2015-2016學年高二數學選修2-2課件：11變化率與導數（共35張PPT）

第三章導數及其應用牛頓萊布尼茲兩人同時創立了微積分第三章導數及其應用平均變化率問題一:工資增長率下面是一家公司的工資發放情況:工資的年薪s(單位：10元)與時間t(單位:年)成函數關系。年份12345年薪20002100230026003000公司的工資發放情況用y表示每年的平均工資增長率.試分析公司的效益發展趨勢？第一次第二次0.62dm0.16dm觀察小新接連兩次吹氣球時，氣球的膨脹程度。問題二:氣球膨脹率可以看出，隨著氣球的體積逐漸變大，氣球的平均膨脹率逐漸變小了。當氣球的空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？思考第0秒到第1秒這段時間內第1秒到第2秒這段時間內觀察小男孩崩極時的平均速度變化重復觀看請按4.9米14.7米問題三:高空崩極如果用小男孩在某段時間內的平均速度來描述其運動狀態，那么-v在0t1這段時間內在1t2這段時間內-v1-v2作崩極時，小男孩落下的高度h(單位：m)與跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)=-gt212可以看出，隨著跳后的時間的推移，小男孩下落的速度越來越大。思考小男孩跳后的時間從t1變化到t2時，平均速度是多少。h(t)=-gt212

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系

如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態,那么:在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,問題四:高臺跳水式子稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率.令△x=

x2–x1,△y=f(x2)–

f(x1),則平均變化率的定義令x2=x1+△x，則

思考?

觀察函數f(x)的圖象平均變化率

表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率例1、已知函數，分別計算在下列區間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1應用鞏固例2：已知函數分別計算在區間[-3，-1]，[0，5]上及的平均變化率。

應用鞏固1.一質點運動的方程為s=1－2t2，則在一段時間[1，2]內的平均速度為（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C練習題2.設函數y=f(x)，當自變量x由x0改變到x0+△x時，函數的改變量為（）

A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0

)

·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D3.求函數y=5x2+6在區間[2，2+△x]

內的平均變化率。△y=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均變化率為小結：

1.函數的平均變化率2.求函數的平均變化率的步驟:

3.函數的平均變化率的幾何意義：(1)求函數的增量：Δy；(2)計算平均變化率表示函數圖象上兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))連線（割線）的斜率。在高臺跳水中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10通過計算可得運動員在這段時間里的平均速度為0，這是否說明運動員在這段時間里是靜止的？由此可見用平均速度描述運動員的運動狀態有何問題？平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態，并不能反映某一刻的運動狀態。這就需要用瞬時速度來更精細地刻畫運動員的運動狀態。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.如何求瞬時速度？

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2時的瞬時速度？2我們先考察ｔ＝2附近的情況。任取一個時刻2＋△ｔ，△ｔ是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.當△ｔ＜0時，在2之前；當△ｔ＞0時，在2之后。△ｔ＜0時2＋△ｔ△ｔ＞0時2＋△ｔ△t<0時,在[2+△t,2]這段時間內△t>0時,在[2,2+△t]這段時間內當△t=–0.01時,當△t=

0.01時,當△t=–0.001時,當△t=0.001時,當△t=–0.0001時,當△t=0.0001時,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?瞬時速度

在局部以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。思考：⑴如何求瞬時速度？⑵lim是什么意思？在其下面的條件下求右面的極限值。⑶運動員在某一時刻ｔ0的瞬時速度如何表示?１、函數的平均變化率怎么表示？思考：定義:函數y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數y=f(x)在x=

x0處的導數,記作或,即

由導數的意義可知,求函數y=f(x)在點x0處的導數的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.一差、二比、三極限例1.(1)求函數y=3x2在x=1處的導數.(2)求函數f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．(3)質點運動規律為s=t2+3，求質點在t=3的瞬時速度.求函數在某處的導數636例2:(1)求函數y=x2在x=1處的導數;(2)求函數y=x+1/x在x=2處的導數.例2、將原油提煉為汽油，柴油，塑膠等各種不同的產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：OC）為y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明他們的意義。

在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3℃/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5℃/h的速率上升.練習:例2、將原油提煉為汽油，柴油，塑膠等各種不同的產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：OC）為y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明他們的意義。

在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3℃/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5℃/h的速率上升.小結