第四章線性控制系統的綜合與設計

第四章線性控制系統的綜合與設計

本章主要內容狀態反饋的概念狀態反饋設計的理論與算法狀態觀測的概念全維狀態觀測與降維狀態觀測－－－理論與算法基于狀態觀測的狀態反饋采用Matlab進行控制系統設計4.1狀態反饋和輸出反饋BCA++x(t)r(t)y(t)K_DU(t)狀態方程:反饋控制律u=r-Kx狀態反饋BCA++x(t)r(t)y(t)K_DU(t)輸出反饋狀態方程:反饋控制律u=r-Hy閉環系統的能控性和能觀性定理:狀態反饋不改變受控系統(A,B,C)的能控性,但卻不一定能保持系統的能觀測性.定理:輸出反饋不改變原系統的能控性和能觀測性.4.2閉環系統的極點配置4.2.1采用狀態反饋配置系統的極點極點配置定理:令受控系統為,通過狀態反饋U=r-kx能使其閉環極點任意配置的充要條件為系統完全能控.引入狀態反饋期望特征多項式：原系統狀態反饋增益：狀態反饋的其他性質：狀態反饋不能移動系統的零點。采用狀態反饋4.2.1采用輸出反饋配置系統的極點定理:對完全能控定常變量系統為(A,B,C),不能采用輸出線性反饋來實現閉環系統的極點.4.2.3極點配置算法

第1步：考察系統的能控性條件。如果系統是狀態完全能控的，則可按下列步驟繼續。

第2步：求系統矩陣A的特征多項式:第3步：確定將系統狀態方程變換為能控標準形的變換矩陣P。

第4步：寫出期望的特征多項式為：第5步：

4.2.4Ackermann’s公式

Matlab函數：acker()4.2.5控制系統性能指標原系統傳遞函數：極點配置后的傳遞函數：結論：極點配置只改變系統的極點，而不改變系統的零點。例4.2已知系統狀態方程為

試設計狀態反饋控制器，使閉環極點為。

A=[010;0-11;00-2];

b=[001]';

CA=[bA*bA^2*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

F=diag([-1-j-1+j-2]);char_poly=poly(A1);new_char_poly=poly(F);

a1=char_poly(2);a2=char_poly(3);a3=char_poly(4);inv_C_bar=[1a1a2;01a1;001];

P_inv=C*inv_C_bar;P=inv(P_inv);

a1_bar=new_char_poly(2);a2_bar=new_char_poly(3);a3_bar=new_char_poly(4);

k_bar=[a1_bar-a1a2_bar-a2a3_bar-a3];k=k_bar*P解法2：A=[010;0-11;00-2];

b=[001]';

CA=[bA*bA^2*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

P=[-1-j-1+j-2]';K=acker(A,b,P)解法3：A=[010;0-11;00-2];

b=[001]';

CA=[bA*bA^2*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

P=[-1-j-1+j-2]';K=place(A,b,P)例4.4倒立擺系統設計如圖所示的II型伺服控制系統。A=[0100;20.601000;0001;-0.4905000];

b=[0-100.5]';c=[0010];d=[0];

CA=[bA*bA^2*bA^3*b]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(CA)

OA=[c;c*A;c*A^2;c*A^3]disp('Therankofthecontrollabilitmatrix');rank(OA)

A1=[Azeros(4,1);-c0];b1=[b;0];

C=[b1A1*b1A1^2*b1A1^3*b1A1^4*b1];rank(C)F=diag([-1-j-1+j-5-5-5]);char_poly=poly(A1);new_char_poly=poly(F);a1=char_poly(2);a2=char_poly(3);a3=char_poly(4);a4=char_poly(5);a5=char_poly(6);

inv_C_bar=[1a1a2a3a4;01a1a2a3;001a1a2;0001a1;00001];MatLabSourceCode:P_inv=C*inv_C_bar;P=inv(P_inv);a1_bar=new_char_poly(2);a2_bar=new_char_poly(3);a3_bar=new_char_poly(4);a4_bar=new_char_poly(5);a5_bar=new_char_poly(6);k_bar=[a1_bar-a1a2_bar-a2a3_bar-a3a4_bar-a4a5_bar-a5];k=k_bar*P;k1=k(1:4);KI=-k(5);AA=[A-b*k1b*KI;-c0];%A1-b1*k;b1=[00001]';c1=[c0];eig(AA)sys=ss(AA,b1,c1,d);[y,t,x]=step(sys);closeall;plot(t,y);title('Theoutputofthestatefeedbacksystem');xlabel('t(Sec)');ylabel('y');grid;

figure;plot(t,x);title('Theoutputofthestatevariables');xlabel('t(Sec)');ylabel('x');grid;4.3狀態觀測器的設計4.3.1狀態重構問題令線性系統定常系統(A,B,C)的狀態不能直接量測,如果將動態系統以的輸入和輸出作為其輸入量,能產生一組輸出兩漸近于x,即構造觀測器的原則:以的輸入和輸出作為輸入量.為滿足,必須完全能觀測,和不能觀測的子系統是漸近穩定的.的輸出應以夠快的速度漸近于x,即應有足夠的寬度頻帶.系統觀測器存在地充要條件是線性定常系統是完全能觀的,觀測器存在地充要條件是線性定常系統的不能觀測部分是漸近穩定的.BCA++BCA++Lx(t)r(e)y(t)+_+系統的狀態觀測器u(t)利用對偶原理設計狀態觀測器對偶系統采用狀態反饋根據極點配置方法，得到反饋矩陣特征多項式:和期望的特征多項式,使其s多項式對應項的系數相同,得到反饋矩陣.降維觀測器的設計定理:已知線性定常系統完全能觀測.假設，為m×m非奇異矩陣，則存在n-m維降階觀測器此時，狀態x的漸近估計為：其中：4.4帶狀態觀測器的狀態反饋系統BCA++BCA++Lx(t)u(t)y(t)+_+具有狀態觀測器極點配置控制器Fr(t)帶有觀測器的閉環系統的狀態空間表達式：寫成矩陣形式：系統的基本特性閉環極點設計的分離性傳遞函數的不變性觀測器反饋與直接狀態反饋的等效性MATLAB控制工具箱極點配置和狀態觀測函數

函數名稱功能格式ackerSISO極點配置k=acker(a,b,p)placeMIMO極點配置K=place(A,B,p)estim生成系統狀態估計器，觀測器estestim(sys,L)reg系統調節器生成rsys=reg(sys,K,L)例題已知系統的動態方程為設計系統的降維狀態觀測器。解：通過簡單的變換，可以得到：狀態變量x1可由y直接得到，因此只要設計三維狀態觀測器。由系統的特征多項式為：設狀態觀測器的期望極點為，3?j±?2，即期望的特征多項式為：例題設被控對象的傳遞函數為，若狀態不能直接測量到，試采用狀態觀測器實現狀態反饋控制，使閉環系統的特征值配置在λ=-7.07±j7.7。解：狀態空間表達式（選擇第二能觀標準型）為：設K=[k1k2]，直接狀態反饋閉環系統特征多項式為：為了使觀測器的響應