第一、二、三章習題、例題

1-1一質點在平面上作曲線運動，t1時刻的位置矢量為,t2時刻的位置矢量為，求（1）在時間內位移的矢量式；（2）該段時間內位移的大小和方向；（3）在坐標圖上畫出。（題中r以m為單位，t以s為單位）解：y(m)x(m)O（-2,6）（2,4）1-12-22-3346-26.601-3已知一質點的運動方程為式中t以s為單位，x、y以m為單位（1）計算并圖示質點的運動軌跡；（2）求出t=1s到t=2s這段時間質點的平均速度；（3）計算1s末和2s末質點的速度；（4）計算1s末和2s末質點的加速度。解：質點的運動軌跡為拋物線（x>0）。1-9質點從靜止出發沿半徑R=3m的圓周作勻變速運動，切向加速度。問（1）經過多少時間后質點的總加速度恰好與半徑成45度角？（2）在上述時間內，質點所經歷的角位移和路程各為多少？解：2-4A、B、C三個物體，質量分別是

當把它們如圖a所示放置時，物體系統正好做勻速運動。（1）求物體C與水平桌面間的摩擦因數；（2）如果將物體A移到物體B的上面，如圖b所示，求系統加速度及繩中張力（滑輪與繩的質量不計）。BACBACB解：滑輪和繩的質量不計，則繩中張力處處相等，設為FT.ACFTFNFfB（1）如圖a放置時，因A,B,C的加速度為零，A和C可視為一個整體，有牛頓第二定律：對A,C豎向水平且對B圖a（2）如圖b放置時，受力及運動情況如圖b,有牛頓第二定律，對C：FfFTCABFTa圖b2-9一質量為m的滑塊，沿如圖所示的軌道以初速無摩擦地滑動，求滑塊由A運動到B的過程中所受的沖量，并圖示（OB與地面平行，取i水平向右，j豎直向上）。解：物體由A到B的運動過程中，只有重力對物體做功，物體和地球系統機械能守恒，取水平軌道上重力勢能為零，則有：ARBIABPAPBji2-22A,B兩輕質彈簧，勁度系數分別為k1和k2，把他們如圖串接后，再懸一質量為m的重物C,釋手后，任其運動。（1）設某時刻兩彈簧共伸長x，求A，B的分別伸長值x1和x2

（2）A,B串接后，把他們看做一個新彈簧，設新彈簧的勁度系數為k，請用k1和k2表示k

（3）某時刻，作用在重物C上的彈力正好等于重物C的重量，這時彈簧、重物、地球系統處于平衡，求此時兩彈簧的總伸長量。

（4）重物從初位置（兩彈簧都沒有伸長時）運動到平衡位置的過程中，彈力和重力做功分別是多少？二者合力做功是多少？（5）設重力勢能的零勢能點和彈性勢能的零勢能點都在初位置處，分別求在平衡狀態時的重力勢能和彈性勢能。（6）運動過程中不計任何阻力，求平衡位置處重物C的動能Ek和系統的機械能EM.解：（4）以A,B都無伸長時，B之自由端為坐標原點O,向下為正向，建立坐標系，設系統平衡時，彈簧共伸長x，則：（5）由于O點處因此系統平衡時：3-6如圖所示，兩物體的質量分別為m1和m2，滑輪的轉動慣量為J,半徑為r，如m2與桌面的摩擦因數為，求系統的加速度a及繩中的張力FT1與FT2(設繩子與滑輪間無相對滑動)。FT1m1m2FT2m1m2FT2FN2Ffa解：分別以m1，m2和滑輪為研究對象，他們的受力和運動情況如上圖，對m1，m2應用牛頓第二定律，對輪應用轉動定律：m2FT2FN2Ffam13-8質量為m1，長為l的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉動，他原來靜止在平衡位置上，現在一質量為m2的彈性小球飛來，正好在棒的下端于棒垂直地相撞，撞后，棒從平衡位置處擺動達到最大角度，如圖所示。（1）設碰撞為彈性，試計算小球的初速度大小；（2）相撞時，小球受到多大的沖量？m1m2vl/2EpG=0解：球棒碰撞瞬間，球、棒所受重力作用線過軸O,對軸O的矩皆為零，軸處無摩擦力矩，因此球棒的碰撞過程系統動量矩守恒。（1）球對軸O的初動量矩L20=m2vl,棒初動量矩L10=0;設碰撞后瞬時，小球的速度為

，棒的角速度為，則

由動量矩守恒得：由彈性碰撞動能守恒得：棒由平衡位置擺到最大偏轉角的過程，棒、地球系統，只有重力做功，機械能守恒，如圖示，取平衡位置棒中心重力勢能為零，中心末位置上升，棒在末位置的重力勢能為由機械能守恒，有：l/2EpG=0h（2）對小球由動量定理：負號表示棒施予球的沖量與棒初速反向。例1剛體質量為面分布(薄板狀剛體)一均勻圓盤質量為，半徑,求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉動慣量.解：引入質量面密度，單位面積質量為整個圓盤對該軸轉動慣量為薄圓盤可以看成是許多同心圓盤的集合，在圓盤上任取一半徑為，寬度為的窄圓環，圓環的面積為，圓環質量.此窄圓環上各點到轉軸距離都為，該圓環對通過盤心垂直于圓盤的軸的轉動慣量為例2半徑R質量M的圓盤滑輪可繞通過盤心的水平軸轉動，滑輪上繞有輕繩，繩的一端懸掛質量為m的物體。當物體從靜止下降距離h時，物體速度是多少？(設滑輪與繩子間無摩擦)解：以滑輪、物體和地球組成系統為研究對象。由于只有保守力做功，故機械能守恒。設終態時重力勢能為零。初態：動能為零，重力勢能為mgh末態：動能包括滑輪轉動動能和物體平動動能由機械能守恒解：以小球為研究對象，受到彈性力、重力、圓環對重物支持力例3

一彈性系數為的輕彈簧，其一端固定在鉛垂面內圓環的最高點處，另一端系一質量為的小球，小球穿過圓環并在圓環上做摩擦不計的運動。設彈簧的原長與圓環的半徑相等，求重物自彈簧原長點無初速的沿著圓環滑至最低點時所獲得的動能。分析：重物在滑動過程中，支持力不做功，只有重力和彈性力做功且兩者都是保守力，故重物在滑動過程中機械能守恒。取通過點水平面為零勢能面，彈簧原長為彈簧勢能零勢能面由機械能守恒定律由此得到重物在點動能為零勢能為重物在點動能為勢能為零彈性勢能為

例4：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一端縛在一根豎直放置的細棒上,小球被約束在水平面內繞細棒旋轉,某時刻角速度為1，細繩的長度為r1。當旋轉了若干圈后,由于細繩纏繞在細棒上,繩長變為r2,求此時小球繞細棒旋轉的角速度2

。解：小球受力繩子的張力

,指向細棒；重力

，豎直向下；支撐力

,豎直向上。

與繩子平行,不產生力矩；

與平衡，力矩始終為零。所以,作用于小球的力對細棒的力矩始終等于零,故小球對細棒的角動量必定是守恒的。根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線速度,v2是半徑為r2時小球的線速度。代入上式得解得可見,由于細繩越轉越短,,小球的角速度必定越轉越大,即。而解:將行星看為質點,在dt

時間內以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時間內掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據質點角動量的定義則om·

例5：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。試用角