r （3.6） 解方程得關于5 的函數關系式 5f （3.7） c、小車運動軌跡模型 當轉向輪轉過角度時，A輪為驅動輪，B輪為從動輪。 則小車轉彎的曲率半徑為 1tanda （3.8） 小車前進ds時，整體轉過的角度為 dsd（3.9） 當小車轉過的角度為時，有 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 26 - sincosdx dsdy ds （3.10） d、小車其他輪的軌跡 以A輪中心為原點，構建小車的運動坐標系， B輪中心的坐標為 1 2,0B a a C輪中心的坐標為 1,C a d 因此，當小車轉過的角度為時，有 1 21 2cossinB AB Ax x a ay y a a （3.11） 11cos sincos sinC AC Ax x a dy y d a （3.12） 將微分方程改成差分方程來求解，并繪制三個車輪的運動曲線（MATLAB程序詳見附錄3），即可得到小車的運動軌跡，如圖3.4所示即為一組參數下小車的運動軌跡。 S曲線無碳小車設計 - 27 - 圖3.4 小車軌跡模擬 3.1.3 確定零件尺寸 經過理論計算和軟件模擬，并分析結構的合理性，最終確定小車各個機構零件的具體尺寸（單位：mm）。 后輪半徑 30R 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 28 - 后輪A與前輪轉動中心橫向偏距148a 后輪B與前輪轉動中心橫向偏距248a 驅動軸與前輪轉動中心的距離 150d 曲柄旋轉中心與前輪轉動中心的距離 87b 搖桿長 53c 連桿長 87.4l 曲柄長08r 繞線軸與線繩相切處的截面圓半徑12r 小帶輪基準半徑42r 大帶輪基準半徑518.2r S曲線無碳小車設計 - 29 - 圖3.5 尺寸符號示意圖 3.2 零部件設計 3.2.1 標準件及材料明細表 表3.1 標準件及材料明細表 編號 材料及標準件 毛坯種類 毛坯尺寸 毛坯數 每臺件數 型號 1 玻璃纖維 板料 2002003 5 5 2 碳纖維 棒料 31000 12 12 3 碳纖維 棒料 4100，內徑2 1 1 4 45鋼 棒料 10500 1 5 5 深溝球軸承 2.5*6*2.6 (d*D*B) 3 3 NMB 682XZZ 6 深溝球軸承 2*5*2.3 (d*D*B) 10 10 NMB 682ZZ 7 滑輪軸承 3*10*3 (d*D*B) 2 2 V623 8 內螺紋桿端關節軸承 2*4*3*6*10*2 (dxBxC1xd2xhxd3) 2 2 9 推力球軸承 3*8*3.5 (d*D*B) 2 2 F3-8 10 直齒輪 m=0.5，z=40 1 1 11 直齒輪 m=0.5，z=38 1 1 12 雙聯直齒輪 m=0.5，z1=34，z2=12 1 1 13 直齒輪 m=0.5，z=18 14 墊片 M21 30 30 15 螺栓 M220 20 20 16 螺母 M2 20 20 17 軸套 2*5*2.3 (d*D*B) 7 7 沈陽工程學院畢業設計（論文） - 30 - 3.2.2需加工的零件 1、驅動軸 材料：45鋼。方法：車工。規格尺寸：直徑3mm，長度120mm。 2、短軸 材料：45鋼。方法：車工。規格尺寸：直徑2mm，長度20mm。 3、繞線軸 材料：45鋼。方法：車工。規格尺寸：直徑2mm，長度110mm。 4、車輪 材料：玻纖板材。方法：數控銑（雕刻機加工）。厚度：3mm，規格尺寸：詳見圖紙。 5、車架板 材料：玻纖板材。方法：數控銑（雕刻機加工）。厚度：3mm，規格尺寸：詳見圖紙。 S曲線無碳小車設計 - 31 -