小學數學思想方法分析

數學基本思想分析朱艷2012.10引言數學思想：是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識；基本數學思想則是體現或應該體現于基礎數學中的具有奠基性、總結性和最廣泛的數學思想，它們含有傳統數學思想的精華和現代數學思想的基本特征，并且是歷史地發展的。數學思想是數學的精髓。數學方法是數學思想的具體化形式，數學思想和數學方法既有區別又有密切聯系。數學思想的理論和抽象程度要高一些，而數學方法的實踐性更強一些。人們實現數學思想往往要靠一定的數學方法；而人們選擇數學方法，又要以一定的數學思想為依據。因此，二者是有密切聯系的。我們把二者合稱為數學思

想方法。在小學階段，數學思想方法主要有符號化思想（包含抽象與演繹）化歸思想（包含類比思想、歸納思想）分類思想（集合、一一對應）函數與方程思想模型思想、演繹推理思想、統計與概率思想等等。數學廣泛的應用性源于它高度的抽象性，其抽象性的表現之一就是符號化。一、符號化思想符號化是數學的顯著特征。

數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為問題表示、計算推理等解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用。有了符號，才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數學的普及和發展；國際通用的數學符號的使用，使數學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。例:數學符號“+”

，中文讀作“加”，英語讀作“addition”：2+5作為符號世界通用，基本涵義唯一第一、從具體情境中抽象出數量關系和變化規律、從特殊到一般的探索和歸納過程。如數的抽象：1，2，3，4…，加法運算的抽象等；圖形的抽象:點、線、面、圓、正方形、三角形等等；通過幾組具體的兩個數相加，交換加數的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：S=ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。(一)怎樣理解和把握小學階段的符號化思想基本規律：某類具體事例抽象化一般化表示（符號）第二、理解并運用符號表示數量關系和變化規律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖像表示情境中數量間的關系。如假設一個正方形的邊長是a，那么4a就表示該正方形的周長，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。1+3=4、3+7=10等等通過比較、抽象后得出：正方形有4條邊，4個角；4條邊相等，4個角相等且都等于900，，，，抽象歸納得出：由此得出正方形周長公式，內角和公式第三、會進行符號間的轉換。數量間的關系一旦確定，便可以用數學符號表示出來，但數學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數量關系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉換的。時間t0123……路程s080160240……OA(1,80)B(1,160)C(1,240)s=80t(1)(2)(3)1,2兩種表示,直觀,容易理解,但有局限性.第3種表示具有一般性.

第四、能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題。這是指定完成符號化后的下一步工作，就是進行數學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數學基本功，也是非常重要的數學能力。

例如求兩數的和、差、積、商；列方程解運用題等等。

（二）符號化思想在小學數學中的具體應用。

數學的發展經歷了幾千年，數學符號的規范和統一也是經歷了比較漫長的過程。如我們現在通用的算術中的十進制計數符號數字0~9于公元8世紀在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。

符號在小學數學中的應用如下表:知識點具體應用應用拓展數

與

代

數數的表示阿拉伯數字：0~9,分數,小數

百分號：%‰負號：—

用數軸表示數

數的運算+、—、×、÷、（）、〔〕a2(平方)、b3(立方)大括號：｛｝數的大小關系=、≈、＞、＜≤、≥、≠運算定律加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：a+b+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac方程ax+b=c

數量關系時間、速度和路程的關系：S=vt

數量、單價和總價：a=np

正比例關系：y／x=k

反比例關系：xy=k

用表格表示數量間的關系

用圖象表示數量間的關系

空

間

與

圖

形用字母表示計量單位長度單位：km、m、dm、cm、mm

面積單位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公頃)

體積單位：m3、dm3、cm3

容積單位：L（升）、mL（毫升）

質量單位：t、kg、g

用符號表示圖形用字母表示點：A，B，C……三角形ABC的符號△ABC;

角：∠1、∠2、∠3、∠4△ABC線段AB射線c、直線l兩線段平行：AB∥CD，兩線段垂直：AB⊥CD

ABCD用字母表示公式

三角形面積：S=1／2ab

平行四邊形面積：S=ah

梯形面積：S=1／2（a+b）h

圓周長：C=2πr圓面積：S=πr2

長方體體積：V=abc

正方體積：V=a3圓柱體積：V=sh圓錐體積：V=1／3sh統計與概率統計圖與統計表用統計圖表述和分析各種信息

可能性用分數表示可能性的大小

（三）符號化思想的教學

（1）在思想上引起重視。《數學課程標準》把培養學生的符號意識作為必學的內容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。因此，教師在日常教學中應給予足夠的重視。

（2）把培養符號意識落實到課堂教學目標中。教師在每堂課的教學設計中，要明確符號的具體應用，并納入教學目標中。創設合適的情境，引導學生在探索中歸納和理解教學符號化的模型，并進行解釋和應用。

一般過程就是：抽象、歸納總結，怎么樣表示、怎么樣讀

(3)引導學生認識符號的特點。數學符號是人們在研究現實世界的數量關系和空間形式的過程中產生的，它來源于生活，但并不是生活中真實的物質存在，而是一種抽象概括。例如數字“1”它可以表示現實生活中任何數量是一個的物體的個數，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個數學符號一旦產生并被廣泛應用，它就具有明確的含義，就能進行精確地數學運算和推理證明，因而它具有精確性。

（4）符號意識的培養是一個長期的過程。符號意識的培養和應用貫穿于數學學習的整個過程中，學生首先要理解和掌握數學符號的內涵和思想，并通過一定的訓練，才能利用符號進行比較熟練地運算、推理和解決問題。

二、化歸思想1、化歸思想對某些數學問題，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，可以將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉化）思想。在學校教育中，數學知識呈現一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學習數學、理解和掌握數學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種復雜的數學問題。因此，化歸既是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2、化歸所遵循的原則：

化歸思想的實質就是在已有的簡單、具體、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把復雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規劃為常規，從而解決各種問題。因此，應用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：（1）數學化原則：即把生活中的問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而應用數學知識找到解決問題的方法。數學來源于生活，應用于生活。學習數學的目的之一就是要利用數學知識解決生活中的各種問題。數學化的過程在某種程度上來說就是把生產生活實際中的問題進行符號化的過程、模型化的過程。（2）熟悉化原則即把陌生的問題轉化為熟悉的問題。人們學習數學的過程，就是一個不斷面對新知識的過程；解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉化過程對學生來說既是一個探索的過程，又是一個創新的過程；與《課程標準》提倡培養學生的探索能力和創新精神是一致的。因此，學會把陌生的問題轉化為熟悉的問題，是一個重要的原則。（3）簡單化原則即把復雜的問題轉化為簡單的問題。對解決問題者而言，復雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較復雜。因此，把復雜的問題轉化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。（4）直觀化原則即把抽象的問題轉化為具體的問題。蘇雪的特點之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉化為具體的問題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學生經常應用的方法，也是重要的原則之一。3、化歸思想在小學數學中的具體應用。教材中的數學問題，可以簡單的分為兩類：一類是直接應用已有知識便可順利解答的問題；另一種是陌生的知識或者不能直接應用已有知識解答的問題，需要綜合地應用已有知識或創造性地解決問題。如知道一個長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形公式的人，都可以計算出來，這是第一類問題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補平移變換把平行四邊形轉化為長方形，推導出它的面積公式，再計算面積，這是第二類問題。對于廣大中小學生來說，他們在學習數學的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，并且要不斷地把第二種問題轉化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉化求解的過程，因此，化歸思想應用非常廣泛。知識領域知識點應用舉例數與代數四則運算的意義乘法的意義：若干個相同的數相加的一種簡便算法除法的意義：乘法的逆運算

四則運算的法則整數加減法：用實物操作和直觀圖幫助理解算法小數加減法：小數點對齊，然后按照整數的方法進行計算小數乘法：先按照整數乘法的方法進行計算，再點小數點小數除法：把除數轉化為整數，基本按照整數的方法進行計算，需要注意被除數小數點與商的小數點對齊。分數加減法：異分母加減法轉化為同分母加減法分數除法：轉化為分數乘法四則運算各部間的關系a+b=c

c-a=bab=c

a=c÷b簡便計算利用運算定律進行簡便計算方程解方程：解方程的過程，實際就是不斷把方程轉化為未知數前邊的系數是1的過程（x=a）

解決問題的策略化繁為簡：植樹問題、雞兔同籠問題等化抽象為直觀：用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數量之間的關系，幫助理解。化實際問題為數學問題化一般問題為特殊問題化未知問題為已知問題化歸思想在小學數學中應用空

間

與

圖

形三角形內角和通過操作把三個內角轉化為平角多邊形的內角和轉化成三角形求內角和

面積公式正方形的面積：轉化為長方形求面積平行四邊形求面積：轉化成長方形求面積三角形的面積：轉化為平行四邊形求面積梯形的面積：轉化為平行四邊形求面積圓的面積：轉化為長方形求面積組合圖形面積：轉化為求基本圖形的面積

體積公式正方體的體積：轉化為長方體求體積圓柱的體積：轉化為長方體求體積圓錐的體積：轉化為圓柱求體積統計與概率統計圖和統計表運用不同的統計圖表述各種數據可能性運用不同的方式表示可能性的大小

（1）化抽象問題為直觀問題。數學的特點之一是它具有很強的抽象性，這是每個鄉學好數學的人必須面對的問題。從小學到初中，再到高中，數學問題的抽象性不斷加強，學生的抽象思維能力在不斷接受挑戰。如果能把比較抽象的問題轉化為操作或直觀的問題，那么不但使得問題日益解決，經過不斷地抽象→直觀→抽象的訓練，學生的抽象思維能力也會逐步提高。下面舉例說明。（三）化歸思想的教學例談AB將線段AB二等分，再將余下的線段二等分，無限次重復下去，再將這樣得到的每一條小線段加起來，就是線段AB的長度。將線段AB的長度看做1，則上式左邊之和等于1。（2）化繁雜問題為簡單問題。有些數學問題比較復雜，直接解答過程比較繁瑣，如果在結果和數量關系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。下面舉例加以說明。案例2：把256拆分成兩個自然數的和，怎么樣拆分才能使拆分的兩個自然數乘積最大？257呢？通過對10以內的自然數拆分可知,偶數拆分為兩個相等的自然數時,積最大,由此可以類比出周長相同的正方形面積比長方形面積大.在周長相等的長方形中,長和寬的差距越小,面積越大.

由此得出:256/2=128,1282最大,257/2=128……1,257=128+129,128*129為最大.

案例3：任意一個大于4的自然數，拆成兩個自然數之和，怎樣拆分使這兩個自然數的乘積最大？案例4：你能快速口算８５×85=，95×95=，105×105=嗎？分析：仔細觀察可以看出，此類題有些共同點，每個算式中的兩個因數相等，并且個位數都是5,。如果不知道個位是5的相等的兩個數的乘積的規律，直接快速口算是有難度的。那么此類題有什么技巧那？不妨從簡單的是開始探索，如15×15=225，25×25=625.，35×35=1225。通過這幾個算式的因數與相應的積得特點，可以初步發現規律是：末尾兩位數是5×5=25,百位以上的高位數是1×2=2;2×3=6,3×4=12,所以

15×15=225，25×25=625.，35×35=122585×85=7225(8×9=72,5×5=25),95×95=9025(9×10=90,5×5=25);105×105=11025，實際驗證也是如此。很多學生面對一些數學問題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過程非常繁瑣，就會產生退縮情緒，或者在繁瑣的解答過程中出現失誤，這是比較普遍的情況。因此，學會化繁為簡的解答策略，對于解決繁難為您提的能力大有幫助。（3）化一般問題為特殊問題。案例5：某旅行團隊翻越一座山。上午9時上山，每小時行3千米，到達山頂時，休息1小時。下山時，每小時行4千米，下午4時到達山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具體時間，因此無法直接求出上山和下山的路程，但是知道總路程。仔細觀察可以發現：題中給出了兩個未知數量的總和以及與這兩個數量有關的一些特定的數量.假設都是上山，那么總路程是18（6×3）千米，比實際路程少算了2千米，所以下山時間是2〔2÷（4-3）〕小時，上山時間是4小時。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。

案例6：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克蘋果和香蕉各多少錢？分析：此題初看是關于單價、總價和數量的問題，但是，由于題中沒有告訴蘋果和香蕉各自的總價是多少，無法直接計算各自的單價。認真觀察，可以發現：題中分兩次給出了不同數量的蘋果和香蕉的總價，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價這兩個未知數，但這二者沒有直接的關系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問題在小學的知識范圍內如何解決呢？利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問題；具體來說就是把兩組數量中的一個數量化成相等的關系，再相減，得到一個一元一次方程。不必列式推導，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11得2，所以香蕉的單價是每千克2元。再通過計算得蘋果的單價是每千克2.5元。(設蘋果單價為X,香蕉單價為Y,2X+3Y=11,X+2Y=6.5)（4）化未知問題為已知問題。案例7：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？分析：學生在學習列式方程解決問題時學習了最基本的有關兩個數量的一種模型：已知兩個數量的倍數關系以及這兩個數量的和或差，求這兩個數量分別是多少。題中的蘋果和香蕉的關系，不是簡單的倍數關系；而是在倍數的基礎上增加了一個條件，即蘋果比香蕉的2倍還多30千克。設銷售香蕉X千克,蘋果為2X+30千克,則X+(2X+30)=180,3X=180-30,3X=150,X=150/3=50教師在上面最基本的模型基礎上，可以引導學生深入思考一下幾個問題：①

水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍少30千克，這兩種一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？②

水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克？③

水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的少30千克，這兩種水果一共銷售了120千克。銷售蘋果多少千克？④

水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍。銷售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克？⑤

水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了120千克。銷售香蕉多少千克？三、模型思想

1．模型思想的概念。

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征，數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念，定理，規律，法則，公式，性質，數量關系式，圖表，程序等都是數學模型。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要形式是數學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數學家對數學模型的理解似乎更注重數學的應用性。即把數學模型描述為特定的事物系統的數學關系結構。如通過數學在經濟，物理，農業，生物，社會學等領域的應用，所構造的數學模型。為了把數學模型與數學知識或是符號思想明顯的區分開來，這里主要從狹義的角度討論數學模型，即重點分析小學數學的應用及數學模型的構建。2．模型思想的重要意義。

數學模型是運用數學的語言和工具，對現實世界的一些信息進行適當的簡化，經過推理和運算，對相應的數據進行分析、運算、決策和控制，并且要經過實踐的檢驗。如果檢驗的結果是正確的，便可以指導我們的實踐。因而，模型思想在數學思想方法中有非常重要的地位，在數學教育領域也應該有它的地位和價值。

如果說符號化思想更注重數學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數學的應用，更加注重通過數學結構化解決實際問題；當然，把現實情境數學結構化的過程也是一個抽象化的過程。現行的《數學課程標準》對符號化思想有明確要求，如要求學生“能從具體行進中抽象出數量變化和變化規律并用符號來表示”，這實際上就包含了模型思想。但是，《數學課程標準》對第一，二學段并沒有提出模型思想要求，只是在第三學段的內容標準和教學建議中明確提出了模型思想，要求在教學中“注重使學生經歷從實際問題中建立數學模型”，教學過程以“問題情境—建立模型—解釋、應用于擴展”的模式展開。如果說小學數學教育工作者中有人關注了模型思想，多數人只是套用第三學段對模型思想的要求進行研究也很難做到要求的具體化和課堂教學的貫徹落實。“模型思想建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量變化和變量規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用知識”。并在教材中，根據課程內容，設計運用數學知識解決問題的活動。這樣的活用應體現‘問題情境—建立模型—求解驗證’過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想、積累活動經驗；要有利于提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創新意識”。

因此，在小學階段，從《數學課程標準》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數學的應用價值，同時明確了建立模型是數學運用和解決問題的核心。3．小學教材中模型思想的運用

數學的發現和發展過程，也是一個應用的過程。從這個角度而言，伴隨著數學知識的產生和發展，數學模型實際上也隨后產生和發展了。如自然數系統1,2,3…是描述離散數量的數學模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決數學問題的。就小學數學的應用來說，大多數是古老的初等數學知識的簡單應用，也許在數學家的眼里，這根本就不是真正的數學模型；不過小學數學的應用雖然簡單，但仍然是現實生活和進一步學習所不可缺的。小學數學中的模型如下表。知識領域知識點應用舉例

數

與

代

數數的表示自然數列：0,1,2，….用數軸表示數數的運算a+b=cC-a=b,c-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b,c÷b=a方程a+b=c數量關系時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價;a=np正比例關系;y/x=k反比例關系：xy=k用表格表示數量間的關系用圖像表示數量間的關系空間與圖像用字母表示公式三角形面積;s=1/2ab平行四邊形面積：S=ah梯形面積：s=1/2(a+b)h圓周長：C=2πr圓面積：S=πr2長方體面積：v=abc正方體體積：V=a2圓柱體積：v=Sh圓錐體積：v=1/3sh空間形式用圖表表示空間和平面結構統計與概率統計圖和統計表用統計圖表描述和分析各種信息可能性用分數表示可能性的大小4、數學模型思想的教學。從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經過抽象后用符號和圖表表達數量關系和空間形式，這是他們的共同之處；但是模型思想更加注重如何經過分析抽象建立模型，更加重視如何應用數學解決生活和科學研究的各種問題。正是因為數學在各個領域的廣泛應用，不但促進了科學和人類的進步，也使人們對數學有了新的認識：數學不僅僅是數學家的樂園，它特不應是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學生的朋友。廣大教師在教學中結合數學的應用和解決問題的數學，要注意貫徹《數學課程標準》的理念，另一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，比不過喜歡數學。學生學習數學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，即學習教材中以例題為代表的新知識，這個學習過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學習的過程；第二種是利用基本模型區解決各種問題，即利用學習的基本知識解決教材中豐富多彩的習題以及各種課外問題。教學建模是一個比較復雜和富有挑戰的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際問題，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統。（2）把復雜的情境經過分析和簡化，確定必要的數據。（3）建立模型，可以是數量關系式，也可以是圖標形式。（4）解答問題。下面結合案例做簡要分析。

第一，學習的過程可以經歷類似于數學家建模的再創造過程，現實過程中已有的數學模型基本上是數學家和物理家等科學家們應用于各個領域經過艱辛的研究創造出來的，是的我們能夠享受現實的成果。如阿基米德發現了杠桿定律;平行的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，即F1：F2=L2；L1.根據課程標準的理念，學生的學習過程有時是一個探索的過程，也是一個再創造的過程；也就是說有些模型是可以由學生再創造的，可以吧科學家發明的成果再創造一次。如在學習了反比例關系以后，可以利用簡單的學具進行操作實驗，探索杠桿定律。再如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數與長方體的長、寬、高的關系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個模型化的過程，也是一個再創造的過程。

第二，對于大多數人來說，在現實生活中和工作中利用數學解決各種問題，基本上都是根據對現實情境的分析，利用已有的學習知識構建模型。這樣的模型是已經存在并且科學的，并不是新發明的，由學生進行再創造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學生在創造。如兩個變量成反比例關系，如果給出兩個量數據變化的表格，學生通過觀察和計算有可能發現者兩個量的關系。但是如果讓學生動手實踐操作去發現規律，還是有一定難度的。再如物體運動地路程、時間和速度的關系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學生進行再創造。教師只需要通過現實模擬或者動畫模擬，是學生能夠理解模型的意義便可。

案例1;小明的家距學校600米，每天上學從家步行10分鐘到學校。今天早上出門2分鐘后發現忘記帶學具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學校，步行的速度應是多少？（取東西的時間忽略不計）第三,應用已有的數學知識分析數量關系和空間形式，經過抽象建立模型進而解決各種問題。學生學習了教材上的基礎知識后，利用已有的知識解決新的更加復雜的各種問題，是一個富有挑戰的過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學生數學競賽中有很多應用數學解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學生和大學生組隊參加數學建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。

解題過程如下：

（1）本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關于時間、速度和路程的問題。

（2）這里需要明確所求的速度行相對應的路程和時間是什么，因為取東西等時間忽略不計，因此剩余的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘后開始算，在回家的路程加上從家到回家的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時間了。

（3）根據基本的關系式s=vt，可先求出s=600+(600÷10)×2=720(米),t=10-2=8(分鐘)。列式為：720=8v

（4）V=90,即小明步行的速度每分鐘為90米。

從上面的解答過程來看，小學數學的情境還是比較容易理解的，模型系統也容易確定。如果說此題比教材中的一般習題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出，拐了個彎。也就是說難點在于第二步中知道模型系統后相應的數量怎么確定的找出來，一定要注意題中每一個量是怎樣訴述的，有什么特殊的要求，在認真讀題的基礎上準確的找出來或計算出來。案例2.有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無剩余，并且每種規格的繩子至少要有一根）分析：此題從表面上看，是小學數學整數乘法的一般問題，但是由于題中有特殊要求，無法列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數，屬于二元一次方程，超出了小學數學的范圍。那么，面對這樣的問題如何解決呢？在小學數學中面對一些非常規范的問題時，有時運用列表列舉或猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣些。5米跳繩的根數1，2，3，4；

2米跳繩的根數

有10根；共20

米，5米1根2米7.5根;5米2根2米10根.由上表可知符合要求的答案為：5米和2米的跳繩分別減2根和5根。

此題如果用方程解決，可設5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程:5x=2y=20.可仿照正比例關系y=kx圖像的畫法，再有方格紙的坐標系里，通過兩點（0,10）和（4,0）畫出一條直線，就是方程5x=2y=20.圖像。再找出圖像與方程的交叉點重合的點，就是方程的解。

案例3：一瓶礦泉水滿瓶為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度為4厘米。小林喝了多少水？

分析;此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要假設，就是礦泉水瓶頂部并不是一個圓柱的形狀，需要轉化成圓柱,這樣才便于建立模型，由于不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問題轉化為比例問題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規則，倒立過來以后喝的水就相當于圓柱形瓶子高度為4厘米的水。滿瓶礦泉水就相當于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水。可設小林喝的水為v毫升，列式為：v:500=4:(16+4)，V=100四、推理分析與綜合1.推理思想推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據的判斷叫前提，根據前提所得到的判斷叫結論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據一般性的真命題（或邏輯規則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當前題為真時，結論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類化等推測某些結果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真是，合情推理所得的結論可能為真也可能為假。（1）演繹推理。三段論，有兩個前提和一個結論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結論——根據一般原理，對特殊情況作出判斷。例如：一切奇數都不能被2整除，（2K+1）是奇數，不能被2整除,23=2×11+1是奇數,所以23不能被2整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結論則否定其他選言支；小前提否定除其中一個以外的選言支，結論則肯定剩下的那個選言支。例如：一個三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要么是鈍角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以它是個鈍角三角形。假言推理，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個數的末尾是0，那么這個數能被5整除：210能被5整除。關系推理，是前提中至少有一個是關系命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關系推理：（1）對稱性關系推理，如1米=100厘米，所以100厘米=1米；（2）反對稱性關系推理，a大于b,所以b不大于a；（3）傳遞性關系推理，a>b,b>c,所以a>c。關系推理在數學學習中應用比較普遍，如在一年級學習數的大小比較時，把一些數按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用了關系推理。（2）合情推理。

歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是更具某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質，而推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對象，所得出的結論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對象發現某些相同的性質，推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。數學歸納法是一種特殊的數學推理方法，從表面上看并沒有考察所有對象，但是根據自然數的性質，相當于考察了所有對象，因而數學歸納法實際上屬于完全歸納推理。類比推理，是從特殊到特殊的的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。

我國數學教育幾十年來的主要優勢或者說成果就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想象能力。傳統教學比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而現行某些做法又矯枉過正，過于強調合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。近年來課程改革的實踐證明，二者不可偏廢。就學好數學或者培養人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。

在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用于證明結論的正確性”。數學在當今市場經濟和信息化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成，但是就人的思維能力構成而言，推理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養推理能力仍然是數學教育的主要任務之一。思想方法知識點應用舉例不

完

全

歸

納

法找規律找數列和圖形的規律整數計算四則計算法則的總結運算定律加法交換律a+b=b+a加法結合律乘法交換律乘法結合律乘法分配律除法商不變的規律分數分數的基本性質面積長方形面積公式推導體積長方體體積公式推導圓柱體積公式推導圓錐體積公式推導完全歸納法三角形三角形內角和的推導類

比

推

理整書讀寫法億以內及億以上數的讀寫整數的運算四則計算的法則：多位數加減法與兩位數加減法相類比，多位數乘多位數與多位數乘一位數相類比，除數是多位數的除法與除數是一位數的除法相類比。小數的運算整數的運算法則、順序和定律推廣到小數分數的運算整數的運算順序和運算定律推廣到分數除法、分數和比除法商不變的規律、分數的基本性質和比的基本性質進行類比面積與平行四邊形的面積公式推導方法相類比，三角形、梯形面積公式的推導，也用轉化的方法，把它們轉化成平行四邊形推導面積公式。長度、面積、體積線、面、體之間的類比：線段有長短，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來計量。問題解決數量關系相近的實際問題的類比，如分數實際問題與百分數實際問題的類比。雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問題的類比抽屜原理不同素材的抽屜原理問題的類比三段論多邊形多邊形內角和的推導面積正方形面積公式的推導平行四邊形面積公式的推導三角形面積公式的推導梯形面積公式的推導圓面積公式的推導體積正方體體積公式的推導選言推理

類似于人教版二年級上冊數學廣角中的“猜一猜”假言推理

根據概念、性質等進行判斷的一些問題關系推理

大小比較、恒等變形、等量代換等等第一，推理是重要的思想方法之一，是數學的基本思維方式，要貫穿于數學教學的始終。在小學數學中，除了運算是數學的基本方法外，推理也是常用的數學方法。無論是低年級的找規律、總結計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理的思想方法。因而，我們要把推理思想從一年級就開始滲透和應用，是一個長期的培養過程。3.推理思想的教學建議第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據特殊的事實去發現和總結一般性的結論，演繹推理往往用于根據已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。二者在數學中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培養與四大內容領域的教學要有機的結合。推理能力的發展與各領域知識的學習是一個有機的結合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發現結論，培養推理能力。第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養要結合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水平和接受能力。綜合現行課程標準及其修改稿關于“數學思考”分析段的目標要求.（1）類比思想。無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行類比，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。因此，要引導學生在學習數學的過程中善于利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如整數的運算定理遷移到小數、分數的運算定律，問題解決中數量關系相近的問題的類比等。而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現。如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵就是通過類比找到抽屜。

4、教學案例應用類比的思想方法，關鍵在于發現兩類事物相似的性質，因此，觀察與聯想是類比的基礎。另外，中學數學與小學數學教學可以類比的知識有很多，如果打好小學數學的知識基礎和掌握類比思想，對于初中數學的學習會有較大的益處。如在代數中，與整數的運算順序和運算定律相類比，可以到處有理數和整式的運算順序和運算定律；與分數的基本性質相類比，可以導出分式也具有類似的性質，并且可以推出它和分數一樣能夠進行化簡和運算。案例1：計算并觀察下面的算式，你能發現什么規律？1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=……1+3+5+7+…+99=分析：此題是從1開始的連續奇數組成的系列加法算式，每一組算式比前一組多一個后繼的奇數。通過計算并觀察每組算式的得數，1是一個奇數，等于1的平方；（1+3）是前兩個奇數的相加，等于2的平方；（1+3+5）是前3個奇數相加，，等于3的平方；（1+3+5+7）是前4個奇數相加，通過與前面算式進行類比，猜想應該等于4的平方；（1+3+5+7）＝16。42=16，猜想正確，那么最后的算式是前50個奇數相加等于50的平方。因此可以歸納出一般的規律：前n個奇數相加的和等于n的平方:1+3+5+7+…+（2n+1）=n2（2）歸納思想。不完全歸納法在小學數學的教學中應用比較廣泛。小學數學中很多法則、公式、定律等的推導，都是在例舉幾個特殊例子的基礎上得出的。如根據40+56＝56+40，28+37＝37+28，120+80＝80+120等幾個有限的例子，得出加法交換律。案例2：觀察下面的一組算式，你能發現什么規律？14+41＝55，34+43＝77，27+72＝99，46+64＝110，38+83＝121分析：通過觀察算式，能夠發現這樣一些規律：所有的算式都是兩位數加兩位數，每個算式的兩個加數中的一個加數的個位和十位數互換，變成另一個加數。再進一步觀察，所有算式的得數有兩位數也有三位數，它們有什么共同的規律呢？把它們分別分解質因數發現，每個數是者11的倍數。這樣就可以大膽猜想并歸納結論：兩個互換個位數和十位數的兩位數相加，結果是11的倍數。再舉例驗證：57+75＝132＝11×12，69+96＝165＝11×15，初步驗證猜想是正確的。那么如何進行嚴密的數學證明呢？可設任意一個兩位數是ab=(10a+b),交換個位與十位上的數得ba,

ba=(10b+a)所以ab+ba=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b),從而證明了結論的正確。（3）三段論。在人們的傳統觀念中，小學幾何是實驗幾何，很難在演繹推理證明方面有所滲透。然而對于部分初中學生而言，這部分知識又是學習中的難點。那么，在小學高年級，能否進行演繹推進思想的滲透，從而使剛升入初中的學生的演繹推理的初步經驗呢？下面的安全也許能說明問題。案例3：如下圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2＝∠4嗎？分析：此題在初中要根據“同角的補角相等”來證明對頂角相等，那么，在小學階段，如何根據已有知識進行簡單的證明呢？我們已經知道平角等于180度，再根據等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：因為∠1和∠2、∠1和∠4分別組成平角，所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據加減法各部分間的關系，可得∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據等量代換，可得∠2=∠4。1234分析法和綜合法

分析法:執果索因綜合法:由因索果分析法和綜合法是培養學生分析問題、解決問題和推理等能力的重要思想方法。因此，分析法和綜合法在課標時代仍然是培養邏輯思維能力和解決問題能力的重要的思想方法.分析法和綜合法作為數學思想方法，在小學數學的各個方面都有重要的應用。首先，無論是低年級的數和計算、圖形的認識，還是中高年級的方程和比例、統計與概率，分析法和綜合法都有較多應用。如數的計算法則的學習，就是一個先分析再綜合概括的過程，先一步一步地學習法則的不同方面，再綜合概括成一個完整的法則。其次，在貫穿整個數學學習過程中的問題解決、判斷和推理證明等方面，分析法和綜合法也是無所不在。如在進行一個概念或者性質的判斷時，必須先進行分析，然后才能做出判斷。分析能力和綜合能力作為培養邏輯思維能力和解決問題能力的重要方面，在課標時代仍然要給予足夠的重視，在教學中應注意以下幾點。第一，在學習一般的數學概念和性質時注重分析能力和綜合能力的培養。小學數學的很多知識，學生往往經歷先分析再綜合的過程，即先認識局部特征，再從整體上認識或者形成抽象概念的過程。如圖形的認識，在第一學段學生通過操作和直觀初步感知圖形的一些特征，到了第二學段，可以從整體上認識或者抽象成概念。教師從低年級開始就應注重分析能力的培養，從而為后續的學習打下較好的基礎。第二，在解決問題時注重分析法和綜合法的結合運用。簡單的問題，往往直接應用綜合法便可解決；復雜的問題，往往需要把分析法和綜合法結合運用。分析法從問題出發逐步逆推，便于把我探索的方向，綜合法的思維具有發散性，能夠提供多種策略；把二者結合起來，便于根據已知條件提供向問題靠攏的策略，使問題盡快得到解決。案例1：一件襯衫的標價是150元，現在因換季按標價打八折的優惠價格出售，還能夠在進價的基礎上獲利20%。這款襯衫的進價是多少錢？分析：要想求進價是多少錢，需要知道進價加上獲利的20%一共是多少錢，進價加上獲利的20%等于優惠價，優惠價等于標價的80%。根據分析法找出的數量關系和解題思路，用綜合法列式如下。（1）

進價加獲利20%一共的錢數：150×80%＝120（元）（2）

這款襯衫的進價是：120÷（1＋20%）＝100（元）。列成綜合算式是：150×80%÷（1＋20%）＝100（元）。案例2：食品店把120千克巧克力分裝在兩種大小不同的盒子里，先裝0.25千克一盒的裝了200盒，剩下的每盒裝0.5千克。這些巧克力一共裝了多少盒？分析：要想求一共裝了多少盒，因為有大盒和小盒兩種包裝規格，已經知道小盒有200盒，所以問題轉化成求大盒有多少盒;因為大盒每盒裝0.5千克，要想求大盒裝了多少盒，應先求大盒共裝了多少千克。因為總共有120千克巧克力，要想求大盒裝了多少千克，應先求小盒裝了多少千克。可以根據已知條件小盒每盒裝0.25千克和共有200盒，算出小盒裝的千克數。利用分析法找出了數量關系和解題思路，即可用綜合法列式解答。（1）小盒共裝的千克數：0.25×200＝50（千克）（2）大盒共裝的千克數：120－50＝70（千克）（3）

大盒裝的盒數：70÷0.5＝140（盒）（4）一共裝的盒數：200＋140＝340（盒）綜合算式為：200＋（120－0.25×200）÷0.5＝340（盒）案例3：明明家有一些蘋果和梨，蘋果的個數如果減少5個，就恰好是梨的個數的3倍。如果每天吃4個蘋果和2個梨，當梨吃完時蘋果還剩15個。那么原來梨和蘋果各有過少個？分析：想要求出蘋果和梨的個數，一是要找出蘋果和梨的關系，二是要求出蘋果或者梨的個數。從題目中可以看出，蘋果比梨的個數多，可以考慮把梨的個數作為標準來分析它們的倍數關系。梨的個數設為X從題目的第二句話可以得出：蘋果比梨的2倍多15個即蘋果的個數=2X+15;從第一句話可以得出：蘋果比梨的3倍多5個即蘋果的個數=

3X-5。綜合起來可以得出：2X+15=3X-5,3X-2X=15-5,X=10五、方程和函數思想1、方程和函數思想的概念。方程和函數是初等數學代數領域的主要內容，也是解決實際問題的重要工具，他們都可以用來描述現實世界的數量關系，而且他們之間有著密切的聯系，因此，一般將它們放在一起進行討論。含有未知數的等式叫方程，判斷一個式子是不是方程，只需要同時滿足兩個條件:一個是含有未知數，另一個必須是等式。如有些小學老師經常有疑問的判斷題;x=0和x=1是不是方程？根據方程的定義，他們滿足方程的條件，都是方程。方程思想的核心是將問題中未知量用數字以外的數學符號（常用x、y等字母）表示，根據數量之間的相等關系構建方程模型。方程思想體現了已之與未知數的對立統一。(2)函數思想。設集合A，B是兩個非空數集，如果按照某種確定的對立關系f，如果對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數y和它的對應，那么就稱y是x的函數，記作y=f(x)。其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；y叫做函數或因變量，與x相對應的y的值叫做函數值，y的取值范圍B叫做值域。以上函數的定義是從初等數學的角度出發的，自變量只有一個與之對應的函數值也是唯一的。這樣的函數研究的是兩個變量之間的關系，一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也相應發生了變化，中學里學習的正比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數和三角函數都是這類函數。現實生活中的函數還有多元函數。雖然在中小學里不學習多元函數，但它是存在的，如圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關系:v=πr2h.半徑和高有一對取值；也就是說，體積隨半徑和高的變化而變化，通過對這種變化的探究找出對應關系之間的法則，從而構建函數模型。函數思想體現了運動變化的、普遍性的觀點。小學數學在學習方程之前的問題,都通過算術方法解決,在引入方程之后,小學數學中比較復雜的有關數量關系的問題,都可以通過方程解決,方程思想是小學數學的重要思想,其中一元一次方程是小學數學的必學內容,在小學數學里沒有學習函數的概念,但是有函數思想的滲透,與正比例函數和反比例函數最接近的正比例關系和反比例關系是小學數學的必學內容.另外,在小學數學的一些知識中也會滲透函數思想,如數與數的一一對應體現了函數思想.方程和函數是小學數學與初中數學銜接的紐帶.2．方程和函數的教學。方程研究確定的常數與未知的數量之間的關系。函數研究變量之間的數量關系。4方程和函數思想的教學.方程和函數都是義務教育階段重要的數學思想方法.用方程和函數表示數量關系和變化規律,不僅體現方程和函數的思想價值.也有助于學生形成模型思想.根據課程標準的理念,方程和函數思想的教學應關注以下幾點:(1)

方程中的字母X,Y等代表具體的未即未知數,這是代數思想和方程思想的基礎.(2)

正比例關系和反比例關系等函數關系中的字母X,Y等代表的是變化的量,即變量,而且這兩個量是相關聯的量,一個量的變化,另一個量也會隨著變化,這是函數思想的基礎,要讓學生體會它們的區別.方程中的未知數一定是常數嗎?曲線與方程?(3)

結合具體情境,通過分析數量關系來理解等量關系,并用方程表示等量關系,再通過解方程解決問題,從而認識方程的作用.(4)

結合簡單情境,認識成正比例的量或反比例的量,通過分析數量關系和變化規律建立比例關系式,再通過解比例解決問題.(5)

能根據給出的有正比例關系的數據在方格紙上畫圖,并根據其中一個量的值估計另一個量的值.思想方法知識點應用舉例方程思想方程用一元一次方程解決整數和小數等各種問題分數,百分數和比例用一元一次方程解決分數,百分數和比例等各種問題等量代換二(三)元一次方程思想的滲透雞兔同籠用方程解決雞兔同籠問題函數思想加法一個加數不變,和隨著另一個加數的變化而變化,可表示為Y=X+a.滲透正比例函數思想積的變化規律一個因數不變,積隨著另一個因數的變化而變化,表示為Y=KX.滲透正比例函數關系商的變化規律k=y/xy=kx:除數x不變,商k隨著被除數y的增大而增大,滲透著正比例函數思想,被除數y不變,商k隨著除數x的增大而減少,滲透反比例函數思想正比例關系正比例關系改寫成Y=KX,就是正比例函數反比例關系反比例關系改寫成YX=K,就是反比例函數數列等差數列,等比數列,一般數列的每一項與序號之間的對應關系,都可以看作是特殊的函數關系.空間與圖形長方形,正方形,平行四邊形,三角形,梯形的面積公式,長方體.,正方體,圓柱,圓錐的體積公式,圓的周長和面積公式都滲透了函數思想統計圖表函數的列表法與統計表都有相似之處六、分類討論與集合思想

1、分類討論思想的概念。人們面對比較復雜的問題，有時無法通過統一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結論綜合，使問題得到解決，這種解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法。其實質是把問題“分而治之、各個擊破、綜合歸納”。分類規則和解題步驟是：（1）根據研究的需要確定同一分類標（2）恰當地對研究對象進行分類，分類后的所有子項之間既不能“交叉”也不能“從屬”，而且所有子項的外延之和必須與被分類的對象的外延相等，通俗的說就是要做到“既不重復又不遺漏”；（3）逐類逐級進行討論；（4）綜合概括、歸納得出最后結論。分類討論既是解決問題的一般的思想方法，適應于各種科學的研究；同時也是數學領域問題較常用的思想方法。從知識的角度而言，把知識從宏觀到微觀不斷地分類學習，既可以把握全局、又能夠由表及里、細致入微，有利于形成比較系統的數學知識結構和構建良好的認知結構。分類討論思想與集合思想也有比較密切的聯系，知識的分類無時不滲透著集合的思想。另外，分類討論思想還是概率與統計知識的重要基礎。

2、分類討論思想的具體應用。分類討論思想在小學數學的學習中有很多應用，例如從宏觀的方面而言，小學數學可以分為數與代數、空間與圖形、統計與概率和實踐與綜合應用四大領域。從比較具體的知識來說，幾大領域的知識又有很多分支，例如小學數學的認知范圍實際上是在有理數范圍內，有理數可以分為整數和分數，整數又可以分為正整數、零和負整數，整數根據它對2的整除性又可以分為偶數和奇數。正整數又可以分為1、素數和合數。小學數學中分類討論思想的應用如右表思想方法知識點應用舉例

分類討論

分類一年級上冊物體的分類，滲透分類思想、集合思想數的認識數可以分為正數、0、負數有理數可以分為整數和分數（小數是特殊的分數）整數的性質整數可以分成奇數和偶數正整數可以分為1、素數和合數

圖形的認識平面圖形中的多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形、六邊形……三角形按角可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為：不等邊三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形四邊形按對邊是否平行可以分為：平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的四邊形統計數據的分類整理和描述排列組合分類討論是小學生了解排列組合思想的基礎概率排列組合是概率計算的基礎植樹問題先確定是幾排樹，再確定每排樹的情況：兩端都不栽、一端栽一端不栽、兩端都栽抽屜原理構建抽屜實際上是應用分類標準，把所有元素進行分類3、分類討論思想的教學。分類討論思想在小學數學中占有比較重要的地位，而且應用比較廣泛。在教學中應注意一下幾點。第一，在分類單元的教學中，注意滲透分類思想和集合思想，一方面是一般物體的分類，如柜臺上的商品、文具等；另一方面要注意從數學的角度分類，如立體圖形、平面圖形、數的認識和運算等。同時注意滲透集合的思想，就是說當把某些屬性相同的物體放在一起，作為一個整體，就可以看作一個集合。第二，在平時教學中注意經常性地滲透分類思想和集合思想，如平面圖形和立體圖形的分類、數的分類。第三，注意從數學思維和解決問題的方法上滲透分類思想，如排列組合、概率的計算、抽屜原理等問題經常運用分類討論思想解決。第四，在統計與概率知識的教學中，滲透分類的思想。現實生活中數據豐富多彩，很多時候需要把收集到的數據進行分類整理和描述，從而有利于分析數據和綜合地做出推斷。第五，注意讓學生體會分類的目的和作用，不要為了分類而分類。如對商品和物品的分類是為了便于管理和選購，對數學知識和方法進行分類，是為了更深入地研究問題、理解知識、優化解決問題的方法。第六，注意有關數學規律在一般條件下的適用性和特殊條件下的不適用性。也就是說有些數學規律在一般情況下成立，在特殊情況下不成立；而這種特殊性在小學數學里往往被忽略，長此以往，容易造成學生思維的片面性。如在小學里經常有爭議的判斷題：如果5a＝2b，那么a:b=2:5；有人認為是對的，有人認為是錯的。嚴格來說，這道題是錯的，因為這里沒有規定a和b不等于0。之所以產生分歧，是因為在小學數學里有一個不成文的規定：在討論整數的性質時，一般情況下不包括0。這種約定是為了避免麻煩，有一定道理；但是這樣就造成了在解決有關問題時產生分歧，而且不利于培養學生思維的嚴密性，尤其是學生進入初中后的學習中，經常會因為解決問題不全面、忽略特殊情況而出現低級錯誤。ABDEC案例1、圖中有幾個三角形？案例2：任意給出4個兩兩不等的整數，請說明：其中必有兩個數的差是3的倍數。分析：任意一個整數除以3，余數只有三種可能：0、1和2。運用分類思想，構造這樣的三個抽屜：除以3余數分別是0、1和2的整數。根據抽屜原理，必有一個抽屜里至少放了兩個數。這兩個數除以3的余數相等，設這兩個數分別為3m+r和3n+r（m、n都是整數），他們的差=3（m-n），必是3的倍數。集合思想1、集合的概念。把指定的具有某種性質的事物看作一個整體，就是一個集合（簡稱集），其中每個事物叫做該集合的元素（簡稱元）。給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個事物是否屬于這個集合是明確的。如“學習成績好的同學”不能構成一個集合，因為構成它的元素是不確定的；而“語文和數學的平均成績在90分及以上的同學”就是一個集合。一個給定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復出現。只要兩個集合的元素完全相同，就說這兩個集合相等。集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來，并用大括號“{}”括起來表示集合的方法。描述法就是在花括號內寫出規定這個集合元素的特定性質來表示集合的方法。列舉法的局限性在于當集合的元素過多或者有無限多個時，很難把所有的元素一一列舉出來，這時描述法便體現出了優越性。此外，有時也可以用封閉的曲線（韋恩圖）來直觀地表示集合及集合間的關系，曲線的內部表示集合的所有元素。一一對應是兩個集合之間元素（這種元素不一定是數）的一對一的對應，也就是說集合A中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素b與之對應；并且在集合B中的任一元素b，在集合A中也有唯一的元素與之對應。數集之間可以建立一一對應，如正奇數集合和正偶數集合之間的元素可以建立一一對應。其他集合之間也可以建立一一對應，如五（1）班有25個男生，25個女生，如果把男生和女生各自看成一個集合，那么這兩個集合之間可以建立一一對應；再如，中國、美國、俄羅斯、英國、法國、德國作為一個集合，北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、柏林作為一個集合，這兩個集合之間也可以建立一一對應。集合理論是數學的理論基礎，從集合論的角度研究數學，便于從整體和部分及二者的關系上研究數學各個領域的知識。如數系的擴展，從小學的自然數到整數，再到中學的有理數、無理數和實數，都可以從集合的角度來描述。有時用集合語言來表述有關概念更為簡潔，如全體偶數的集合可表示為{x|x=2k，k∈Z}。集合溝通了代數（數）和幾何之間的關系，如y=kx，既是正比例函數，又可以表示一條直線；也就是說在平面直角坐標系上，這條直線是由滿足y=kx的有序實數對所有組成的點的集合。用集合圖描述概念的分類及概念之間的關系，往往層次分明、直觀清晰，如四邊形的分類可以用韋恩圖表示。2、集合思想在小學數學中的具體應用。集合思想在小學數學的很多內容中進行了滲透。在數的概念方面，如自然數可以從對等集合基數（元素的個數）的角度來理解，再如在一年級通過兩組數量相等的實物建立一一對應，讓學生理解“同樣多”的概念，實際上就是兩個對等集合的元素之間建立一一對應；數的運算也可以從集合的角度來理解，如加法可以理解為兩個交集為空集的集合的并集，再如求兩數相差多少，通過把代表兩數的實物圖或直觀圖一對一地比較，來幫助學生理解用減法計算的道理；實際上就是把代表兩數的實物分別看作集合A、B，通過把A的所有元素與B的部分元素建立一一對應，然后轉化為求B與其子集（與A等基）的差集的基數。在小學數學中還經常用集合圖表示概念之間的關系，如把所有三角形作為一個整體，看作一個集合，記為A；把銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各自看作一個集合，分別記為B、C、D，這三個集合就是集合A的三個互不相交的子集，B、C、D的并集就是A。再如在學習公因數和公倍數時，都是通過把兩個數各自的因數和倍數分別用集合圖表示，再求兩個集合的交集，直觀地表示了公因數和公倍數的概念。3、集合思想的教學。集合思想在小學數學中廣泛滲透，在教學中應注意以下幾個問題。第一，應正確理解有關概念。我們知道，兩個數之間可以比較大小，但是兩個集合之間無法直接比較大小，也就是說一般不說兩個集合誰大誰小。如有兩個集合A、B，當且僅當它們有完全相同的元素時，稱A、B相等，記為A=B。如A={2,3,5,7}，B={x|x是小于10的素數}。集合之間可以有包含關系，如C={2,3,5,7,11}，則A是C的真子集。集合之間可以可以比較基數的大小，也就是比較元素的個數的多少。只要兩個集合元素間能夠建立一一對應的關系，那么就說兩個集合的元素個數相等，就是基數相等，即等勢或等基。如果A是C的真子集，就說A的基數小于C的基數。對于有限集比較容易數出它的元素的個數，而對于無限集，又怎樣比較它們元素個數的多少呢？如正整數集合與正偶數集合，它們的基數相等嗎？我們知道，兩個集合的元素，只要能夠建立一一對應就基數相等。正整數集合與正偶數集合的元素之間可以建立如下的一一對應關系。

1

2

3

4

5

…↓

↓

↓

↓

↓2

4

6

8

10

…因此，這兩個集合的元素個數相等，也就是它們的基數相等。案例1：乒乓球比賽有16人參加A組的小組賽，規定采取淘汰賽決出小組第一名參加決賽。一共要進行多少場比賽？分析：淘汰賽一般的規則是每兩個人分為一組比賽一場，勝者進入下一輪繼續進行兩人一組比賽；如果出現單數就有一人輪空，直接進入下一輪比賽。這樣一直進行下去，直到決出第一名。按照這個思路解答，只需要把每一輪比賽的場數算出來，最后加起來就行。第一輪共有8場比賽，第二輪共有4場比賽，第三輪共有2場比賽，第四輪共有1場比賽；所以總共有15（8+4+2+1=15）場比賽。以上思路層次清楚、容易理解，小學生一般都可以接受，但是如果參加小組比賽的人比較多，計算起來就比較麻煩。下面用一一對應的思想來分析：因為每次比賽淘汰一個人，有一場比賽就淘汰一個人，沒有比賽就不淘汰人，要想淘汰一個人就必須有一場比賽，也就是說比賽的場數與被淘汰的人數是一一對應的。在小組參賽的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比賽的場數為15場。第二，正確把握集合思想的教學要求。集合思想雖然在小學數學中廣泛滲透，但是集合的知識并不是小學數學的必學內容；因而應注意把握好知識的難度和要求，盡量使用通俗易懂的語言滲透集合思想。集合除了可以表示概念系統及概念間的關系外，利用韋恩圖進行集合的直觀運算，可以解決一些分類計數的問題。案例2：六（1）班舉辦文藝活動，演出歌舞節目的有9人，演出小品等節目的有12人，兩類節目都參加的有5人。該班共有多少人參加這兩類節目的演出？分析：為了便于理解集合的運算原理，我們借助韋恩圖來分析。左邊的圈里表示演出歌舞節目的人，右邊圈里表示演出小品等節目的人。兩個圈相交的共有的部分有