多元函數微分1

多元函數的基本概念一、平面點集n維空間二、多元函數概念三、多元函數的極限四、多元函數的連續性上頁下頁鈴結束返回首頁一、平面點集n維空間

1.平面點集

坐標平面上具有某種性質P的點的集合稱為平面點集記作

E{(x

y)|(x

y)具有性質P}

設P0(x0

y0)是xOy平面上的一個點

是某一正數點P0的鄰域記為U(P0

)它是如下點集鄰域

點與點集之間的關系

內點如果存在點P的某一鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的內點

外點如果存在點P的某個鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的外點

邊界點如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點也有不屬于E的點則稱P點為E的邊界點邊界點內點外點

E的邊界點的全體稱為E的邊界記作E

聚點

有E中的點則稱P是E的聚點

D是連通的連通性如果點集E內任何兩點都可用折線連結起來且該折線上的點都屬于E

則稱E為連通集

E1E2是非連通的開集

如果點集E的點都是內點,則稱E為開集.閉集如果點集的余集Ec為開集則稱E為閉集

舉例

點集E{(x

y)|1<x2y2<4}是開集也是開區域點集E{(x

y)|1x2y24}是閉集也是閉區域點集E{(x

y)|1x2y24}既非開集也非閉集

區域(或開區域)

連通的開集稱為區域或開區域閉區域開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域有界集

對于平面點集E

如果存在某一正數r

使得EU(O

r)

其中O是坐標原點則稱E為有界點集

無界集

一個集合如果不是有界集就稱這集合為無界集

點集{(x

y)|xy0}是無界閉區域

點集{(x

y)|xy0}是無界開區域

舉例

點集{(x

y)|1x2y24}是有界閉區域

我們把n元有序實數組(x1

x2

xn)的全體所構成的集合稱為n維空間,記為Rn即

Rn{(x1

x2

xn)|xiR

i12

n}

2.n維空間xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量

點x(x1

xn)和點y(y1

yn)間的距離記作(x

y)規定兩點間的距離鄰域

設aRn

是某一正數則n維空間內的點集

U(a

){x|xRn

(x

a)}就定義為Rn中點a的鄰域

平面點集中由鄰域定義的各種概念可以類似地推廣.

注：二、多元函數概念二元函數的定義設D是R2的一個非空子集稱映射f

DR為定義在D上的二元函數通常記為zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D稱為該函數的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

函數值與自變量x、y的一對值(x

y)相對應的因變量z的值稱為f在點(x

y)處的函數值記作f(x

y)

即zf(x

y)

值域

f(D){z|zf(x

y)(x

y)D}

函數也可以用其它符號如zz(x

y)

zg(x

y)等

把上述定義中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D映射f

DR就稱為定義在D上的n元函數通常記為uf(x1

x2

xn)(x1

x2

xn)D

或uf(x)

x(x1

x2

xn)D

或uf(P)

P(x1

x2

xn)D

二、多元函數概念二元函數的定義設D是R2的一個非空子集稱映射f

DR為定義在D上的二元函數通常記為zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D稱為該函數的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

n元函數在一般地討論用算式表達的多元函數uf(x)時以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域對這類函數它的定義域不再特別標出

多元函數的定義域函數zln(xy)的定義域為{(x

y)|xy>0}函數zarcsin(x2y2)的定義域為{(x

y)|x2y21}

舉例

例1

求下列函數的定義域,并畫出定義域的圖形.

解(1)

用X型區域表示:

例1

求下列函數的定義域,并畫出定義域的圖形.

解(2)

用Y型區域表示:

z=ax+by+c二元函數的圖形點集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D}稱為二元函數zf(x,y)的圖形.(1)z=ax+by+c的圖形是一個平面.舉例

(2)方程x2+y2+z2a2確定兩個二元函數其圖形分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2a2}.(3)z=2x2+y2的圖形是橢圓拋物面.三、多元函數的極限二重極限的定義設二元函數f(P)f(x

y)的定義域為D

P0(x0

y0)是D的聚點如果存在常數A對于任意給定的正數e總存在正數使得當|f(P)A||f(x

y)A|成立則稱常數A為函數f(x

y)當(x

y)(x0

y0)時的極限記為也記作類似地,可以定義多元函數的極限.提示

當點P(x,y)沿x軸、y軸趨于點(0,0)時函數的極限為零.

當點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時,有因此,函數f(x,

y)在(0,0)處無極限.討論注:如果當P以兩種不同方式趨于P0時,函數趨于不同的值,

則函數的極限不存在.

多元函數的極限運算法則與一元函數的情況類似.

解

例2

四、多元函數的連續性二元函數連續性定義二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數上去.設二元函數f(x

y)的定義域為D

P0(x0

y0)為D的聚點

且P0D如果則稱函數f(x

y)在點P0(x0

y0)連續

如果函數f(x

y)在D的每一點都連續那么就稱函數f(x

y)在D上連續或者稱f(x

y)是D上的連續函數

提示多元連續函數的和、差、積仍為連續函數連續函數的商在分母不為零處仍連續多元連續函數的復合函數也是連續函數

一切多元初等函數在其定義區域內是連續的多元初等函數的連續性

多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的

提示定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域

根據連續性求極限

如果f(P)是初等函數且P0是f(P)的定義域的內點則

例3

解

因為P0(12)為D的內點所以

D{(x

y)|x0

y0}

根據連續性求極限

如果f(P)是初等函數且P0是f(P)的定義域的內點則

例4

解

性質1(有界性與最大值最小值定理)

在有界閉區域D上的多元連續函數必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值多元連續函數的性質性質2(介值定理)

在有界閉區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值

用X型區域表示:

解

練習1

求函數的定義域,并畫出定義域的圖形.其中

解

練習2

求下列極限.

解

練習2

求下列極限.

證明

練習3

證明極限不存在.

當點(x,y)在直線y=kx

上時,有點(x,y)沿不同的直線y=kx

趨于點(0,0)時,函數趨于不