概率論與數理統計復習1(答案新)

..復習題簡答：第一章設A、B、C表示三個隨機事件,試將下列事件用A、B、C表示出來：〔1B,C都發生,而A不發生；〔2A,B,C中至少有一個發生；〔3A,B,C中恰有一個發生；〔4A,B,C中恰有兩個發生；〔5A,B,C中不多于一個發生；〔6A,B,C中不多于兩個發生。解:〔1〔2〔3〔4〔5〔6把1,2,3,4,5諸數各寫在一張紙片上任取其中三個排成自左而右的次序。問：所得三位數是偶數的概率是多少？所得三位數不小于200的概率是多少？解：〔1〔2甲乙丙三人去住三間房子。求：每間恰有一個的概率；空一間的概率。解:〔1〔2設8支槍中有3支未經試射校正,5支已經試射校正。一射擊手用校正過的槍射擊時,中靶概率為0.8,而用未校正過的槍射擊時,中靶概率為0.3.今假定從8支槍中任取一支進行射擊,求：中靶的概率；若已知中靶,求所用這支槍是已校正過的概率。解:設A：中靶。B：射擊所用槍支是已校正過的。設有甲乙兩盒,其中甲盒內有2只白球1只黑球,乙盒內有1只白球5只黑球。求從甲盒任取一球投入乙盒內,然后隨機地從乙盒取出一球而得白球的概率。解:A：從乙盒取出一球得白球。B：從甲盒中取一白球放入乙盒。設某工廠甲、乙、丙三個車間生產同一種螺釘,產量依次占全廠的45%,35%,20%。如果各車間的次品率依次為4%,2%,5%。現在待出廠產品中檢查出一個次品,試判斷它是由甲車間生產的概率。解：A：任取一個產品是次品。B：產品由甲車間生產。對某種藥物的療效進行研究,假定這藥物對某種疾病治愈率為0.8,現10個患此病的病人都服用此藥,求其中至少有6人治愈的概率。解:X：治愈的人數,第二章某產品5件,其中有2件次品。現從其中任取2件,求取出的2件產品中的次品數X的概率分布律及分布函數。解：次品數X可能的取值為0,1,2分布律為：分布函數為：設連續型隨機變量X的分布函數為,試確常數A,B,并求,及概率密度。解：由及在0的連續性,得A=1,B=-1,所以10、已知連續型隨機變量X有概率密度,求：〔1系數k；〔2分布函數F<x>；P{1.5<X<2.5}。解：由f<x>的規范性,得k=-1/2.11、某元件壽命〔按小時計X服從參數為的指數分布,三個這樣的元件使用1000小時后,都沒有損壞的概率是多少？解：Y：損壞的個數,12、設,計算：〔1P{X<-4},〔2P{|X|>2}。解：13、設隨機變量X在〔-1,1上服從均勻分布,求的概率密度。解：的概率密度為14、設的分布律為X-2-1/2024p1/81/41/81/61/3求〔1,〔2,〔3的分布律。X+203/2246p1/81/41/81/61/3-X+133/21-1-3p1/81/41/81/61/341/4016p7/241/41/81/3第三章15、一整數X隨機地在1,2,3,4四個整數中取一個值,另一個整數Y隨機地在1到X中取一個值,試求〔X,Y的分布律。解：XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/1616、設<X,Y>的概率密度為,試求：〔1系數C；〔2<X,Y>落在D:確定的區域內的概率。解:根據解出17、設<X,Y>的概率分布律為XY11.21.40.811/51/5001.51/51.31/51.21/5求〔1<X,Y>的邊緣分布律；〔2P{X>Y}。解:X11.51.31.2p2/51/51/51/5Y11.21.40.8p2/51/51/51/5〔2P{X>Y}=3/518、設二維連續型隨機變量<X,Y>的概率密度為求<X,Y>的邊緣概率密度,并判斷X,Y是否相互獨立。解:X,Y不相互獨立19、若X,Y獨立且都服從同一概率密度,求〔1<X,Y>的聯合概率密度；〔2P{0<X<1,Y>2}。解:<X,Y>的聯合概率密度函數為或第四章20、一個有n把鑰匙的人要開他的門,他隨機而又獨立地用鑰匙試開。如果除去試開不成功的鑰匙,求試開次數的數學期望。解:設X為試開次數,則X的可能取值為1,2,……,n,且21、對球的直徑作近似測量,設其值均勻地分布在區間內,求球體積的均值。解:22、設X為隨機變量,,試證：。證明：23、設<X,Y>服從上的均勻分布,試求X,Y的相關系數,并說明X與Y是否不相關。解:不是不相關。24、對于隨機變量X,Y,Z,已知求〔1；〔2。解:25、在n重貝努里試驗中,若每次試驗A出現的概率為0.75,試利用切比雪夫不等式求出n,使A出現的頻率在0.74至0.76之間的概率不小于0.9。解:事件A出現的次數第五章26、已知一批產品〔批量很大的次品率,現從這批產品中隨機地抽取1000件進行檢查,求次品數在90至110之間的概率。解:次品數,由中心極限定理近似服從27、設某交換臺每秒種平均被呼叫2次〔交換臺每秒被呼叫次數服從泊松分布,試求在100秒鐘內被呼叫次數在180至220次之間的概率。解:第i秒呼叫次數,100秒內呼叫次數為X,則,由中心極限定理近似服從第六章28、設來自總體的簡單隨機樣本,已知,試求。解:29、設來自總體為標準正態分布的簡單隨機樣本,試確定常數,使得服從分布。解:所以,30、設有N個產品,其中有M個次品,進行放回抽樣。定義如下,求樣本的聯合分布律。解:總體X的分布律為：,則樣本的聯合分布律為31、設一批燈泡的壽命X服從參數為的指數分布,求來自總體樣本的聯合概率密度。解:總體的概率密度：則樣本的聯合概率密度為32、在總體中抽取容量為的樣本,如果要求樣本均值落在<5.6,9.6>內的概率不小于0.95,則至少為多少？解:,,故,樣本容量至少為4.33、設是來自正態分布的一個樣本,分別是樣本均值和樣本方差。求使得。解:,,第七章34、設總體分布律為,求的極大似然估計。解:似然函數：兩邊取對數,兩邊求導數,并令其為0,解出的極大似然估計量為35、設總體密度函數函數為求的矩估計。解:,,用替代,得為矩估計量。36、設是取自某總體的容量為3的樣本,試證下列統計量都是該總體均值的無偏估計,在方差存在且不為0時指出哪一個估計的有效性最差？〔1；〔2；〔3。解:驗證無偏估計略。第三個估計的有效性最差。37、設是來自正態總體的一個樣本,對考慮如下三個估計,,哪一個是的無偏估計？解:第一個是的無偏估計。38、包糖某日開工包糖,抽取12包糖,稱得重量〔單位：0.05Kg為：10.1,10.3,10.4,10.5,10.2,9.7,9.8,10.1,10.0,9.9,9.8,10.3假定重量服從正態分布,試由此數據對該機器所包糖的平均重量及方差,求置信水平為95%的置信區間。解:,平均重量置信水平為95%的置信區間為方差置信水平為95%的置信區間為,,39、隨機地從一批釘子中抽取16枚,測得其長度為〔單位：cm：2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11,設釘長的分布為正態分布,分別對下列兩種情況求出總體均值的90%置信度的置信區間。〔1已知；〔2未知。解:已知,未知,40、已知某煉鐵廠鐵水含碳量服從正態分布,現在測定了9爐鐵水,其平均含碳量為4.484,如果鐵水含碳量的方差沒有變化,可否認為現在生產的鐵水平均含碳量仍為4.55〔？解：設原假設,檢驗統計量拒絕域,因為,故接受.可以認為現在生產的鐵水平均含碳量仍為4.55〔.41、設在木材中抽出100根,測其小頭直徑,得到樣本平均數為,樣本標準差,問該批木材小頭的平均直徑能否認為不低于12cm〔？解：設原假設,檢驗統計量拒絕