定點數乘除運算及實現

定點數乘除運算及實現第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：設A＝0.1101,B＝0.1011，則AB的手工運算過程為：

①將多數一次相加，機器難以實現。一般的加法器，只能把兩個輸入數相加，多個位積的同時輸入是無法實現的②機器字長（即加法器）只有n位，而乘積位數增長了一倍，即2n問題：第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日解決方案:(a)把一次求和的操作，變成逐步累加求部分積的操作

(b)將求積過程中左移位積的操作，改為位積不動，而是上次部分積右移的操作手工運算過程計算機內運算的實現方法第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日

[例]已知:X＝－0﹒101，Y＝－0﹒110，用原碼一位乘法求[X?Y

]原＝？

[X]原＝1﹒101

[Y]原＝1﹒110②

[X?Y]原＝１⊕１+(0﹒101)×(0﹒110)③則（0﹒101)×(0﹒110)的過程為：0﹒000＋00﹒000———————————0﹒000

＋X0﹒1

0

1

—————————————————0﹒1

0

1

0

0﹒00000﹒0

1

0

1

0＋X—————————————————0﹒1

0

1

0﹒1

1

1

1

00﹒01

1

1

1

0

解：用原碼一位乘法實現X?Y過程為：

①所以：[X?Y]原＝0+0﹒011110＝0﹒011110第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日

例：

已知X=+0．1101，Y=-0．1011，求Z=X·Y。解：

［X］原=0．1101【Y】原=1．1011

②[X?Y]原＝0⊕1+(0﹒1101)×(0﹒1011)

③則(0﹒1101)×(0﹒1011)的過程為：

所以：[X?Y]原＝［Z］原=1+0.10001111＝1．10001111Z=

－0．10001111第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日原碼一位乘法的乘法器結構框圖如圖：所示：原碼一位乘法的乘法器工作原理：乘法開始時，“啟動”信號使控制觸發器Cx置“1”，于是開啟時序脈沖T。

當乘數寄存器R1最末位為“1”時，部分積Zi和被乘數X在加法器中相加，其結果輸出至R0的輸入端。一旦打入控制脈沖T到來，控制信號LDR0使部分積右移一位，與此同時，R1也在控制信號LDR1作用下右移一位，且計數器i計數一次。當計數器i=n時，計數器的溢出信號使觸發器Cx置“0”，關閉時序脈沖T，乘法宣告結束。第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

原碼兩位乘法：基本原理類似：只是從最低位開始，每次取兩位乘數與被乘數相乘，得到一次部分積，與上次部分積相加后右移2。有關原碼兩位乘法具體操作過程不再詳細討論第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日補碼乘法補碼一位乘法

補碼與真值的關系：例：已知【Y】補=Y0．Y1Y2‥‥Yn，證明真值：Y＝（－Y0）＋Yi×2－ｉi=1n∑證明：①當Y

0時，Y

0=0則真值Y

＝（－0）＋

0．Y1Y2‥‥Yn＝i=1n∑Yi×2－ｉ②當Y

0時，Y

0=1依補碼的定義：Y

＝【Y】補－2＝1．Y1Y2‥‥Yn－2

＝－1＋0．Y1Y2‥‥Yn

＝－1＋i=1n∑Yi×2－ｉ所以：Y＝（－Y0）＋i=1n∑Yi×2－ｉ第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日[例]已知:[N]補＝1．1101,[－N]補＝10011,求[N]補,[－N]補具有

的數值[N]補＝1．1101

具有的數值為：解：N＝－1×20＋1×2－1＋1×2－2＋0×2－3＋1×2－4[－N]補＝10011具有的數值為：－N＝－1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝(－13)10＝(－0.1875)10第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日由補碼與真值轉換公式真值:

Y=（－Ｙ0＋)i=1n∑Yi×2－ｉ=-Y0*20+Y1*2-1

+Y2*2-2

+…+Yn*2-n=-Y0*20+(Y1*20-Y1*2-1)

+(Y2*2-1-Y2*2-2)

+…+=(Y1-Y0)*20+…+(Yn+1-Yn)*2-n+(Y2-Y1)*2-1在最后1位后再補1位(Yi+1-Yi)*2-ii=0n=第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日

[例]

已知:[N]補＝0.1101,[－N]補＝1.0011,

求[N]補,[－N]補具有的數值。[解:]

[N]補＝0.1101具有的數值為：

N＝(1－0)×2-0＋(1-1)×2-1＋(0-1)×2-2＋(1-0)×2-3＋(0-1)×2-4

＝13/16[－N]補＝1.0011具有的數值為

N＝(0－1)×2-0＋(0-0)×2-1＋(1-0)×2-2＋(1-1)×2-3＋(0-1)×2-4

＝－13/16第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日補碼乘法公式：[X·Y]補=[X]補·[Y]補=

[X]補·Y證明過程：略由補碼乘法公式及補碼與真值的關系得：[X·Y]補=[X]補?Y=

[X]補【(Y1－Y0)20＋(Y2-Y1)2-1

＋‥(Yn+1－Yn)2-n】(Yi+1-Yi)*2-ii=0n?=[X]補?上式中Yn+1－Yn只有4中情況：0－0＝00－1＝－11－0＝11－1＝0下面通過例子來熟悉補碼一位乘法的操作過程：+0+[-X]補+[X]補+0第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日[例]已知:X＝－0﹒101，Y＝－0﹒110，用補碼一位乘法求（X?Y）補

解：用補碼實現X?Y過程為：①

[X]補＝1﹒011

[Y]補＝1﹒010②[Y]補＝1﹒0100③則用補碼一位乘法的過程為：0﹒0

0

0

＋00﹒0

0

0

———————————0﹒0

0

0

＋[－X]補0﹒1

0

1

————————————0﹒1

0

1

0

0﹒0

0

0

0

0﹒0

1

0

1

0[X]補—————————————1﹒0

1

1

1﹒1

0

1

1

01﹒11

0

1

1

0[－X]補＝0﹒101

＋[－X]補0﹒1

0

1—————————————————0﹒01

1

11

0[X?Y]補＝0.011110所以：第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日實現補碼一位乘法的乘法器的邏輯框圖如圖所示

補碼兩位乘法：是把補碼的一位乘法的兩個單步操作和并成一個操作。即：【（Zi+2）補】=2-2｛【Zi補】+(Yn+1+Yn－2Yn－1)】·【X】補｝第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日3陣列乘法器.不帶符號的陣列乘法器例：4×4位不帶符號的陣列乘法器邏輯圖：第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日

定點除法運算及其實現

除法運算可采用：①原碼進行，又有恢復余數法和不恢復余數法

②補碼進行，采用加減交替法

③陣列除法器

1.原碼除法運算：是指用原碼表示兩數相除，求出原碼表示的商⑴運算規則：設有n位定點小數(定點整數也同樣適用)：

被除數ｘ：[ｘ]原＝ｘf.ｘn－1…ｘ1ｘ0除數ｙ：[ｙ]原＝ｙf.ｙn－1…ｙ1ｙ0

則有商q其原碼為：

[q]原＝(ｘf⊕ｙf)+(0.ｘn－1…ｘ1ｘ0/0.ｙn－1…ｙ1ｙ0)

原碼除法中據對余數的處理不同，又可分為：恢復余數法和加減交替法第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：X=0.1001，Y=－0.1101，手算X/Y的過程為：恢復余數法的計算過程和手算相似：原碼恢復余數法解：符號位為：1數碼的手算過程為：最后：余數：R＝＋0.00012－4商：Q＝－0.1011第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日(1)每次都是由心算來比較余數和除數的大小，余數大時，商1；余數小時，商0。第一次比較時，余數就是被除數。(2)每做一次減法，總是保持余數不動，而除數向右移一位。(3)最后據符號位運算的結果給商以正確的符號對上述手算計算過程分析得：為適應機器運算，需要進行改進：（1）

用減法來比較余數和除數的大小（2）

除數右移改為余數左移。

(3)定點除法運算必須要求被除數的高n位小于除數，否則益處下面就通過例子講一下原碼恢復余數法的在計算機的操作過程：第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：X=0.1001，Y=－0.1101，用原碼恢復余數法求X/Y＝？解：0.1001/0.1101用原碼恢復余數的過程為：[ｘ/y]原＝0⊕1＝1(ｘf⊕ｙf)+|x|/|y|

符號：QS＝[|x|]補[|Y|]補[－|Y|]補＝＝0.1001＝0.11011.0011第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日余數>0商1即q3=1所以0.1001/0.1101用原碼恢復余數的過程為：0.1001

－︱y︱+[－|y|]補1.0011

——————————1.1100

余數<0商０即q0=0＋︱y︱

0.1101

——————————0.1001左移1位1.0010

－︱Y︱

1.0011+[－|y|]補——————————0.0101余數>0商1即q1=1左移1位0.1010-|Y|

+[－|y|]補1.0011——————————1.1101余數<0

商0即q2=0＋︱y︱

0.1101———————————0.1010左移1位1.0100－

︱y︱

+[－|y|]補1.0011

——————————0.0111

左移1位0.1110

+[－|y|]補1.0011———————————0.0001余數>0商1即q4=1所以：商：Q＝－0.1011,余數：R＝＋0.00012－4第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日用原碼恢復余數法：求|X|

/|Y|的解題步驟：

y*=︱Y︱先將被除數/余數減去除數得新余數Ri

若Ri＞0：商“1”，再將Ri左移一位后減除數(即2Ri－y*)，得新余數Ri′

若Ri<0：商“0”,先將Ri＋y*，即完成恢復余數的運算，再對Ri＋y*左移一位后減除數，即2(Ri＋y*)-y*

，得新的余數Ri′

再將上述過程重復n（除數位數）次，共上n位商

最后所得的商和余數即為|X|

/|Y|

的商及余數｝原碼恢復余數法算法：X－Y=R↗≥0↘商１2R－Y=R≤0商02(R+Y)－Y=R↓→＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿↑分析原碼恢復余數法得知：①當余數Ri＞0時，商“1”，再對Ri左移一位后減除數，即2Ri－y*②當余數Ri＜0時，商“0”，先將Ri+y*，再2(Ri+y*)-y*，也即2Ri+y*。原碼恢復余數法可歸納為：①當余數Ri＞0時,商“1”，做2Ri－y*運算②當余數Ri＜0時，商“0”，做2(Ri+y*)-y*運算第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日用原碼加減交替法：求|X|

/|Y|的解題步驟：

先將余數減去除數得新余數Ri

若Ri＞0：商“1”，做2Ri－y*運算

若Ri<0：商“0”,做2Ri+y*運算

再將上述過程重復n（除數位數）次，共上n位商

最后所得的商和余數即為|X|

/|Y|

的商及余數原碼不恢復余數法（加減交替法）原碼不恢復余數法算法：X－Y=R↗≥0↘商１2R－Y=R≤0商02R+Y=R｝→＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿↑↓原碼加減法可歸納為：①當余數Ri＞0時,商“1”，做2Ri－y*運算②當余數Ri＜0時，商“0”，做2Ri+y*運算第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：

已知:X＝－0﹒101，Y＝0﹒110求：【x/y】原＝？用不恢復余數法解。

[X/Y]原＝１⊕0+(0﹒101)÷(0﹒110)[X]原＝1﹒101[Y]原＝0﹒110[-︱Y︱]補＝1﹒０10

則（0﹒101）÷(0﹒110)的原碼不恢復余數法的過程為：０﹒1０1

－︱Y︱1﹒0

1

0

—————————————1﹒1

1

1

余數<0商０即q0=0＋︱Y︱

0﹒1

1

0

———————————————0﹒1０0

1﹒０00

———————————————

－︱Y︱

1﹒0

10

0﹒0

10

余數>0商1即q1=10﹒1

00

－︱Y︱

1﹒0

10

———————————————1﹒1

10余數>0

商1即q2=11﹒1

00＋︱Y︱

0﹒1

10

———————————————0﹒0

10余數<0商0即q3=0

〔

x/y〕原＝１．１１０余數為：0.010×2-3

１﹒1

1０解：第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：已知:x＝0.1011,y＝0.1101,求【x/y】原＝？用恢復余數及加減交替法解。解：|x|

＝0﹒1011|y|＝0﹒1101(1)恢復余數法解0﹒1011/0﹒1101的過程為：【x/y】原＝0⊕0+|x|/|y|[－|y|]補＝1﹒0011

故【x/y】原=0.1101余數為：0.0111×2-４第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日故：[x/y]原=0.1101余數為：0.0111×2-４@@@@@

(2)不恢復余數法解0﹒1011/0﹒1101的過程為：第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日⑴補碼除法：指“符號位和數碼位一起參加除法運算，參加運算的操作數是補碼，求得的商數和余數也是補碼。⑵補碼除法運算方法：采用加減交替法。⑶補碼除法加減交替法的操作過程：

2.補碼除法運算③

重復第②步ｎ－１次④第ｎ次上商后，不再移位及＋Ｙ，－Ｙ操作。⑤若商為負數，則在商末尾加１

若余數與被除數Ｘ異號，則要糾余：若Ｘ，Ｙ同號，用＋Ｙ糾余，若Ｘ，Ｙ異號，用－Ｙ糾余，