函數的基本性質

人教A版（2019）數學必修第一冊函數的基本性質一、單選題1.下列四個函數中，在(－∞，0)上是增函數的為(

)A.

f(x)＝x2＋1

B.

f(x)＝1－

C.

f(x)＝x2－5x－6

D.

f(x)＝3－x2.下列函數為偶函數的是（

）A.

B.

C.

D.

3.若函數是奇函數，則=（

）A.

2

B.

C.

3

D.

44.已知函數在上是單調函數，則的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.

5.下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（

）A.

B.

C.

D.

6.函數(

)A.

在上單調遞增

B.

在上單調遞增

C.

在上單調遞減

D.

在上單調遞減7.已知定義在R上的奇函數,當時,,那么當時,的解析式為（

）.A.

B.

C.

D.

8.函數y＝的單調遞減區間為(

)A.

(－∞，－3]

B.

(－∞，－1]

C.

[1，＋∞)

D.

[－3，－1]9.已知函數在區間上不單調，則實數的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

10.若是偶函數，且對任意∈且，都有，則下列關系式中成立的是（

）A.

B.

C.

D.

11.已知是定義在R上的偶函數，且在區間上單調遞增，若實數m滿足，則m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

（0，2）

D.

12.設是奇函數，且在內是增函數，又，則的解集是（

）A.

或

B.

或

C.

或

D.

或13.已知函數的圖象關于直線對稱，當時，恒成立，則滿足的的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

14.是定義在上的減函數，則的范圍是(

)A.

B.

C.

D.

二、填空題15.已知一個奇函數的定義域為[a+1，b-2]，則=________.16.已知，若，則________.17.奇函數

在區間上是增函數，在區間[3,6]上的最大值為8，最小值為-1，則________18.已知f（x）是R上的奇函數，當x≥0時，f（x）＝x2﹣5x，則f（x﹣1）＞f（x）的解集為________．19.函數y=f（x）定義域是D，若對任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數f（x）在D上為非減函數，設函數y=f（x）在[0，1]上為非減函數，滿足條件：①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x）；則f（）+f（）=________．三、解答題20.已知函數是定義在上的偶函數，當時，現已畫出函數在軸左側的圖象，如圖所示．（1）畫出函數在軸右側的圖象，并寫出函數在上的單調區間；（2）求函數在上的解析式．21.已知函數的圖像經過點（1）求的值并判斷的奇偶性；（2）判斷并證明函數在的單調性，并求出最大值.22.定義在[﹣1，1]上的奇函數f（x）是減函數，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求實數a的取值范圍．23.已知函數．（1）判斷函數f（x）在區間[0，+∞）上的單調性，并用定義證明其結論；（2）求函數f（x）在區間[2，9]上的最大值與最小值．24.已知定義在R上的函數滿足：①對任意，，有.②當時，且.（1）求證：是奇函數；（2）解不等式.

答案解析部分一、單選題1.答案：B解：A，C，D選項中的三個函數在(－∞，0)上都是減函數，只有B符合題意．故答案為：B【分析】根據函數單調性的定義，結合基本初等函數的單調性逐一判斷即可.2.答案：B解：當時,,所以為偶函數,為非奇非偶函數函數,與為奇函數.故答案為：B【分析】根據偶函數的定義逐個判斷可得答案.3.答案：B解：因為函數是奇函數所以即得，.故答案為：【分析】由函數是奇函數，則構造方程，解得的值.4.答案：A解：由于的零點是，且在直線兩側左減右增，要使函數在上是單調函數，則，解得，故答案為：A.【分析】根據的零點和性質列不等式，解不等式求得的取值范圍.5.答案：D解：A是增函數，不是奇函數；B和C都不是定義域內的增函數，排除，只有D符合題意.故答案為：D.【分析】該題主要考察函數的奇偶性和單調性，理解和掌握基本函數的性質是關鍵.6.答案：D解：函數的圖象是由的圖象向右平移一個單位，再向上一個單位而得到，所以函數在上單調遞減，故答案為：D【分析】根據分式函數的性質即可得到結論.7.答案：D解：設,則,∵∴.故答案為：D【分析】根據奇函數的定義,可以直接寫出當時,的解析式.8.答案：A解：該函數的定義域為(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函數f(x)＝x2＋2x－3的對稱軸為x＝－1，由復合函數的單調性可知該函數在區間(－∞，－3]上是減函數．

故答案為：A

【分析】利用偶次根式函數的定義域和二次函數的圖象的對稱性以及復合函數的單調性，確定復合函數的單調遞減區間。9.答案：C解：根據題意，函數，當時，，在區間，上是減函數，不符合題意；當時，，若在區間，上不單調，必有對稱軸或解可得：，即的取值范圍為.故答案為：C．【分析】根據題意，分兩種情況討論：當時，，易得此時不符合題意；當時，，結合二次函數的性質分析求出的取值范圍，綜合即可得答案．10.答案：A解：∵對任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，又∵，∴，又∵f（x）是偶函數，∴f（﹣）＝f（）．∴．故答案為：A．【分析】由于對任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，可得函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，即可得出．11.答案：C解：由題意，函數為R上的偶函數，且在區間上單調遞增，函數在上單調遞減，，，解得，即.故答案為：【分析】根據函數為R上的偶函數，且在區間上單調遞增，可得函數在上的單調性，然后將函數不等式轉化為自變量的不等式，即可解得12.答案：D解：∵f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，∴在（﹣∞，0）內f（x）也是增函數，又∵f（﹣2）＝0，∴f（2）＝0，∴當x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）時，f（x）＜0；當x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）時，f（x）＞0；∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．故答案為：D．【分析】由對x＞0或x＜0進行討論，把不等式轉化為f（x）＞0或f（x）＜0的問題解決，根據f（x）是奇函數，且在（0，+∞）內是增函數，又f（﹣2）＝0，把函數值不等式轉化為自變量不等式，求得結果．13.答案：A解：當時，恒成立，所以恒成立，即函數在上單調遞增，又因為函數的圖象關于直線對稱，所以在上單調遞減，若要滿足，即，解得，故答案為：A．【分析】求得函數在上單調遞增，又由函數的圖象關于直線對稱，得到在上單調遞減，從而根據函數不等式列出相應的不等式，即可求解．14.答案：B解：要使得在上是單調減函數需滿足，解得故答案為：B.【分析】由一次函數的單調性以及端點處的函數值的關系結合分段函數的單調性即可得到的范圍.二、填空題15.答案：解：根據題意，函數f（x）是奇函數，且其定義域為[a+1，b-2]，則有a+1+b-2＝0，解可得：a+b＝1，，故答案為：．【分析】根據題意，由函數奇偶性的定義可得a+1+b-2＝0，即可得答案．16.答案：1解：令g（x）＝ax3+bx，則由奇函數的定義可得函數g（x）為R上的奇函數，∴由f（2019）＝g（2019）+2＝3得，g（2019）＝1，∴f（-2019）＝g（-2019）+2＝﹣g（2019）+2＝1．故答案為：1【分析】令g（x）＝ax3﹣bx，根據奇函數的定義即可求出答案．17.答案：17解：∵函數f（x）在[3，7]上是增函數，在區間[3，6]上的最大值為8，最小值為﹣1，∴f（3）＝-1，最小值為f（6）＝8，

∵f（x）是奇函數，∴f（-3）+2f（6）=-f（3）+2f（6）=1+2×8=17

故答案為：17【分析】根據奇函數在對稱區間上單調性一致，判斷出區間[﹣6，﹣3]上的最大值為f（﹣6）＝1，最小值為f（﹣3）＝﹣8，代入即可得到答案．18.答案：解：當時，，所以，又f（x）是R上的奇函數，所以，所以，所以，即，做出和的圖像如下圖所示，不等式的解集可以理解為將的圖象向右平移一個單位長度后所得函數的圖象在函數的圖象上方部分的點對應的橫坐標取值的集合，由得所以，由得，所以，所以不等式的解集為.故答案為：.【分析】根據函數f（x）是R上的奇函數和已知條件得出函數和的解析式，在同一坐標系中做出和的圖像，求出交點的坐標，根據不等式的解集可以理解為將的圖象向右平移一個單位長度后所得函數的圖象在函數的圖象上方部分的點對應的橫坐標取值的集合，由圖示可得出解集.19.答案：解：由③，令x=0，則f（1）=1﹣f（0）=1，由②，令x=1，則f（）=f（1）=，，，，，，．

由③，令x=，則f（）=，，，，，，．

∵，∴f（）=．

∴f（）+f（）=．

故答案為：．

【分析】由條件求出f（）,f(

)=

f(

)=,再結合及非減函數概念得f（），則答案可求.三、解答題20.答案：解：（1）如圖所示：的單調遞減區間為：，單調遞增區間為：，（2）令則所以又函數為偶函數，即所以當時所以【分析】（1）根據偶函數關于軸對稱，即可畫出函數在軸右側的圖象，再由函數圖像即可寫出其單調區間。（2）已知時的解析式，只需計算出的解析式，根據則與即可使用時的解析式解出的解析式。21.答案：解：（1）由于函數過點，故，所以.函數的定義域為，且，所以函數為奇函數.

（2）函數在上遞增，證明如下：任取，則，由于，所以，所以函數在上遞增，且最大值為.【分析】（1）利用點列方程，解方程求得的值.根據函數奇偶性的定義，判斷出函數的奇偶性.（2）首先判斷出函數在上遞增，然后利用單調性的定義，證明出單調性，并根據單調性求得函數的最大值