第四節冪函數

一、函數項級數的概念二、冪函數第四節冪函數一、函數項級數的概念設un(x)(n=1,2,…)為定義在某實數集合X上的為定義在集合X上的函數項無窮級數,函數序列,稱級數或函數級數.簡稱函數項如果對給定的點x0∈X,常數項級收的集合,稱為級數(8.7)的收斂域(發散域).散點.函數項級數(8.7)在點x0處發散,如果常數項級數發散,則稱則稱函數項級數(8.7)在點x0處收斂,函數項級數(8.7)的所有收斂點(發散點)構成斂,x0為級數(8.7)的收斂點;x0為級數(8.7)的發對于收斂域中的每一個x,函數項級數(8.7)都(x屬于收斂域)是定義在收斂域上的一個函數.為函數項級數(8.7)的部分和.有唯一確定的和(記為S(x))與之對應.因此數(8.7)的和函數,并稱于是,當x屬于函數項級數(8.7)的收斂域時,有稱S(x)為函數項級當|q|<1時,幾何級數收斂,且有于是,若令q=x,則函數項級數的收斂域為(－1,1),和函數為若令,則函數項級數的收斂域為若令q=sinx,則函數項級數的收斂域為為整數其和函數為(－∞,－1)∪(1,+∞),和函數為二、冪函數形如或的函數項級數,稱為冪函數,x0均為常數,其中an(n=0,1,2,…)和并稱an(n=0,1,2,…)為冪函數的系數.定理8.9如果冪級數(8.8)在點x0≠0處收斂,則在滿足不等式|x|<|x0|的一切點x處絕對收斂;如果冪級數(8.8)點x1處發散,則滿足|x|>|x1|的一切點x處發散.證設冪級數(8.8)在x0≠0處發散.因而數列{anx0n}有界,即存在正數M,使得|anx0n|≤M,n=0,1,2,…于是,對于滿足|x|<|x0|的所有x,皆有的必要條件,有根據級數收斂其中由于幾何級數收斂,故由定理8.3如果冪級數(8.8)在點x1處發散,則對任何滿足若不然,如果存在x2,|x2|>|x1|,級數收斂,假設矛盾.定理證畢.則由上面的討論可知,級數應收斂,與|x|>|x1|的x,冪級數(8.8)皆發散.可知,冪級數(8.8)絕對收斂.|x|<R時,冪級數(8.8)收斂;如果：|x|>R時,(8.8)發散.稱R為冪級數(8.8)的收斂半徑.定理8.10設冪級數(8.8)滿足(1)若0<ρ<+∞,則;(2)若ρ=0,則R=+∞;(3)若ρ=+∞,則R=0.證

(1)令un(x)=anxn,則當ρ|x|<1,即時,冪級數(8.8)絕對收斂;當ρ|x|>1,即時,冪級數(8.8)發散.因此,.于是,由0<ρ<+∞和比值判別法可知,(2)ρ=0時,對任意x≠0,由式(8.10)有故冪級數(8.8)絕對收斂.因此,R=+∞.(3)ρ=+∞時,對任意x≠0,由式(8.10)有故冪級數(8.8)發散.因此,R=0.定理證畢.注意,求出冪級數(8.8)的收斂區間(－R,R)之[-R,R]為收斂域,的斂散性.還需判別x=-R和x=R時的級數和稱區間[－R,R)或(－R,R]或后,而收斂區間專指開區間(-R,R).例8.12求下列冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域:解(1)由于可知收斂半徑為R=3.當x=－3時,原冪級數化為,它顯然絕對因此,冪級數的收斂區間為(－3,3),當x=3時,原冪級數化為,這是p=2的p級數(2)令t=x2,則原冪級數化為.由于收斂.收斂;收斂域為[－3,3].故的收斂半徑為R=2,從而原冪級數的當時,原冪級數化為,顯因此,冪級數的收斂區間為,收斂半徑為然發散.收斂區域為.所以,冪級數的收斂半徑為R=2.由于當t=2時,收斂;(3)令t=x+3,則原冪級數化為.因此冪級數的收斂區間為(－2,2),當t=－2時,發散.因此,原冪級數的收斂區間為(－5,－1),收斂區域為(－5,－1].收斂域為(－2,2].定理8.11如果冪級數(8.8)的收斂半徑R>0,其和函數為S(x),則有(1)S(x)在(-R,R)內連續;若(8.8)在x=R(或x=-R)處收斂,則S(x)在x=R處左連續(或在x=-R處右連續).(2)S(x)在(－R,R)內可導,且有逐項求導公式:(3)S(x)在(－R,R)內可積,且有逐項積分公式:例8.13求冪級數的和函數S(x).解于是,由定理8.11的逐項求導公式(8.11),得將上式兩端同乘以x,得例8.14求冪級數