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第二章Laplace變換Fourier變換的兩個限制：1§1Laplace變換的概念

2tf(t)Otf(t)u(t)e-btO31.定義：4例1求單位階躍函數解：根據拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有5例2

求指數函數f(t)=ekt

的拉氏變換(k為實數).這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為復數時上式也成立,只是收斂區間Re(s)>Re(k)解：根據拉氏變換的定義,有62.拉氏變換的存在定理若函數f(t)滿足:

(1)在t0的任一有限區間上分段連續;

(2)當t時,f(t)的增長速度不超過某一指數函數,即

存在常數M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面內,F(s)為解析函數.7證明：由條件2可知,對于任何t值(0t<),有注1：大部分常用函數的Laplace變換都存在(常義下);|f(t)e-st

|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,b=Re(s)>c:注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.8MMectf(t)tO9§2Laplace變換的性質與計算

本講介紹拉氏變換的幾個性質,它們在拉氏變換的實際應用中都是很有用的.為方便起見,假定在這些性質中,凡是要求拉氏變換的函數都滿足拉氏變換存在定理中的條件,并且把這些函數的增長指數都統一地取為c.在證明性質時不再重述這些條件.10例3求f(t)=sinkt(k為實數)的拉氏變換。11同理可得解：122.微分性質:此性質可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉化為F(s)的代數方程.特別當時，有13例4求的拉氏變換（m為正整數）。解：14象函數的微分性質:15例5求(k為實數)的拉氏變換.163.積分性質:例6求

的拉氏變換.17象函數積分性質:則18例7求函數的拉氏變換.解：19函數f(t-t)與f(t)相比,f(t)從t=0開始有非零數值.f(t-t)是從t=t開始才有非零數值.即延遲了一個時間t.從它的圖象講,f(t-t)是由f(t)沿t軸向右平移t而得,其拉氏變換也多一個因子e-st.Ottf(t)f(t-t)20例8

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