2023年數學中考復習重難點突破-二次函數的最值（含答案）

2023年數學中考復習重難點突破——二次函數的最值一、單選題1．二次函數有最小值，則a的值為（）A．1 B．-1 C． D．2．拋物線的頂點坐標是（）A． B． C． D．3．某商場降價銷售一批名牌襯衫,已知所獲利潤y(元)與降價x(元)之間的關系是y=-2x2+60x+800,則利潤獲得最多為()A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元4．設a，b是實數，定義@的一種運算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，則下列結論：①若a@b=0，則a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在實數a，b，滿足a@b=a2+5b2④設a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當a=b時，a@b最大．其中正確的是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③5．拋物線，如圖所示，則函數y的最小值和最大值分別是（）A．-3和5 B．-4和5 C．-4和-3 D．-1和56．二次函數y=ax2+bx+c，自變量x與函數y的對應值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列說法正確的是（）A．拋物線的開口向下 B．當x＞﹣3時，y隨x的增大而增大C．二次函數的最小值是﹣2 D．拋物線的對稱軸是x=﹣7．我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C． D．58．如果函數y=2x2﹣3ax+1，在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為﹣23，則a的值為（）A． B． C．或 D．9．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點M為對角線AC上的一個動點（不與端點A，C重合），過點M作ME⊥AD，MF⊥DC，垂足分別為E，F，則四邊形EMFD面積的最大值為（）A．6 B．12 C．18 D．2410．如圖，已知點A（4，0），O為坐標原點，P是線段OA上任意一點（不含端點O，A），過P、O兩點的二次函數y1和過P、A兩點的二次函數y2的圖象開口均向下，它們的頂點分別為B、C，射線OB與AC相交于點D．當OD=AD=3時，這兩個二次函數的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．4二、填空題11．某種火箭背向上發射時，它的高度h（m）與時間t（s）的關系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．經過s，火箭到達它的最高點．12．當x＝0時，函數y＝2x2+4的值為.13．飛機著陸后滑行的距離S（單位：m）與滑行的時間t（單位：s）的函數關系式是S=80t﹣2t2，飛機著陸后滑行的最遠距離是m．14．已知二次函數，當時，函數值的最小值為，則的值是．15．如圖，在矩形OABC中，點A在x軸的正半軸，點C在y軸的正半軸．拋物線y=x2﹣x+4經過點B，C，連接OB，D是OB上的動點，過D作DE∥OA交拋物線于點E（在對稱軸右側），過E作EF⊥OB于F，以ED，EF為鄰邊構造?DEFG，則?DEFG周長的最大值為．三、解答題16．已知二次函數的圖像經過點和點，求該函數的表達式，并求出當時，的最值.17．如圖，矩形ABCD的兩邊長AB＝18cm，AD＝4cm，點P、Q分別從A、B同時出發，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動．設運動時間為x秒，△PBQ的面積為y(cm2)．

(1)求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

(2)求△PBQ的面積的最大值．18．函數學習中，自變量取值范圍及相應的函數值范圍問題是大家關注的重點之一，請解決下面的問題．（1）分別求出當2≤x≤4時，三個函數：y=2x+1，y=，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．（2）對于二次函數y=2(x-m)2+m-2，當2≤x≤4時有最小值為1，求m的值．19．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．

（1）請用含t的代數式表示出點D的坐標；

（2）求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少？

（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．

若不能，請說明理由；

（4）請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長．20．已知二次函數y=x2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：x…-101234…y…830-103…（1）求該二次函數的解析式；

（2）當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

（3）若A（m，y1），B(m+2，y2)兩點都在該函數的圖象上，計算當m取何值時，？21．如圖，直線y=kx+b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．（Ⅰ）求直線y=kx+b的函數解析式；（Ⅱ）若點P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關于x的函數解析式，并求d取最小值時點P的坐標；（Ⅲ）若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】1612．【答案】413．【答案】80014．【答案】15．【答案】16．【答案】解：∵二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點（4，3），（3，0），∴，解得，，∴函數解析式為：y=x2-4x+3，y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴當x=0時，y有最大值是3．17．【答案】解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，

∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0<x≤4)；

(2)由(1)知，y＝－x2＋9x，∴y＝－＋，

∵當0<x≤時，y隨x的增大而增大，

而0<x≤4，∴當x＝4時，y最大值＝20，

即△PBQ的最大面積是20cm2.18．【答案】（1）解：∵在函數y=2x+1中，k=20，∴函數y隨x的增大而增大，∴y=2x+1的最大值為9，最小值為5；中，k=20，∴函數y隨x的增大而減小，則函數y=的最大值為1，最小值為；y=2(x+1)2-1的最大值為19，最小值為3.（2）解：①當m=2時，當x=2時，y最小值為1，代入解析式，解得m=（舍去）或m=1∴m=1②當2≤m≤4時，m-2=1，∴m=3③當m>4時，當x=4時，y最小值為1，代入解析式，無解．綜上所述：m=1或m=319．【答案】解：（1）∵點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，

∴OP=t，而OC=2，

∴P（t，0），

設CP的中點為F，則F點的坐標為（，1），

∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，其坐標為（t+1，）；

（2）S=

∴當t=2時，S最大，最大值為1

（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下兩種情況：

①當∠PDA=900時，由勾股定理得，

又，，

，

即t2-4t-12=0，解得t1=2，t2=6（不合題意，舍去）

②當∠PAD=900時，點D在BA上，故AE=3－t，得t=3

綜上，經過2秒或3秒時，△PAD是直角三角形；

（4）∵根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2，

∴點D運動路線的長為2．20．【答案】（1）由表格得：二次函數與x軸的兩交點分別為（1，0），（3，0），

設二次函數解析式為y=a（x-1）（x-3），

將x=0，y=3代入得：3=3a，即a=1，

則二次函數解析式為y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3.

（2）由（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

則當x=2時，ymin=-1.

將A坐標代入二次函數解析式得：y1=m2-4m+3；

B坐標代入二次函數解析式得：y2=（m+2）2-4（m+2）+3=m2-1，

若y1＞y2，則m2-4m+3＞m2-1，

解得：m＜1．21．【答案】解：（Ⅰ）由題意可得，解得，∴直線解析式為y=x+3；（Ⅱ）如圖1，過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，設H（m，m+3），則PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+，∴d與x的函數關系式為d=（x﹣）2+，