定積分在幾何中的應用

定積分在幾何中的應用第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日【課標要求】1．會通過定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積．2．在解決問題的過程中，通過數形結合的思想方法，加深對定積分的幾何意義的理解．【核心掃描】由多條曲線圍成的分割型圖形的面積的求解是考查的重點．第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)如圖2，陰影部分的面積為所以，曲邊梯形的面積等于

的定積分

形上、下兩個邊界所表示的函數的差曲邊梯第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日想一想：當f(x)<0時，f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？ 提示如圖，因為曲邊梯形上邊界函數為g(x)＝0，下邊界函數為f(x)，所以S＝(0－f(x))dx＝－f(x)dx.第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日名師點睛利用定積分求曲邊圖形面積的步驟 一般來說，利用定積分求曲邊圖形面積的基本步驟如下： 第一步：畫出圖形； 第二步：確定圖形范圍，通過解方程組求出交點橫坐標，確定積分上、下限； 第三步，確定被積函數，特別要注意分清被積函數的上、下位置； 第四步，寫出平面圖形面積的積分表達式； 第五步，運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積．第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日注意：由于定積分是一種和式的極限，它可以為正，也可以為0，還可以為負．但平面圖形的面積一般來說總是為正的．因此，當定積分為負值時，一定要通過取絕對值處理為正．第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日題型一不分割型圖形面積的求解【例1】

求由拋物線y＝x2－4與直線y＝－x＋2所圍成圖形的面積．第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日得交點橫坐標為x＝0及x＝1.因此，所求圖形的面積為第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日(2)畫函數y＝f(x)的圖象如圖．由圖象知所求面積為第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日【題后反思】由定積分求平面區域面積的方法求不規則圖形的面積是一種基本的運算技能．在這種題型中往往與導數、函數的最值、不等式等相關知識進行融合．第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日∴切點為(1,1)，切線方程為y＝2x－1.第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日方法技巧化歸與轉化在求定積分中的應用在應用定積分時，定積分的計算是其中的重點也是難點．為計算定積分，要細心觀察，有時某個定積分整體表示某些易求面積的圖形的面積，求定積分的值就可轉化為求圖形的面積．當有些被積函數的原函數不易求得時，可考慮換元，轉換為易求原函數的被積函數，這時積分變量也要改變．第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十二頁，2022年，8月