第三節空間點、直線、平面之間的位置關系

第三節空間點、直線、平面之間的位置關系

1．平面的基本性質 公理1：如果一條直線上的_______在一個平面內，那么這條直線在這個平面內． 公理2：過_________的三點，有且只有一個平面． 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們________________過該點的公共直線．兩點不共線有且只有一條

1．平面的基本性質2．空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α2．空間點、直線、平面之間的位置關系平行相交任何相交平行在平面內平行相交空間點線面之間的位置關系銳角或直角

平行．

相等或互補．

一個理解兩種方法三個作用ABCDA1B1C1D1Q平面的基本性質

ABCDA1B1C1D1GEF1．證明共面問題的依據是公理2及其推論，包括線共面，點共面兩種情況，常用方法有：(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內．(3)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．

2、證明多點共線的方法是利用公理3，只需說明這些點都是兩個平面的公共點，則必在這兩個平面的交線上。3、證明三線共點的一般方法，即證明點是兩個平面的公共點，直線是這兩個平面的交線。

設A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是________． ①若AC與BD共面，則AD與BC共面； ②若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線； ③若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC； ④若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC. 【思路點撥】

①可用公理進行判斷；②可用反證法進行判斷；③可利用幾何直觀進行判斷；④可由線面垂直，推出線線垂直．空間兩條直線的位置關系

③【解】

由公理1知，命題①正確．對于②，假設AD與BC共面，由①正確得AC與BD共面，這與題設矛盾，故假設不成立，從而結論正確．對于③，如圖，當AB＝AC，DB＝DC，使二面角A—BC—D的大小變化時，AD與BC不一定相等，故不正確．對于④，如圖，取BC的中點E，連結AE，DE，則由題設得BC⊥AE，BC⊥DE.根據線面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC.1．判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過該點B的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．

如圖7－3－4所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱D1C1、C1C的中點，求證直線BN與MB1是異面直線。

方法一：定義法方法二：反證法如圖，在三棱錐A－BCD中，E、F分別是BC、AD的中點，ABCDEF（1）若AB=CD，AB與CD成300，求EF與AB所成的角；（2）若EF＝7，AC＝10，BD＝6，求異面直線AC與BD所成的角。600150或750

求兩異面直線所成的角，利用中位線平移化成兩相交直線所成的角。異面直線所成的角

若三棱錐A-BCD是正四面體，則EF與AB所成角是多少？1、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°C2．如圖7－3－7所示是三棱錐D—ABC的三視圖，點O在三個視圖中都是所在邊的中點，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()

AACBDO方法一ACBDOB/C/方法二ABDEFGC