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第五章定積分abxyo實例1

（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出第一節定積分的概念下頁上頁首頁abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）下頁上頁首頁觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．播放下頁上頁首頁曲邊梯形如圖所示，下頁上頁首頁曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為下頁上頁首頁實例2

（求變速直線運動的路程）思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．下頁上頁首頁求變速直線運動的路程（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值下頁上頁首頁二、定積分的定義定義下頁上頁首頁被積函數被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和下頁上頁首頁注意：下頁上頁首頁注意定理1定理2三、存在定理下頁上頁首頁曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四、定積分的幾何意義下頁上頁首頁幾何意義：下頁上頁首頁例1

利用定義計算定積分解下頁上頁首頁例1下頁上頁首頁例2:利用定積分的定義計算積分：

()。∵被積函數

上連續，

在解：下頁上頁首頁例2對定積分的補充規定:說明

在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小．下頁上頁首頁對定積分的補充規定證（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）性質1下頁上頁首頁定積分的性質1證性質2下頁上頁首頁定積分的性質2補充：不論的相對位置如何,上式總成立.例若（定積分對于積分區間具有可加性）則性質3下頁上頁首頁定積分的性質3證性質4性質5下頁上頁首頁定積分的性質4,5解令于是下頁上頁首頁例3

性質5的推論：證（1）下頁上頁首頁性質5的推論(1)證說明：

可積性是顯然的.性質5的推論：（2）下頁上頁首頁性質5的推論(2)證（此性質可用于估計積分值的大致范圍）性質6下頁上頁首頁定積分的性質6解下頁上頁首頁例4

解下頁上頁首頁例5下頁上頁首頁證由閉區間上連續函數的介值定理知性質7（定積分中值定理）積分中值公式下頁上頁首頁定積分的性質7(定積分中值定理)使即積分中值公式的幾何解釋：下頁上頁首頁積分中值公式的幾何解釋解由積分中值定理知有使下頁上頁首頁例6

五、小結１．定積分的實質：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限下頁上頁首頁3．定積分的性質（注意估值性質、積分中值定理的應用）4．典型問題（１）估計積分值；（２）不計算定積分比較積分大小．下頁上頁首頁思考題將和式極限：表示成定積分.下頁上頁首頁思考題

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