用三線扭擺法測定物體轉動慣量及其實驗誤差

用三線扭擺法測定物體轉動慣量及其實驗誤差摘要：轉動慣量；質量分布；三線扭擺；平行軸定理；實驗誤差MeasuringMomentofInertiaUsingTrilinearPendulumanditsExperimentalError(SchoolofElectricalEngineering,Nanjing,211189)Abstract:Throughtheexperimentwithstopwatch,levelgauge,verniercaliper,meterandinstrumentusing,graspthequalityandcycleequivalentmeasurementmethod;learntousethethreewirependulumformeasuringmomentofinertiaoftheprincipleandmethodofmomentofinertiaofrigidbody,andmassdistributionoftherelationship;consolidatefinallyerrorandthetestresultswereanalyzed.Momentofintertia;Massdistribution;torsionalpendulum;parallelexistheorem;Experimentalerror轉動慣量是剛體轉動慣性大小的量度，它與剛體的質量、轉軸位置及質量相對轉軸的分布情況有關。對于形狀簡單規則的剛體，測出其尺寸和質量，可用數學方法計算出轉動慣量，而對形狀復雜的剛體用數學方法求轉動慣量非常困難，一般要通過實驗方法來測定。三線扭擺法測轉動慣量是一種簡單易行的方法。1實驗原理1.1測定懸盤繞中心軸的轉動慣量J三線擺如圖所示，有一均勻圓盤，在小于其周界的同心圓周上作一內接等邊三角形，從三角行的三個頂點引出三條懸線對稱地連接在置于上部的一個水平小圓盤的下面，小圓盤可以繞自身的垂直軸轉動。當均勻圓盤（以下簡稱懸盤）三條懸線等長時，輕輕轉動上部小圓盤，由于懸線的張力作用，懸盤即繞上下圓盤的中心連線軸OO'周期地反復扭轉運動。當懸盤離開平衡位置轉過某個小角度θ時，整個懸盤的位置也隨之升高h。下面分析三線扭擺的運動。忽略摩擦力的影響，可知，懸盤扭轉運動過程中機械能守恒。（1）式中m是懸盤的質量，是轉動慣量。mgh對應于某時刻懸盤的重力勢能（取懸盤在平衡位置時重力勢能為零），對應于懸盤繞中心軸OO'的轉動的動能，對應于懸盤作上下升降運動時的平動動能。在懸線足夠長，且懸盤作小角度轉動時，遠小于。略去式（1）中平動動能并對時間求導，則有（2）當扭擺達到最大振幅時，在很小的情況下，有（3）將（3）帶入（2）后可得顯然上式是一個簡諧運動方程，其解為式中為懸盤轉動的角頻率，為角振幅。因為轉動周圍，于是有（5）這就是測定懸盤繞中心軸轉動的轉動慣量的計算公式。1.2測定圓環繞中心軸的轉動慣量J把質量為M的圓環放在懸盤上，使兩者中心軸重合，組成一個系統。測得它們繞中心軸轉動的周期為，則它們總的轉動慣量為（6）得圓環繞中心軸的轉動慣量為（7）圓環繞中心軸轉動慣量的理論計算公式為（8）式中分別為圓環外、內半徑。1.3測定圓柱體繞中心軸的轉動慣量J將兩個質量均為M’、半徑為R、形狀相同的圓柱體對稱地放置在懸盤上，柱體中心離懸盤中心的距離為x，按上法測得兩圓柱體和懸盤繞中心軸的轉動周期為T想，則兩圓柱體繞中心軸的轉動慣量為：根據轉動慣量的平行軸定理，圓柱體繞中心軸的轉動慣量的理論計算公式為：。2實驗過程1.調整懸盤水平：將水平儀置于懸盤任意兩懸線之間,調整上盤上的三個旋鈕,使水平儀的氣泡在中間.再把水平儀放到另外兩懸線之間,調整上盤上的三個旋鈕,使水平儀的氣泡在中間,這時懸盤水平.2.測定儀器常數R,r：r和R分別為上下圓盤中心到懸點的距離,通過測出的兩圓盤的相鄰兩個懸點間的距離a和b由等邊三角形關系算出r和R.3.測出兩盤之間的垂直距離H、圓環的內外直徑2R1和2R2、圓柱體直徑2Rx及圓柱體中心至懸盤中心的距離x.4.并測量圓環,圓柱體和懸盤的質量.5.測量空盤繞中心軸AB轉動的運動周期:輕輕轉動上盤(上盤上有小轉動桿),帶動下盤轉動,這樣可以避免三線擺在做扭動時發生晃動.注意扭擺的轉角控制在5°以內.用積累放大法測出扭擺運動的周期(測量擺動50次所需的時間)，重復三次取平均值，求出懸盤的擺動周期T.6．測量待測圓環與下盤共同轉動的周期:將待測圓環置于下圓盤上,注意使兩者中心重合,按上面的方法測出它們一起扭擺運動的周期T1.7.測出兩個小圓柱體(對稱放置)與下盤共同轉動的周期Tx.8.記錄好以上各物理量.9.將各實驗結果與理論值相比較，分析誤差原因.3實驗數據處理及結果分析3.1轉動周期的測定

擺動50需時間t/s懸盤懸盤加圓環懸盤加兩圓柱體183.92182.02181.54283.20282.07280.16383.06381.52380.74平均83.39平均81.87平均80.81周期t/sT=1.668T1=1.637T2=1.616

3.2各長度量和質量的測定項目次數上圓盤懸孔間距離a/10m懸盤懸孔間距離b/10m14.0513.8024.0213.8534.0513.85平均a=4.04b=13.83

項目

次數待測圓環

圓柱體直徑2R/10m外直徑2R/10m內直徑2R/10m111.95810.1022.798211.96210.0822.800311.95610.0862.802平均R=5.980R=5.045R=1.400

r=a=2.33cmR=b=7.98cm實際懸盤半徑R0=8.500cm兩圓盤之間的垂直距離H=0.3660m圓柱體中心至懸盤中心的距離x=0.0540m懸盤質量m=509.99*10-3kg圓環質量M=292.11*10-3kg圓柱體質量M’=174.55*10-3kg(g取9.794m/s2)3.3各轉動慣量的計算（1）懸盤繞中心軸的轉動慣量實驗值=1.790*10-3kg*m2理論值=1.842*10-3kg*m2（2）圓環繞中心軸的轉動慣量實驗值=9.32*10-4kg*m2理論值=8.94*10-4kg*m2(3)圓柱體繞中心軸的轉動慣量實驗值=1.05*10-3kg*m2則Jx=5.25*10-4kg*m2理論值=5.26*10-4kg*m23.4實驗結果J實驗值/kg*m2J理論值/kg*m2百分誤差/％懸盤1.790*10-31.842*10-32.823圓環0.932*10-30.894*10-34.251圓柱體0.525*10-30.526*10-30.1904實驗結果分析4.1實驗注意事項1、游標卡尺的正確使用強調測量桿與鉆臺將碰到時，正確讀數。用完后，測量桿和測量砧之間要松開一段距離。2、要正確的使用水準儀，盡量使得下盤調節水平。3、測量時間時，應該在下盤通過平衡位置時開始記數，在實驗中對對平衡位置的判斷存在一個誤差，對記錄的周期有影響。4、H0為平衡時上下盤間的垂直距離，當下盤加上了待測物體后，距離變成了H。在計算的過程中我們仍然有H0的值來近似H，對計算結果有一定的影響，4.2三線擺系統誤差(1)2H-h≈2H的影響上升高度通過分析誤差取r=2.33cm,R=7.98cm,H=0.366m,從中可以看出θ越大時,近似的誤差越大。須注意,當轉角超過15°時,由此帶來的誤差達到0.04%以上。(2)引起的誤差在轉動慣量的推導中,為簡化計算,取,但是會帶來誤差,而且隨著角度的增大而增大,當轉角超過10°時,由此帶來的誤差Er達到0.2%以上。5總結轉動慣量是剛體轉動慣性大小的量度，它與剛體的質量、轉軸位置及質量相對轉軸的分布情況有關。對于形狀簡單規則的剛體，測出其尺寸和質量，可用數學方法計算出轉動慣量，而對形狀復雜的剛體用數學方法求轉動慣量非常困難，一般要通過實驗方法來測定。三線扭擺法測轉動慣量是一種簡單易行的方法。本文介紹了三線扭擺法測轉動慣量的方法，并進行