高二物理競賽波函數課件

一、波函數：描述具有波粒二象性粒子的運動函數。1）自由粒子的波函數設一自由粒子，不受外力作用，則粒子作勻速直線運動（設沿X軸），其動量、能量保持恒定。恒定！恒定！從波動觀點看來：這種波只能是單色平面波X從不確定關系來研究：沿整個X軸傳播波列長為長。結論：自由粒子的DeBr?glie波是單色平面波其波函數為：依德布羅意關系式其波函數為：常寫成復數：r當粒子沿著方向傳播時：ZXY其中：注意：波函數一般要用復數表示！P—三維自由粒子的波函數二.波函數的統計解釋：概率波（1926年）單電子雙縫實驗玻恩獲得1954年諾貝爾物理學獎7個電子在觀察屏上的圖像100個電子在屏上的圖像屏上出現的電子說明電子的粒子性。單個電子的去向是概率性的，但隨著電子數目的增多顯示出統計規律性。結論：干涉實驗所揭示的電子的波動性是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果，或者是許多電子在同一個實驗中的統計結果。正比于該點附近感光點的數目

正比于該點附近出現的電子數目正比于單個電子出現在點附近的概率

點附近干涉圖樣的強度物質波的強度大光強度大光波振幅平方大光子在該處出現的概率大（微粒觀點）波函數振幅平方大單個粒子在該處出現的概率大（波動觀點）（微粒觀點）類比光的干涉實驗（波動觀點）光子在某處出現的概率和該處光振幅的平方成正比粒子在某處出現的概率和該處波函數振幅的平方成正比

概率幅模的平方2概率密度概率幅波函數是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”

代表t時刻在處單位體積中發現一個粒子的概率t

時刻在附近dV內發現粒子的概率為：結論（一）波函數所描述的是處于相同條件下，大量粒子的一次行為和一個粒子多次性重復行為。

微觀粒子遵循的是統計規律，而不是經典的決定性規律。牛頓說：只要給出了初始條件，下一時刻粒子的軌跡是已知的，決定性的。量子力學說：波函數不給出粒子在什么時刻一定到達某點，只給出到達各點的統計分布；即只知道||2大的地方粒子出現的可能性大，||2小的地方幾率小。一個粒子下一時刻出現在什么地方，走什么路徑是不知道的（非決定性的）3

在已知給定條件下，不可能精確地預知結果，只能預言某些可能的結果的概率.

只開上縫時電子通過上縫的概率

只開下縫時電子通過下縫的概率三.用電子雙縫干涉實驗說明概率波的含義雙縫齊開時雙縫齊開時總概率幅總概率密度干涉項干涉是由于概率幅的線性疊加產生的結論？物理學家問:滑雪者究竟是從哪條路過去的呢?結論2微觀粒子的波動性實質上就是概率幅的相干疊加性3即使只有一個電子當雙縫齊開時它的狀態也要用來描述4如果實驗能確定通過了哪個縫，則干涉消失。少女？老婦？兩種圖象不會同時出現在你的視覺中。(1)波動性“可疊加性”:有“干涉”“衍射現象不是經典的波不代表實在物理量的波動(2)粒子性

整體性

不是經典的粒子沒有“軌道”概念微觀粒子的波粒二象性四、波函數的性質1）波函數具有有限性在空間是有限函數2）波函數是連續的3）波函數是單值的粒子在空間出現的幾率只可能是一個值4）滿足歸一化條件（歸一化條件）因為粒子在全空間出現是必然事件（Narmulisation）五、Schr?ding方程設有一作勻速直線運動的自由粒子沿X軸運動。(1)適用條件v<<c，低速微觀粒子（2）自由粒子的schroding方程1）一維自由粒子的schroding方程,其波函數為：（1）式對t求導：（1）式對x求二階偏導數：自由粒子非相對論條件下總動能：（4）、（5）式比較：自由粒子一維含時薛定諤方程2）勢場中的薛定諤方程若粒子處在勢場中，勢能為U（x、t），總能量：將（5）式看成一般情況下的特例：由（4）式：勢場中的一維含時薛定諤方程勢場中的一維含時薛定諤方程若為三維粒子，薛定諤方程為：引入拉普拉斯算符三維含時薛定諤方程：3）定態薛定諤方程（重點）定態，勢函數不顯含時間，其幾率分布也不隨時間變化。等式左邊是t的函數，右邊是坐標的函數，但兩邊又相等，故等式左右兩邊均應與x、y、z、t無關，現記為E。則：其解：指數應是無量綱的數，的單位是“焦爾秒”，故E的單位只能是能量，實際上是粒子總能量E。定態薛定諤方程若定態薛定諤方程已解出為：則粒子的波函數：注意：1）定態波函數為一空間坐標函數

與一時間函數的乘積。2）對于定態，除能量E有確定值外，其幾率分布也不隨時間變化。六、薛定諤方程應用舉例1）一維勢阱對此我們提出一個理想模型，粒子限制在一個具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由運動但在匣壁處受到強烈的反射，越出需無限大能量0aU此稱無限深勢阱若是經典粒子，粒子如何運動？mE許多情況，粒子束縛在一個很小空間（束縛態）。+++mE量子力學對粒子的分析：粒子滿足一維定態薛定諤方程：粒子無法越過勢阱故只須考慮0<x<a區間的波函數：令：0aUmEmE其解的形式：由邊界條件：B=0故波函數:波函數:由歸一化條件:代入(10)(11)式:(定態波函數)能量公式：粒子出現的幾率密度：2）粒子在空間不同的地方出現的幾率是不同的。結論：1）能量是量子化的，且無0值。能量最小值：波粒二象性的必然結果！E1