機械工程控制基礎chap3-1

第三章時域分析法一、典型輸入信號二、一階系統的時間響應三、二階系統的時間響應四、誤差分析和計算五、小結一、典型輸入信號

時域分析的目的

在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統的控制性能。優點：直觀、簡便第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

典型輸入信號第三章時域分析法在時間域進行分析時，為了比較不同系統的控制性能，需要規定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統的典型輸入信號。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

對典型輸入信號的要求第三章時域分析法

形式簡單，便于解析分析；

能夠使系統工作在最不利的情形下；

實際中可以實現或近似實現。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

常用的典型輸入信號Asint

正弦信號

單位加速度信號

t，

t0單位速度(斜坡)信號1(t)，t0單位階躍信號

1(t)，t=0單位脈沖信號復數域表達式

時域表達式

名

稱

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

卷積定理

單位脈沖響應函數（權函數weightingfunction)0tf(t)單位脈沖函數1第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法能反映系統在工作過程中的大部分實際情況；

典型輸入信號的選擇原則如：若實際系統的輸入具有突變性質，則可選階躍信號；若實際系統的輸入隨時間逐漸變化，則可選速度信號。注意：對于同一系統，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統本身的性能不會改變。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法二、一階系統的時間響應

一階系統（慣性環節）

一階系統的單位階躍響應極點（特征根）：-1/T第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

一階系統單位階躍響應的特點響應分為兩部分

瞬態響應：表示系統輸出量從初態到終態的變化過程（動態/過渡過程）

穩態響應：1表示時，系統的輸出狀態

，隨時間的推移，指數增大，

且無振蕩。，無穩態誤差；第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法，即經過時間T，系統響應達到其穩態輸出值的63.2%，從而可以通過實驗測量慣性環節的時間常數T；

時間常數T反映了系統響應的快慢。通常工程中當響應曲線達到并保持在穩態值95%~98%時，認為系統響應過程基本結束。從而慣性環節的過渡過程時間為。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

第三章時域分析法將一階系統的單位階躍響應式改寫為：該性質可用于判別系統是否為慣性環節，以及測量慣性環節的時間常數。tln[1-xo(t)]0即與時間t成線性關系。ln[1-xo(t)]第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

一階系統的單位速度響應第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

一階系統單位速度響應的特點

經過足夠長的時間，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；系統響應誤差為：

瞬態響應：；穩態響應：t–T；第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

一階系統的單位脈沖響應xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)T第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

一階系統單位脈沖響應的特點

xo

(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數衰減；對于實際系統，通常應用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號。

瞬態響應：

穩態響應：0第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法線性定常系統時間響應的性質

系統時域響應通常由穩態分量和瞬態分量共同組成，前者反映系統的穩態特性（準確性），后者反映系統的動態特性（穩定性與快速性）。

注意到：

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法對一階系統：即：系統對輸入信號導數的響應等于系統對該輸入信號響應的導數。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法同樣可知，系統對輸入信號積分的響應等于系統對該輸入信號響應的積分，其積分常數由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質對任何線性定常系統均成立。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法三、二階系統的時間響應

二階系統

其中，T為時間常數，也稱為無阻尼自由振蕩周期，為阻尼比；n＝1/T為系統的無阻尼固有頻率。二階系統的特征方程：極點（特征根）：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第二章

數學模型如：質量-彈簧-阻尼系統傳遞函數：式中，當時，為振蕩環節。第二章

數學模型Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

欠阻尼二階系統（振蕩環節）：0<

<1具有一對共軛復數極點：系統時域響應含有衰減的復指數振蕩項：其中，稱為有阻尼固有頻率。由歐拉公式，有：

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

臨界阻尼二階系統：

＝1具有兩個相等的負實數極點：系統時域響應含有衰減項：

過阻尼二階系統：

>1具有兩個不相等的負實數極點：系統包含兩類瞬態衰減分量：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

零阻尼二階系統：

＝0具有一對共軛虛極點：

負阻尼二階系統：

<0極點實部大于零，響應發散，系統不穩定。系統時域響應含有復指數振蕩項：第三章時域分析法第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法不同阻尼比下，極點分布的情況第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering

二階系統的單位階躍響應第三章時域分析法

欠阻尼（0<

<1）狀態

其中，第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

欠阻尼二階系統單位階躍響應的特點

瞬態分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。有阻尼固有頻率；

振蕩頻率隨減小而加大,增加可以降低振蕩，但系統快速性降低。

一定時，n越大，瞬態響應分量衰減越迅速，系統響應快速性越好。

，無穩態誤差；

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法欠阻尼二階系統單位階躍響應曲線5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

臨界阻尼（

=1）狀態

10txo(t)

特點

單調上升，無振蕩、無超調；

0,)1(1)(3+-=-tettxtnonww，無穩態誤差；

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

過阻尼（

>1）狀態01txo(t)

特點

單調上升，無振蕩，過渡過程時間長

，無穩態誤差；

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

無阻尼（

=0）狀態

210txo(t)

特點頻率為n的等幅振蕩。0,cos1)(3-=tttxnow第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

負阻尼（

<0）狀態

0txo(t)-1<<0t0xo(t)<-1

-1<

<0：輸出表達式與欠阻尼狀態相同。

<-1：輸出表達式與過阻尼狀態相同。

特點：振蕩發散

特點：單調發散

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

幾點結論

二階系統的阻尼比決定了其振蕩特性：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法<0時，階躍響應發散，系統不穩定；

>1時，無振蕩，過渡過程長；0<

<1時，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴重，

但響應愈快，=0時，出現等幅振蕩。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法一定時，n越大，瞬態響應分量衰減越迅速，即系統能夠更快達到穩態值，響應的快速性越好。

工程中除了一些不允許產生振蕩的應用，如指示和記錄儀表系統等，通常采用欠阻尼系統，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統的快速性同時又不至于產生過大的振蕩。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

二階系統的性能指標

控制系統的時域性能指標

控制系統的性能指標是評價系統動態品質的定量指標，是定量分析的基礎。系統的時域性能指標通常通過系統的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：上升時間tr、峰值時間tp、調整時間ts、最大超調量Mp、振蕩次數N、穩態誤差ess。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering單位階躍響應上升時間峰值時間調整時間穩態誤差第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

評價系統快速性的性能指標

上升時間tr(risetime)響應曲線從零時刻出發首次到達穩態值所需時間。對無超調(過阻尼)系統，上升時間一般定義為響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間。

峰值時間tp(peaktime)響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

調整時間ts(settlingtime)響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的2%或5%）內所需的時間。

最大超調量Mp(maximumovershoot)響應曲線的最大峰值與穩態值之差。通常用百分數表示：

評價系統穩定性的性能指標

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

振蕩次數N在調整時間ts內系統響應曲線的振蕩次數。實測時，可按響應曲線穿越穩態值次數的一半計數。穩態誤差ess

系統進入穩態后期望值與實際值之差。

評價系統準確性的性能指標

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

欠阻尼二階系統的時域性能指標

上升時間tr根據上升時間的定義有：欠阻尼二階系統的階躍響應為：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法從而：顯然，一定，n越大，tr越小；n一定，越大，tr越大。即：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

峰值時間tp，并將t=tp代入可得：

令即：

第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法根據tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp越大。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

最大超調量Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關。最大超調量直接說明了系統的阻尼特性。越大，Mp越小，系統的平穩性越好，當=0.4~0.8時，可以求得相應的Mp=25.4%~1.5%。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二階系統Mp—

圖第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法當

n一定時,越大，ts越小。當一定時，n越大，ts越小，系統響應越快。當0<<0.7時，

調整時間ts第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

振蕩次數NN僅與有關。與Mp一樣直接說明了系統的阻尼特性。越大，N越小，系統平穩性越好。對欠阻尼二階系統，振蕩周期則2122xwpwp-==nddT第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

二階系統的動態性能由n和決定。

結論一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調整n以獲得合適的瞬態響應時間。一定，n越大，系統響應快速性越好，tr、tp、ts越小。增加可以降低振蕩，減小超調量Mp和振蕩次數N，但系統快速性降低，tr、tp增加；通常根據允許的最大超調量來確定。第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法

例題1圖a)所示機械系統，當在質量塊m上施加f(t)=8.9N的階躍力后，m的位移時間響應如圖b)。試求系統的質量m、彈性系數K,粘性阻尼系數C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法解：根據牛頓第二定律：其中，系統的傳遞函數為：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據拉氏變換的終值定理：

K=8.9/0.03=297N/mKKCsmsssXxsoso9.89.8lim)(lim)(200=++==￥??由圖b)知，因此：第三章時域分析法Collegeofmechanical&electronicengineering第三章時域分析法又由圖b)知：解得：=0.6又由：代入

，可得n=1.96rad/s根據解得m=77.3Kg，C=181.8Nm/s第三章時域分析法Collegeofmechanica