平面幾何的產生與數形結合的思想

平面解析幾何的產生與數形結合的思想平面解析幾何的產生

1、平面解析幾何產生的背景

2、平面解析幾何產生的歷史

3、平面解析幾何的基本思想

4、平面解析幾何的發展

5、數形結合的思想

6、平面解析幾何的產生與數形結合的思想的聯系與地位1、平面解析幾何產生的背景

十六世紀以后，由于生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。

比如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；

意大利科學家伽利略發現投擲物體是沿著拋物線運動的。

這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。2、平面解析幾何產生的歷史笛卡爾1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統一起來。費爾瑪雖是一位業余數學家，在牛頓、萊布尼茲大體完成微積分之前，他是為創立微積分作出貢獻最多的人．對數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。3、平面解析幾何的基本思想笛卡爾從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對(x,y)的對應關系。x,y的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。

具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數的一個代數方程來表示了。4、平面解析幾何的發展

歐幾里得幾何

非歐幾何

坐標幾何

群的概念

幾何局部化

幾何整體化歐幾里得幾何歐幾里得在公元前300年左右寫了《幾何原本》。它的主要結論有兩個:

(1)畢達哥拉斯定理這條定理就是我們常說的勾股定理:設有一直角三角形，則長邊的平方等于其它兩邊的平方和。

(2)三角形三內角之和等于180°如果以弧度為單位，也可以說三角形三內角之和等于π。非歐幾何從三角形三內角之和等于180°這個結論，而有接下來的重要發展:(1)球面幾何我們所討論的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這種情形下，三角形三內角之和必然大于180°，并且有一個非常重要的公式:

A+B+C-π=S/R2(2)雙曲型的非歐幾何在這種情形下，三角形三內角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:

A+B+C-π=-S/R2

在空間或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像雙曲幾何。而其相對應的三角形三內角和，也分別有大于或小于180°的情形，不再滿足歐幾里得的平行公理，因此它們也被稱作“非歐幾何”。坐標幾何歐幾里得幾何之后，還有一個重要的發展是坐標幾何。有了解析幾何，即可用解析的方法進行幾何學的討論。這樣的發展不但使幾何問題的處理容易些，而且更有其重大的意義:

(1)解析化之后，可擴大所研究的圖形的范圍。

(2)研究的圖形不再局限在二維的平面上，而可推廣至高維空間。群的概念群的概念，這是數學上一個基本的結構。數學總是要運算，加、減、乘、除。要把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結果，可經由一次運動來達成；具有這個特殊性質的，便稱為一個群，幾何學研究的對象，應是經運動群變換后不變的幾何性質。研究幾何性質在投影群變換之下不變的是投影幾何。

在幾何學的發展之中，有許許多多不同的幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結起來，他就是德國的數學家克萊因。克萊因把幾何學建立在群的觀念上:一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置；因此有了一個群之后，便有一種幾何，研究經過這個變換群變換之后保持不變的所有圖形的幾何性質。幾何局部化黎曼所創立的幾何把幾何局部化，可以說是幾何學的第四個發展，這是笛卡爾坐標幾何的自然推廣。1854年，黎曼在為取得大學教授資格的公開演講上，發表了關于黎曼幾何的第一篇論文。真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。幾何整體化黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區域里面，所以局部化之后又要整體化，又要把它擴充到全空間。幾何整體化可說是幾何學的第五個發展。而在這個整體化的擴充中，最要緊的就是拓撲學，即俞大維先生說的“橡皮幾何學”。