振動力學單自由度系統自由振動

單自由度系統自由振動2023/2/31《振動力學》教學內容單自由度系統自由振動無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼2023/2/32《振動力學》無阻尼自由振動令x為位移，以質量塊的靜平衡位置為坐標原點，λ為靜變形當系統受到初始擾動時，由牛頓第二定律，得：在靜平衡位置：固有振動或自由振動微分方程：單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置0x靜平衡位置彈簧原長位置m動畫12023/2/33《振動力學》固有振動或自由振動微分方程：令：單位：弧度/秒（rad/s）則有：通解：任意常數，由初始條件決定振幅：初相位：固有頻率單自由度系統自由振動2023/2/34《振動力學》單自由度系統自由振動動畫22023/2/35《振動力學》系統固有的數值特征，與系統是否正在振動著以及如何進行振動的方式都毫無關系不是系統的固有屬性的數字特征，與系統過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統所處的狀態有關單自由度系統自由振動2023/2/36《振動力學》考慮系統在初始擾動下的自由振動設的初始位移和初始速度為：令：有：單自由度系統自由振動2023/2/37《振動力學》時刻以后的自由振動解為：零時刻的初始條件：零初始條件下的自由振動：單自由度系統自由振動2023/2/38《振動力學》零初始條件下的自由振動：無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止初始條件的說明：初始條件是外界能量轉入的一種方式，有初始位移即轉入了彈性勢能，有初始速度即轉入了動能單自由度系統自由振動2023/2/39《振動力學》零初始條件下的自由振動：無阻尼的質量彈簧系統受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止單自由度系統自由振動初始條件：固有頻率從左到右：時間位置2023/2/310《振動力學》固有頻率計算的另一種方式：在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統，若能測出靜變形，則用該式計算是較為方便的單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置2023/2/311《振動力學》例：提升機系統重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力單自由度系統自由振動Wv2023/2/312《振動力學》解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置則t=0時，有：振動解：單自由度系統自由振動W靜平衡位置kxWv2023/2/313《振動力學》振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：動張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動引起的動張力，應當降低升降系統的剛度單自由度系統自由振動Wv2023/2/314《振動力學》例：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動頻率和最大撓度單自由度系統自由振動mh0l/2l/22023/2/315《振動力學》解：由材料力學：自由振動頻率為：單自由度系統自由振動取平衡位置以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系靜變形mh0l/2l/2x靜平衡位置2023/2/316《振動力學》撞擊時刻為零時刻，則t=0

時，有：則自由振動振幅為：梁的最大擾度：單自由度系統自由振動mh0l/2l/2x靜平衡位置2023/2/317《振動力學》例：圓盤轉動圓盤轉動慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點位置扭振固有頻率單自由度系統自由振動為軸的扭轉剛度，定義為使得圓盤產生單位轉角所需的力矩由牛頓第二定律：2023/2/318《振動力學》由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動的數學描述完全相同。如果在彈簧質量系統中將m、k稱為廣義質量及廣義剛度，則彈簧質量系統的有關結論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質量系統是廣義的單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置2023/2/319《振動力學》從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現為系統的質量或轉動慣量，而彈性元件是產生使系統恢復原來狀態的恢復力的元件，它表現為具有剛度或扭轉剛度度的彈性體。同一個系統中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置2023/2/320《振動力學》例：復擺剛體質量m對懸點的轉動慣量重心C

求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率單自由度系統自由振動a0C2023/2/321《振動力學》解：由牛頓定律：因為微振動：則有：固有頻率：實驗確定復雜形狀物體的轉動慣量的一個方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質繞質心的轉動慣量：單自由度系統自由振動a0C2023/2/322《振動力學》單自由度系統自由振動例：彈簧－質量系統沿光滑斜面做自由振動斜面傾角300質量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零求：系統的運動方程m300重力角速度取9.82023/2/323《振動力學》單自由度系統自由振動解：以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系振動固有頻率：振動初始條件：考慮方向初始速度：運動方程：m3002023/2/324《振動力學》教學內容無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統自由振動2023/2/325《振動力學》能量法對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統，也可以利用能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系統的固有頻率無阻尼系統為保守系統，其機械能守恒，即動能T

和勢能V

之和保持不變，即：或：單自由度系統自由振動2023/2/326《振動力學》彈簧質量系統動能：勢能：（重力勢能）（彈性勢能）不可能恒為0單自由度系統自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置零勢能點2023/2/327《振動力學》如果將坐標原點不是取在系統的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置動能：勢能：設新坐標單自由度系統自由振動0mx零勢能點y靜平衡位置彈簧原長如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標原點取在靜平衡位置上，方程中就不會出現重力項2023/2/328《振動力學》考慮兩個特殊位置上系統的能量靜平衡位置上，系統勢能為零，動能達到最大最大位移位置，系統動能為零，勢能達到最大單自由度系統自由振動對于轉動：x

是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置xmax0mx2023/2/329《振動力學》例：如圖所示是一個倒置的擺擺球質量m剛桿質量忽略每個彈簧的剛度求:(1)倒擺作微幅振動時的固有頻率(2)擺球時，測得頻率為，時，測得頻率為，問擺球質量為多少千克時恰使系統處于不穩定平衡狀態？單自由度系統自由振動lmak/2k/22023/2/330《振動力學》解法1：廣義坐標動能勢能零勢能位置1零勢能位置1單自由度系統自由振動lmak/2k/22023/2/331《振動力學》解法2：零勢能位置2動能勢能零勢能位置2單自由度系統自由振動lmak/2k/22023/2/332《振動力學》單自由度系統自由振動例：均質圓柱質量m，半徑R與地面純滾動在A、B點掛有彈簧確定系統微振動的固有頻率k1abRk1k2k2AB2023/2/333《振動力學》單自由度系統自由振動解：k1abRk1k2k2AB廣義坐標：圓柱微轉角圓柱做一般運動，由柯希尼定理，動能：C點為運動瞬心勢能：CA點速度：B點速度：2023/2/334《振動力學》單自由度系統自由振動解：k1abRk1k2k2AB動能：勢能：C2023/2/335《振動力學》單自由度系統自由振動k1Rk2Mm例：鉛垂平面內一個滑輪-質量-彈簧系統確定系統微振動的固有頻率滑輪為勻質圓柱，繩子不可伸長，且與滑輪間無滑動，繩右下端與地面固結。2023/2/336《振動力學》單自由度系統自由振動解：k1Rk2Mm廣義坐標：質量塊的垂直位移x動能：x勢能：2023/2/337《振動力學》單自由度系統自由振動解：k1Rk2Mm廣義坐標：質量塊的垂直位移x動能：x勢能：2023/2/338《振動力學》教學內容無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統自由振動2023/2/339《振動力學》瑞利法－利用能量法求解固有頻率時，對于系統的動能的計算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計彈性元件的質量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實際值的上限單自由度系統自由振動mkx0－這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質量因占系統總質量相當大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高2023/2/340《振動力學》例如：彈簧質量系統設彈簧的動能:

系統最大動能：系統最大勢能：若忽略，則增大單自由度系統自由振動彈簧等效質量mtmkx0因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實際值的上限2023/2/341《振動力學》教學內容無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統自由振動2023/2/342《振動力學》等效質量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標后，將系統得動能、勢能寫成如下形式：當、分別取最大值時：則可得出：Ke：簡化系統的等效剛度Me：簡化系統的等效質量等效的含義是指簡化前后的系統的動能和勢能分別相等單自由度系統自由振動2023/2/343《振動力學》動能勢能單自由度系統自由振動零勢能位置1lmak/2k/22023/2/344《振動力學》單自由度系統自由振動k1abRk1k2k2AB動能勢能2023/2/345《振動力學》單自由度系統自由振動k1Rk2Mmx動能勢能2023/2/346《振動力學》方法2：定義法等效剛度：使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度等效質量：使系統在選定的坐標上產生單位加速度而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效質量單自由度系統自由振動2023/2/347《振動力學》例：串聯系統總變形：在質量塊上施加力P彈簧1變形：彈簧2變形：根據定義：或Pmk1k2單自由度系統自由振動使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度2023/2/348《振動力學》例：并聯系統兩彈簧變形量相等：受力不等：在質量塊上施加力

P由力平衡：根據定義：并聯彈簧的剛度是原來各個彈簧剛度的總和Pmk1k2單自由度系統自由振動mk1k2使系統在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統在這個坐標上的等效剛度2023/2/349《振動力學》例：杠桿系統杠桿是不計質量的剛體求：系統對于坐標x

的等效質量和等效剛度單自由度系統自由振動k1k2m1m2l1l2l3x2023/2/350《振動力學》解法1：能量法動能：勢能：單自由度系統自由振動等效質量：等效剛度：固有頻率：k1k2m1m2l1l2l3x2023/2/351《振動力學》解法2：定義法設使系統在x方向產生單位加速度需要施加力P設使系統在x坐標上產生單位位移需要施加力P單自由度系統自由振動則在m1、m2上產生慣性力，對支座取矩：則在k1、k2處將產生彈性恢復力，對支點取矩：PPk1k2m1m2l1l2l3x2023/2/352《振動力學》教學內容無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼單自由度系統自由振動2023/2/353《振動力學》阻尼自由振動－最常用的一種阻尼力學模型是粘性阻尼例如：在流體中低速運動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認為受到粘性阻尼單自由度系統自由振動－實際系統的機械能不可能守恒，存在各種各樣的阻力－振動中將阻力稱為阻尼：摩擦阻尼，電磁阻尼，介質阻尼和結構阻尼－盡管已經提出了許多數學上描述阻尼的方法，但是實際系統中阻尼的物理本質仍然極難確定2023/2/354《振動力學》粘性阻尼力與相對速度稱正比，即：c：為粘性阻尼系數，或阻尼系數單位：動力學方程：或寫為：固有頻率相對阻尼系數mkc單自由度系統自由振動建立平衡位置，并受力分析mx02023/2/355《振動力學》動力學方程：令：特征方程：特征根：三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼單自由度系統自由振動2023/2/356《振動力學》第一種情況：欠阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統自由振動兩個復數根2023/2/357《振動力學》欠阻尼振動解：設初始條件：則：或：單自由度系統自由振動2023/2/358《振動力學》欠阻尼振動解：阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：T0：無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期單自由度系統自由振動2023/2/359《振動力學》欠阻尼響應圖形單自由度系統自由振動振動解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動ξ=0ξ<1時間位置2023/2/360《振動力學》欠阻尼響應圖形單自由度系統自由振動振動解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動ξ<1ξ=0動畫32023/2/361《振動力學》不同阻尼，振動衰減的快慢不同單自由度系統自由振動不同阻尼大小的振動衰減情況：阻尼小：阻尼大阻尼大，則振動衰減快阻尼小，則衰減慢動畫42023/2/362《振動力學》評價阻尼對振幅衰減快慢的影響與t

無關，任意兩個相鄰振幅之比均為衰減振動的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部減幅系數單自由度系統自由振動定義為相鄰兩個振幅的比值：2023/2/363《振動力學》減幅系數：含有指數項，不便于工程應用實際中常采用對數衰減率：單自由度系統自由振動2023/2/364《振動力學》實驗求解利用相隔

j

個周期的兩個峰值進行求解得：當較小時（）單自由度系統自由振動2023/2/365《振動力學》第二種情況：過阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：兩個不等的負實根振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統自由振動2023/2/366《振動力學》過阻尼振動解：設初始條件：則：一種按指數規律衰減的非周期蠕動，沒有振動發生單自由度系統自由振動響應圖形2023/2/367《振動力學》第三種情況：臨界阻尼動力學方程：特征方程：特征根：特征根：二重根振動解：c1、c2：初始條件決定單自由度系統自由振動2023/2/368《振動力學》振動解：臨界阻尼則：也是按指數規律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些臨界阻尼系數單自由度系統自由振動設初始條件：響應圖形2023/2/369《振動力學》tx(t)臨界也是按指數規律衰減的非周期運動，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數規律衰減的非周期蠕動，沒有振動發生2023/2/370《振動力學》小結：動力學方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數規律衰減的非周期蠕動按指數規律衰減的非周期運動，比過阻尼衰減快振幅衰減振動2023/2/371《振動力學》例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質量塊越過平衡位置的位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數單自由度系統自由振動kcx0x0Pm平衡位置2023/2/372《振動力學》解：由題知設求導：設在時刻t1

質量越過平衡位置到達最大位移，這時速度為：即經過半個周期后出現第一個振幅x1單自由度系統自由振動kcx0x0Pm平衡位置2023/2/373《振動力學》由題知解得：單自由度系統自由振動2023/2/374《振動力學》例：單自由度系統自由振動剛桿質量不計求：（1）寫出運動微分方程（2）臨界阻尼系數，阻尼固有頻率小球質量mlakcmb2023/2/375《振動力學》解：單自由度系統自由振動阻尼固有頻率：