應用統計(12)第12章時間序列預測(2011年)

數據分析

(方法與案例)

作者賈俊平統計學統

計

學

Statistics未來是不可預測的，不管人們掌握多少信息，都不可能存在能作出正確決策的系統方法。

——C.R.Rao統計名言第11章時間序列預測11.1時間序列的成分和預測方法11.2平穩序列的預測11.3趨勢預測11.4多成分序列的預測11.5Box-Jenkins方法：ARIMA模型

Forecast學習目標時間序列的組成要素預測方法的選擇與評估平穩序列的預測方法趨勢序列的預測方法多成分序列的預測方法ARIMA模型

使用SPSS和Excel預測下個月的消費者信心指數是多少？消費者信心指數不僅僅是消費信心的反映，在某種程度上反映了消費者對整個宏觀經濟運行前景的看法一些國家都把消費者信心指數作為經濟運行的一項預警指標來看待。國家統計局定期公布這類數據下表是國家統計局公布的2009年7月至2010年8月我國的消費者預期指數、消費者滿意指數和消費者信心指數(%)怎樣預測下個月的消費者信心指數呢？首先需要弄清楚它在2009年7月至2010年8月過去的這段時間里是如何變化的，找出其變化的模式。如果預期過去的變化模式在未來的一段時間里能夠延續，就可以根據這一模式找到適當的預測模型并進行預測。本章介紹的內容就是有關時間序列的預測問題下個月的消費者信心指數是多少？日期消費者預期指數消費者滿意指數消費者信心指數2009.07101.1103.6102.12009.08102.0103.8102.72009.09102.2103.7102.82009.10102.6104.0103.22009.11103.0103.8103.32009.12104.0103.8103.92010.01104.6104.8104.72010.02104.5103.7104.22010.03108.2107.5107.92010.04106.8106.2106.62010.05108.2107.7108.02010.06108.9107.8108.52010.07108.6106.4107.82010.08107.9106.2107.311.1時間序列的成分和預測方法

11.1.1時間序列的成分11.1.2預測方法的選擇與評估第11章時間序列預測11.1.1時間序列的成分11.1時間序列成分和預測方法時間序列

(timesseries)按時間順序記錄的一組數據觀察的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式觀測時間用表示，觀測值用表示時間序列的組成要素(components)：趨勢、季節變動、循環波動和不規則波動時間序列的組成要素(components)趨勢(trend)持續向上或持續向下的變動

季節變動(seasonalfluctuation)在一年內重復出現的周期性波動循環波動(Cyclicalfluctuation)非固定長度的周期性變動不規則波動(irregularvariations)

除去趨勢、季節變動和周期波動之后的隨機波動稱為不規則波動只含有隨機波動而不存在趨勢的序列也稱為平穩序列(stationaryseries)四種成分與序列的關系：Yi=Ti×Si×Ci×Ii含有不同成分的時間序列平穩趨勢周期季節時間序列的成分

(例題分析)【例11-1】

1990年—2005年我國人均GDP、轎車產量、金屬切削機床產量和棉花產量的時間序列。繪制圖形觀察其所包含的成分含有不同成分的時間序列

(a)人均GDP序列(b)轎車產量序列(c)機床產量序列(d)棉花產量序列11.1.2預測方法的選擇與評估11.1時間序列成分和預測方法預測方法的選擇與評估

預測方法的評估一種預測方法的好壞取決于預測誤差的大小預測誤差是預測值與實際值的差距度量方法有平均誤差(meanerror)、平均絕對誤差(meanabsolutedeviation)、均方誤差(meansquareerror)、平均百分比誤差(meanpercentageerror)和平均絕對百分比誤差(meanabsolutepercentageerror)較為常用的是均方誤差(MSE)11.2平穩序列的預測

11.2.1移動平均預測11.2.2簡單指數平滑預測第11章時間序列預測平穩序列的預測平穩序列(stationaryseries)：不含有趨勢的序列，其波動主要是隨機成分所致，序列的平均值不隨著時間的退役而變化通過對時間序列進行平滑以消除其隨機波動，因而也稱為平滑法平穩序列的預測方法有簡單平均(simpleaverage)法、移動平均(movingaverage)法、簡單指數平滑(simpleexponentialsmoothing)法、Box-Jenkins方法(ARIMA模型)等本節主要介紹移動平均和簡單指數平滑兩種方法，Box-Jenkins方法在10.5節中介紹11.2.1移動平均預測11.2平穩序列的預測移動平均預測

(movingaverage)

選擇一定長度的移動間隔，對序列逐期移動求得平均數作為下一期的預測值將最近k期數據平均作為下一期的預測值

設移動間隔為k(1<k<t)，則t+1期的移動平均預測值為預測誤差用均方誤差(MSE)

來衡量移動平均預測

(特點)

將每個觀測值都給予相同的權數只使用最近期的數據，在每次計算移動平均值時，移動的間隔都為k主要適合對較為平穩的序列進行預測對于同一個時間序列，采用不同的移動步長預測的準確性是不同的選擇移動步長時，可通過試驗的辦法，選擇一個使均方誤差達到最小的移動步長移動平均預測

(例題分析)

【例11-2】根據表11-1中的棉花產量數據，分別取移動間隔k=3和k=5進行移動平均預測，計算出預測誤差，并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較。進行移動平均預測ExcelExcel移動平均預測

(例題分析)

移動平均預測

(例題分析)

cottonMA11.2.2簡單指數平滑預測11.2平穩序列的預測簡單指數平滑預測

(simple

exponentialsmoothing)適合于平穩序列(沒有趨勢和季節變動的序列)對過去的觀測值加權平均進行預測的一種方法觀測值時間越遠，其權數也跟著呈現指數的下降，因而稱為指數平滑t+1的預測值是t期觀測值與t期平滑值St的線性組合，其預測模型為

Yt為第t期的實際觀測值

St

為第t期的預測值為平滑系數(0<<1)簡單指數平滑預測

(平滑系數的確定)不同的會對預測結果產生不同的影響當時間序列有較大的隨機波動時，宜選較小的，注重于近期的實際值時，宜選較大的

選擇時，還應考慮預測誤差誤差均方來衡量預測誤差的大小確定時，可選擇幾個進行預測，然后找出預測誤差最小的作為最后的值簡單指數平滑預測

(例題分析)指數平滑預測【例11-2續】根據表11-1中的棉花產量數據，分別取=0.3和=0.5進行指數平滑預測，計算出預測誤差，并將原序列和預測后的序列繪制成圖形進行比較阻尼系數=1-SPSSExcelExcel簡單指數平滑預測

(例題分析—Excel輸出的結果)移動平均和簡單指數平滑預測

(例題比較分析)cottonS-EXP&MA用SPSS進行簡單指數平滑預測

(13.0版本)第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【ExponentialSmoothing

】，進入主對話框第2步：將預測變量(本例為“棉花產量”)選入【Variables】。在【Model】下選擇【Simple】。點擊【Parameters】，在【General[Alpha]-Value】后輸入制定的值(本例分別取0.3和0.5)(注：若不知道指定多大的合適，可選擇【GridSearch】，系統會自動搜索，初始值為0，步長為0.1，終止值為1)在【InitialValue】下選擇【Custom】，并在【Starting】后輸入初始值(本例選擇1990年的實際值：450.77)，在【Trend】后輸入“0”(表示沒有趨勢)。點擊【Continue】返回主對話框(注：初始值的默認方式是【Automatic】，此時系統會根據原始值序列自動計算適合的初始值和趨勢值)點擊【Save】，在【PredictCase】下點擊【Predict-Through】，在【Observation】后的方框內輸入要預測的要預測的觀測值的時期數(本例為17，表示要預測2006年的數值)。【Continue】返回主對話框。點擊【OK】指數平滑預測SPSS用SPSS進行簡單指數平滑預測

(16.0版本)使用SPSS進行時間序列預測時，首先需要對觀測值序列附加時間因方法是選擇【Data】【Definedates】，然后在【CasesAre】下根據需要選擇【Years】、【Years，quarters】等等，然后指定第一個觀測值的時間【FirstCaseIs】。這樣，SPSS會在觀測值序列之后加上時間變量第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【Createmodels】，進入主對話框第2步：將預測變量選入【DependentVariables】。在【Method】下選擇【ExponentialSmoothing】，點擊【Criteria】，在【ModelType】下選擇【Simple】（進行簡單指數平滑預測），點擊【Continue】返回主對話框第3步：點擊【Save】，在【Description】下選擇需要預測的結果，如【PredictedValues】、【LowerConfidenceLimits】、【UpperConfidenceLimits】、【NoiseResiduals】等。點擊【options】，在【ForecastPeriod】下選中【Firstcaseafterendofestimationperiodthroughaspecifieddate】，在【Date】框內輸入要預測的時期

指數平滑預測SPSS簡單指數平滑預測

(例題分析—SPSS13.0輸出的結果)自動模式：1.

不知道指定多大的合適，選擇【GridSearch】，系統自動搜索

2.系統自動計算合適的初始值和趨勢值系統自動搜索的預測及誤差平方和排序。誤差最小的是=0.411.3趨勢預測

11.3.1線性趨勢預測11.3.2非線性趨勢預測11.3.3殘差自相關及其檢驗第11章時間序列預測趨勢序列預測時間序列有常數增減的線性趨勢和不同形態的非線性趨勢可選擇的預測模型線性趨勢(lineartrend)模型回歸直線Holt指數平滑模型(Holt’smodel)非線性趨勢(non-lineartrend)模型指數曲線多項式11.3.1線性趨勢預測11.3趨勢預測線性趨勢預測

(lineartrend)線性趨勢:是時間序列按一個固定的常數(不變的斜率)增長或下降擬合一條線性趨勢方程進行預測

t—時間變量

b0—趨勢線在Y軸上的截距

b1—斜率，表示時間t

變動一個單位時觀測值的平均變動量線性趨勢預測

(例題分析)【例11-3】根據表11-1中人均GDP數據，用直線趨勢方程預測2006年的人均GDP，并給出各年的預測值和預測誤差，將實際值和預測值繪制成圖形進行比較線性趨勢方程：預測的R2和標準誤差：R2=0.9806

2005年人均GDP增長率的預測值

線性趨勢預測SPSS線性趨勢預測

(例題分析)預測值預測誤差置信區間SPSS線性趨勢預測

(例題分析)GDPlinear11.3.2Holt指數平滑預測11.3趨勢預測在簡單指數平滑中，實際上是用期的平滑值作為期的預測值，它適合于較平穩的序列。當時間序列存在趨勢時，簡單指數平滑的預測結果總是滯后于實際值Holt指數平滑預測模型，一般簡稱為Holt模型(Holt’smodel)，適合于含有趨勢成分(或有一定的周期成分)序列的預測Holt模型使用兩個參數(平滑系數)和(取值均在0和1之間)和以下三個方程Holt指數平滑預測模型

(Holt’smodel)

Holt模型的三個方程Holt指數平滑預測模型

(Holt’smodel)

平滑值趨勢項更新

K期預測值

Holt模型中初始值的確定Holt指數平滑預測模型

(Holt’smodel)

HoltHolt指數平滑預測模型

(例題分析)

【例11-4】沿用例11—3。用Holt指數平滑模型預測2006年的人均GDP，并將實際值和預測值繪制成圖形進行比較SPSS用SPSS進行Holt指數平滑預測

(16.0版本)第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【Createmodels】，進入主對話框第2步：將預測變量選入【DependentVariables】。在【Method】下選擇【ExponentialSmoothing】，點擊【Criteria】，在【ModelType】下選擇【Holt’slineartrend】。點擊【Continue】返回主對話框第3步：點擊【Save】，在【Description】下選擇需要預測的結果，如【PredictedValues】、【LowerConfidenceLimits】、【UpperConfidenceLimits】、【NoiseResiduals】等。點擊【options】，在【ForecastPeriod】下選中【Firstcaseafterendofestimationperiodthroughaspecifieddate】，在【Date】框內輸入要預測的時期Holt指數平滑預測SPSSHolt指數平滑預測

(例題分析—SPSS16.0輸出的結果)Holt指數平滑預測

(例題分析—SPSS16.0輸出的結果)人均GDP的Holt指數模型預測Holt11.3.2非線性趨勢預測11.3趨勢預測時間序列以幾何級數遞增或遞減一般形式為指數曲線

(exponentialcurve)

b0，b1為待定系數exp表示自然對數ln的反函e=2.71828182845904可線性化后使用最小二乘法可直接使用SPSS指數曲線

(例題分析)

【例11-5】根據表11-1中的轎車產量數據，用指數曲線預測2006年的轎車產量，并計算出各期的預測值和預測誤差，將實際值和預測值繪制成圖形進行比較指數曲線趨勢方程：2005年轎車產量的預測值

用SPSS進行曲線估計第1步：選擇【Analyze】【Regression–CurveEstimation】選項，進入主對話框第2步：在主對話框中將被預測變量(本例為“轎車產量”)選入【Dependent】；將自變量(本例為“時間t”)選入【Variable】；在【Models】下選擇【Exponential】(如果需要其他曲線，可選擇【Cubic】(三次曲線)、【S】(S型曲線)等等)；點擊【Save】。在【SaveVariables】下選中【PredictedValues】(輸出點預測值)、【Residual】(輸出殘差)、【PredictionIntervals】(輸出95%的預測區間)。點擊【Continue】回到主對話框。點擊【OK】指數曲線預測SPSS用SPSS進行曲線估計

(Model中的其他曲線)【Models】下提供的其他曲線：【Quadratic】—二次曲線【Cubic】—三次曲線【Compound】—復合曲線【S】—S型曲線【Growth】—成長曲線【Power】—冪指數曲線曲線預測SPSS指數曲線

(例題分析—SPSS)預測值預測誤差置信區間SPSS指數曲線

(例題分析—SPSS)carY=5.734×EXP(0.242t)Y=5.734×1.273^t)有些現象的變化形態比較復雜，它們不是按照某種固定的形態變化，而是有升有降，在變化過程中可能有幾個拐點。這時就需要擬合多項式函數當只有一個拐點時，可以擬合二階曲線，即拋物線；當有兩個拐點時，需要擬合三階曲線；當有k-1個拐點時，需要擬合k階曲線k階曲線函數的一般形式為可線性化后，根據最小二乘法求使用SPSS中的【Analyze】【Regression–CurveEstimation】【Models】【Cubic】得到多階曲線多階曲線

(例題分析)

【例11-6】根據表11-1中的金屬切削機床產量數據，擬合適當的趨勢曲線，預測2006年的金屬切削機床產量，并計算出各期的預測值和預測誤差，將實際值和預測值繪制成圖形進行比較三階曲線方程：

2005年的預測值三階趨勢預測SPSS多階曲線

(例題分析)

預測值預測誤差置信區間SPSS多階曲線

(例題分析)machinetoolCubic11.3.3殘差自相關及其檢驗11.3趨勢預測殘差自相關及其檢驗

(autocorrelation)不同點的時間序列殘差之間的相關稱為自相關時間序列的殘差是時間序列的觀測值與相應的預測值之差對于大多數商業和經濟序列來說，殘差會出現連續的正值和連續的負值，也就是相鄰的兩個殘差具有相同的正負號，時間序列殘差之間的相關稱為自相關相鄰兩期(t期和t-1期)殘差之間的相關稱為一階自相關殘差自相關及其檢驗

(自相關對預測的影響)對于自相關序列應避免使用最小二乘法擬合的回歸模型進行預測最小二乘回歸的基本假定之一就是殘差是相互獨立的隨機變量自相關顯然破壞了這些假定，從而使回歸系數的估計不再具有最小方差的性質用最二乘模型進行預測時產生的誤差比預期的要大將回歸方法用于時間序列時應注意這一問題解決殘差自相關的辦法之一是引進觀測值的滯后值作為自變量進行這種回歸預測，這樣的回歸稱為自回歸殘差自相關及其檢驗

(D-W檢驗)判斷殘差之間是否存在自相關的方法之一就是使用Durbin-Watson檢驗，簡稱D-W檢驗對于雙側檢驗提出的假設為H0：殘差無自相關，H1：殘差存在自相關檢驗統計量為檢驗時使用D-W檢驗統計量臨界值表判斷殘差自相關及其檢驗

(D-W檢驗統計量臨界值表)顯著性水平為=0.05、樣本量為n、自變量個數為k，統計量的臨界值下限為dL和上限dU殘差自相關及其檢驗

(D-W檢驗的判別)統計量的取值范圍是0<d<4若統計量d<dL，拒絕原假設，存在自相關如果統計量d>dU，不拒絕原假設，沒有證據表明存在自相關如果dL<d<dU，屬于不確定區，無法根據Durbin-Watson統計量作出判斷殘差自相關及其檢驗

(例題分析)【例】根據表11-1中的金屬機床產量序列，檢驗是否存在自相關統計量d=0.47<1.10，拒絕原假設，機床產量序列存在自相關

自相關及其檢驗

(用SPSS計算檢驗統計量d)【Analyze】【Regression-linear】將因變量選入【Dependent】(本例為機床產量)將自變量選入【Independent(s)】(本例為時間)主對話框點擊【Statistics】，選擇【Residuals】中的【Durbin-Watson】，點擊【Continue】回到主對話框點擊【OK】在輸出結果中的“ModelSummary”給出的統計量為0.470計算D-W統計量SPSS11.4多成分序列的預測

11.4.1Winters指數平滑預測11.4.2引入季節啞變量的多元回歸預測11.4.3分解預測第11章時間序列預測多成分序列的預測序列包含多種成分預測方法主要有Winters指數平滑預測模型(Winters’model)引入季節啞變量的多元回歸模型(seasonalmultipleregression)預測分解(decomposition)預測等分解預測是先將時間序列的各個成分依次分解出來，爾后再進行預測11.4.1Winters指數平滑預測11.4多成分序列的預測簡單指數平滑模型適合于對平穩序列(沒有趨勢和季節成分)的預測；Holt指數平滑模型適合于含有趨勢成分但不含季節成分序列的預測如果時間序列中既含有趨勢成分又含有季節成分，則可以使用Winter指數平滑模型進行預測要求數據是按季度或月份收集的，而且至少需要4年(4個季節周期長度)以上的數據Winter指數平滑模型包含三個平滑參數即、和(取值均在0和1之間)和以下四個方程Winter指數平滑預測模型

(Winter’smodel)

Winter模型的四個方程Winter指數平滑預測模型

(Winter’smodel)平滑值趨勢項更新

季節項更新

K期預測值

Winter模型四個方程的含義Winter指數平滑預測模型

(Winter’smodel)平滑值趨勢項更新

季節項更新

K期預測值

winter指數平滑預測模型

(例題分析)

【例11-7】下表是一家啤酒生產企業2005—2010年各季度的啤酒銷售量數據。用Winter模型預測2011年各季度的啤酒銷售量，并計算出各期的預測值和預測誤差，將實際值和預測值繪制成圖形進行比較用SPSS進行Winter指數平滑預測

(13.0)第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【ExponentialSmoothing】，進入主對話框第2步：將預測變量(本例為“銷售量”)選入【Variables】。在【Model】下選中【Winters】。點擊【Parameters】，在【General[Alpha]-Value】后輸入指定的值；在【Trend[Gamma-Value]】后輸入指定的值；在【Seasonal[Delta-Value]】后輸入指定的值(若不知道指定多大的、和合適，可選擇【GridSearch】，系統會自動搜尋，初始值為0，步長分別為=0.1、=0.2和，終止值為1)。在【InitialValue】下選擇【Custom】，并在【Starting】后輸入初始值的平滑值，在【Trend】后輸入初始的趨勢平滑值(如果不知到指定多少合適，可采用系統的默認方式【Automatic】，此時系統會根據原始值序列自動計算適合的初始值和趨勢值)。點擊【Continue】返回主對話框第3步：點擊【Save】，在【PredictCase】下點擊【Predict-Through】，在【Year】后的方框內輸入要預測的年份(本例為2006，表示要預測2006年各季度的數值)。【Continue】返回主對話框。點擊【OK】Winter指數平滑預測SPSS用SPSS進行Winter指數平滑預測

(16.0版本)第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【Createmodels】，進入主對話框第2步：將預測變量選入【DependentVariables】。在【Method】下選擇【ExponentialSmoothing】，點擊【Criteria】，在【ModelType】下選【Winters‘additive】或【Winters’multiplicative】。如果序列的趨勢不依賴于序列的水平，選擇【Winters‘additive】，如果序列的趨勢依賴于序列的水平，選擇【Winters’multiplicative】第3步：點擊【Save】，在【Description】下選擇需要預測的結果，如【PredictedValues】、【LowerConfidenceLimits】、【UpperConfidenceLimits】、【NoiseResiduals】等。點擊【options】，在【ForecastPeriod】下選中【Firstcaseafterendofestimationperiodthroughaspecifieddate】，在【Date】下的【Year】中輸入要預測的年份，在【Quarter】中輸入要預測的季節值個數，比如要預測2011年1~4季度的值，在【Year】中輸入2011，在【Quarter】中輸入4。點擊【OK】Winter指數平滑預測SPSSWinter指數平滑預測

(例題分析—SPSS163.0輸出的結果)Winter指數平滑預測

(例題分析—SPSS13.0輸出的結果)Winterbeer11.4.2引入季節啞變量的多元回歸預測11.4多成分序列的預測季節啞變量多元回歸預測

(seasonalmultipleregression)用虛擬變量表示季節的多元回歸預測方法若數據是按季度記錄的，需要引入3個虛擬變量(一季度作為參照水平)；按月記錄的，則需要引入11個虛擬變量季度數據的季節性多元回歸模型可表示為季節啞變量多元回歸預測

(系數的解釋)b0—時間序列的平均值b1—趨勢成分的系數，表示趨勢給時間序列帶來的影響值Q2、Q3、Q3—3個季度的虛擬變量b2、b3、b4—每一個季度與參照的第一季度的平均差值季節啞變量多元回歸預測

(例題分析)

【例11-8】下表是一家啤酒生產企業2005—2010年各季度的啤酒銷售量數據。用分解預測法預測2011年各季度的啤酒銷售量，并計算出各期的預測值和預測誤差，將實際值和預測值繪制成圖形進行比較BEER朝日用SPSS進行啞變量回歸

(只有一個啞變量：一個啞變量和一個數值自變量)第1步：選擇【Analyze】，并選擇【GeneralLinearModel-Univaiate】進入主對話框第2步：將因變量(銷售量)選入【DependentVariable】，將自變量(性別)選入【FixedFactor(s)】，將數值自變量(時間變量t)選入【Covariate(s)】第3步：點擊【Model】，并點擊【Custom】；將季度[F]選入【Model】，將時間變量t[C]也選入【Model】；在【BuildTerm(s)】下選擇【Maineffects】。點擊【Continue】回到主對話框。點擊【Options】，在【Display】下選中【Parameterestimates】(估計模型中的參數)。點擊【Continue】回到主對話框。點擊【OK】

啞變量回歸SPSS季節啞變量多元回歸預測

(例題分析—參數估計)啤酒銷售量啞變量多元回歸模型的檢驗季節啞變量多元回歸預測

(例題分析—參數估計)啤酒銷售量啞變量多元回歸模型的估計

BEER朝日季節性啞變量元回歸預測

(例題分析)季節啞變量多元回歸預測

(例題分析)beer11.4.3分解預測11.4多成分序列的預測分解預測

(預測步驟)分解(decomposition)預測是適合于含有趨勢、季節、循環多種成分序列預測的一種古典方法，仍得到廣泛應用，因為該方法相對來說容易理解，結果易于解釋，在很多情況下能給出很好的預測結果預測步驟確定并分離季節成分計算季節指數，以確定時間序列中的季節成分將季節成分從時間序列中分離出去，即用每一個觀測值除以相應的季節指數，以消除季節性對消除季節成分的序列建立線性預測模型進行預測計算出最后的預測值用預測值乘以相應的季節指數，得到最終的預測值分解預測

(例題分析)

【例11-9】下表是一家啤酒生產企業2005—2010年各季度的啤酒銷售量數據。用分解預測法預測2011年各季度的啤酒銷售量，并計算出各期的預測值和預測誤差，將實際值和預測值繪制成圖形進行比較分解預測

(例題分析)beer分解預測

(第1步：確定并分離季節成分)計算季節指數以其平均數等于100%為條件而構成的反映季節變動的值表示某一月份或季度的數值占全年平均數值的大小如果現象的發展沒有季節變動，則各期的季節指數應等于100%季節變動的程度是根據各季節指數與其平均數(100%)的偏差程度來測定分解預測

(第1步：確定并分離季節成分)季節指數計算步驟計算移動平均值(季度數據采用4項移動平均，月份數據采用12項移動平均)，并將其結果進行“中心化”處理計算移動平均的比值，也稱為季節比率將序列的各觀測值除以相應的中心化移動平均值，然后再計算出各比值的季度(或月份)平均值，即季節指數季節指數調整各季節指數的平均數應等于1或100%，若根據第2步計算的季節比率的平均值不等于1時，則需要進行調整具體方法是：將第2步計算的每個季節比率的平均值除以它們的總平均值計算季節指數進行分解SPSSExcel分解預測

(第1步：確定并分離季節成分)分離季節成分：將原時間序列除以相應的季節指數季節因素分離后的序列反映了在沒有季節因素影響的情況下時間序列的變化形態用SPSS進行分解

(例題分析)第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【SeasonalDecomposition

】，進入主對話框第2步：將待分解變量(本例為“銷售量”)選入【Variable(s)】。在【Model】下選中【Multiplicative】。點擊【Continue】返回主對話框。點擊【OK】進行分解SPSS分解預測

(SPSS分解的結果)

季節分離趨勢和循環實際值beerdecomposition分解預測

(SPSS的分解結果)季節指數趨勢和周期季節分離隨機波動預測誤差最終預測回歸預測分解預測

(第3步：計算出最后的預測值)根據分離季節性因素的序列確定線性趨勢方程根據趨勢方程進行預測該預測值不含季節性因素，即在沒有季節因素影響情況下的預測值計算最終的預測值將回歸預測值乘以相應的季節指數實際值和最終預測值圖beer11.5Box-Jenkins方法：ARIMA模型

11.5.1自相關與自相關圖11.5.2Box-Jenkins方法的基本思想11.5.3ARIMA模型的識別第11章時間序列預測11.5.1自相關與自相關圖11.5Box-Jenkins方法：ARIMA模型

自相關與自相關圖自相關(autocorrelation)是時間序列各觀測值之間的相關時間序列后期的觀測值與它前面的觀測值相關可以想象2007年的人均GDP與2006年的人均GDP相關，2008年與2007年相關等等自相關程度用自相關系數來度量與兩個變量之間的Pearson相關系數類似自相關與自相關圖

(自相關系數)自相關系數自相關與自相關圖判斷一個序列是否存在顯著自相關的一種方法是，算出每個自相關系數的95%的置信區間，如果某個自相關系數落在這個區間內，就可以認為該自相關系數是不顯著的，如果所有(或大多數)在自相關系數都落在這個區間內，就可以認為該序列不存在自相關另一種判斷方法是憑經驗，提出假設總體的自相關系數等于0的原假設(即不存在自相關)，對于n個觀測值的序列，任意的滯后期為k，如果，就拒絕原假設，表明該序列存在自相關自相關與自相關圖

(自相關系數—例題分析)

【例11-10】利用例11-1中的人均GDP序列，計算滯后1期(即，k=1)的自相關系數計算自相關系數計算自相關系數繪制自相關圖SPSSExcel自相關與自相關圖

(自相關系數—例題分析)【例11-10】Excel輸出的滯后1期人均GDP序列的自相關系數自相關與自相關圖

(自相關系數—例題分析)【例11-10】SPSS輸出的人均GDP序列的自相關系數SPSS【Graphs】【TimesSeries】【Autocorrelations】作圖功能可直接得到不同滯后期的自相關系數及自相關圖自相關與自相關圖

(自相關圖—例題分析)【例11-10】人均GDP序列的自相關圖縱坐標是自相關函數(AFC)。兩條線是自相關系數的95%的置信上限和置信下限。隨著滯后期的增加，自相關系數并沒有逐漸遞減和趨于0，而且有多個自相關系數都超出了95%的置信區間，這表明人均GDP序列不是平穩序列自相關與自相關圖

(自相關圖—例題分析)【例】棉花產量序列的自相關圖隨著滯后期的增加，自相關系數逐漸遞減和趨于0，而幾乎都在95%的置信區間內，這表明棉花產量序列基本上是平穩序列

自相關與自相關圖

(自相關圖—例題分析)【例】啤酒銷售量序列的自相關圖雖然隨著滯后期的增加，自相關系數逐漸遞減和趨于0，但k=4及4的倍數時的自相關系數明顯偏大，而且幾乎都超出了95%的置信區間，有明顯的周期性特征，表明啤酒銷售量具有明顯的季節成分

偏自相關與偏自相關圖偏自相關與偏自相關圖

(偏自相關圖—例題分析)【例】人均GDP序列的偏自相關系數及偏自相關圖偏自相關與偏自相關圖

(偏自相關圖—例題分析)【例】機床產量序列的偏自相關系數及偏自相關圖偏自相關與偏自相關圖

(偏自相關圖—例題分析)【例】棉花產量序列的偏自相關系數及偏自相關圖11.5.2Box-Jenkins方法的基本思想11.5Box-Jenkins方法：ARIMA模型

Box-Jenkins方法的基本思想

(與經典回歸模型的區別)經典的回歸預測是通過解釋變量(自變量)來預測被解釋變量(因變量)的一種模型。用回歸模型進行預測時，預測者需要事先知道有哪些因素影響(自變量)影響被預測變量(因變量)。但現實中我們通常不知道影響預測變量的因素有哪些，這時ARIMA模型就是一個很好的選擇假定時間序列數據產生于一個黑盒子(blackbox)，即回歸預測方法是試圖尋找自變量來預測觀測到的時間序列，即黑盒子觀測到的時間序列解釋變量(自變量)黑盒子(回歸模型)觀測到的時間序列Box-Jenkins方法的基本思想ARIMA該模型是利用時間序列過去的觀測值來進行預測的一種方法，它不需要解釋變量而Box-Jenkins方法并不是從解釋變量入手，而是從觀測值入手，然后試圖去尋找正確的黑盒子。它可以從某一白噪聲(whitenoise)序列產生出所觀察到的時間序列，即由于在模型中沒有用到解釋變量，所以我們假設所觀察的時間序列從白噪聲序列開始，經過黑盒子后變成要預測的時間序列。這里的白噪聲序列實際上就是一系列的純隨即數字，其特點是相鄰的觀測值之間沒有聯系；以前的觀測值對預測未來的觀測值沒有作用白噪聲序列黑盒子觀測到的時間序列Box-Jenkins方法的基本思想Box-Jenkins方法是通過對時間序列實際觀測值特征的分析來確定選擇什么樣的黑盒子將實際序列轉化成白噪聲序列開始時選擇一個最可能的黑盒子，如果得到白噪聲序列，就認為這是一個正確的模型，可以用它來進行預測。如果沒有得到白噪聲序列，就再嘗試另一個黑盒子，直到得到白噪聲序列為止。這里的黑盒子就是我們要尋找的模型由于實際中我們面對的是一個觀察到的時間序列，把上述過程反過來看，如果我們讓一個實際觀測到的時間序列通過由我們所選擇的模型這個黑盒子，若所選擇的模型是正確的，那么得到的預測誤差就應該是一個白噪聲序列11.5.3ARIMA模型的識別11.5Box-Jenkins方法：ARIMA模型

ARIMA模型的識別

(AR模型)自回歸(autoregression)模型，簡稱AR模型，是利用觀測值Yt與以前時期的觀測值之間的關系來預測值Y的一種多元回歸方法。P階AR模型為：ARIMA模型的識別

(AR模型的識別)AR模型意為著時間序列的任意一個觀測值都是由以前的p個觀測值的線性組合加上隨機誤差et如果一個實際的時間序列與AR模型相似，我們就可以用AR模型進行預測對于實際的時間序列，怎樣判斷它是否與AR模型相似呢？或者說，我們怎樣檢驗一個實際的時間序列是否是AR序列呢？通常的辦法是觀察時間序列的自相關圖和偏自相關圖ARIMA模型的識別

(AR模型的識別)AR序列的自相關圖和偏自相關圖具有的典型特征自相關圖單調遞減逐步降為0或交替遞減逐步降為0，而它的偏自相關圖則具有明顯的峰值如果一個序列的偏自相關圖只有一個明顯的峰值，也就是在p=1后就變得很小，而且沒有什么特別的模式，這樣的圖形稱為在p=1后截尾，而它的自相關函數呈現出指數衰減或正弦衰減，呈現出拖尾，那它就是一個AR(1)序列如果偏自相關函數有兩個明顯的峰值，也就是在p=2后截尾，而它的自相關函數呈現出指數衰減或正弦衰減，呈現出拖尾，它就是一個AR(2)序列如果它的偏自相關函數有個明顯的峰值，也就是在個值后截尾，而它的自相關函數呈現出指數衰減或正弦衰減，呈現出拖尾，它就是一個AR(p)序列。這時，就可以將該序列識別為一個AR序列，進而用AR模型進行預測ARIMA模型的識別

(AR模型的識別)AR模型的識別—一個白噪聲序列生產的AR(1)序列

一個峰值自相關圖偏自相關圖ARIMA模型的識別

(MA模型)移動平均(movingaverage)模型，簡稱MA模型，是利用觀測值Yt作為因變量，預測Yt時產生的預測誤差作為自變量。q階MA模型為：ARIMA模型的識別

(MA模型的識別)MA模型意為著時間序列的任意一個觀測值都是由目前的和以前的q個隨機誤差的線性組合如果一個實際的時間序列與MA模型相似，我們就可以用MA模型進行預測對于實際的時間序列，我們怎樣判斷它是否與MA模型相似呢？或者說，我們怎樣檢驗一個實際的時間序列是否是MA序列呢？通常的辦法仍然是觀察時間序列的自相關圖和偏自相關圖ARIMA模型的識別

(MA模型的識別)MA序列的自相關圖和偏自相關圖具有的典型特征自相關圖則具有明顯的峰值，而它的偏自相關圖單調遞減逐步降為0或交替遞減逐步降為0，如果一個序列的自相關圖只有一個明顯的峰值，也就是在q=1后就變得很小，而且沒有什么特別的模式，這樣的圖形稱為在q=1后截尾，而它的偏自相關函數呈現出指數衰減或正弦衰減，呈現出拖尾，那它就是一個MA(1)序列如果偏自相關函數有兩個明顯的峰值，也就是在q=2后截尾，而它的自相關函數呈現出指數衰減或正弦衰減，呈現出拖尾，它就是一個MA(2)序列如果它的偏自相關函數有個明顯的峰值，也就是在個值后截尾，而它的自相關函數呈現出指數衰減或正弦衰減，呈現出拖尾，它就是一個MA(q)序列。這時，就可以將該序列識別為一個MA序列，進而用MA模型進行預測ARIMA模型的識別

(MA模型的識別)MA模型的識別—一個白噪聲序列生產的MA(1)序列

一個峰值自相關圖偏自相關圖ARIMA模型的識別

(ARMA模型)自回歸移動平均(autoregression-movingaverage)模型，簡稱ARMA模型，是ARMA模型是由AR(p)模型和MA(q)模型混合而成的ARMA(p,q)

AR(p)模型MA(q)模型+ARIMA(p,q)ARIMA模型的識別

(ARMA模型的識別)ARMA序列的自相關圖和偏自相關圖具有的典型特征自相關圖和偏自相關圖都是逐漸趨于0而不是突然變為0，或者說自相關圖和偏自相關圖都拖尾為了確定模型的階數，需要計算AR項中偏自相關系數顯著不為0的項，以及MA項中自相關系數顯著不為0的項。如果AR的偏自相關系數有1項顯著不為0，MA的自相關系數有1項顯著不為0，那這就是一個ARMA(1，1)模型ARIMA模型的識別

(ARIMA模型)使用ARMA模型進行預測時，要求時間序列必須是平穩的，即時間序列中沒有趨勢、季節和循環成分，其觀測值的平均數不隨時間的變化而變化現實中的很多序列都是非平穩的，其自相關系數的特點是：開始通常顯著不為0，然后逐漸趨于0，或者在自相關圖中呈現出一種偽模式(spuriouspattern)。這時使用自相關圖或偏自相關圖來識別模型就可能產生誤判對于非平穩序列，在選擇模型之前需要對其進行修正時期平穩化。消除非平穩性的辦法之一就是進行差分(difference)，也就是將時間序列中的每期觀測值減去其前面的觀測值，這稱為一階差分(firstdifference)如果原始序列中存在一個斜率不變的趨勢，經過差分后就可以消除趨勢成分。如果一階差分不能消除趨勢，就需要進行多次差分。比如，在一階差分的基礎上再進行一次差分，就是二階差分，等等。如果差分后的序列是平穩的，那么它的自相關系數在k=2或k=3后則會落入隨機區間，并逐漸趨于0ARIMA模型的識別

(MAIMA模型)人均GDP序列一階差分后的自相關和偏自相關圖

自相關圖偏自相關圖

自相關圖在k=2后出現出隨機波動，經一階差分后的人均GDP序列已上不存在趨勢ARIMA模型的識別

(MAIMA模型)經過差分將序列變成平穩后，通常將模型稱為ARIMA(p,d,q)模型其中“I”的加入代表整合項(integrated)或差分項d表示差分的階數p表示自回歸(AR)的項數q表示移動平均(MA)的項數如果模型為ARIMA(p，0，0)，就是階自回歸模型AR(p)；如果模型為ARIMA(0，0，q)，就是階MA(q)模型；如果模型為ARIMA(p，0，q)，就是自回歸移動平均模型ARMA(p，q)ARIMA模型的識別

(MAIMA模型)ARIMA模型的識別

(MAIMA模型)ARIMA模型的識別

(ARIMA(p,d,q)模型—例題分析)

【例11-11】利用例11-1中的金屬機床產量序列，選擇適當的ARMA模型進行預測擬合ARIMA模型ARIMA模型的應用SPSSARIMA模型的識別

(ARIMA(p,d,q)模型—例題分析)機床產量序列一階差分后的自相關和偏自相關圖

自相關圖偏自相關圖

一階差分后的序列已不存在趨勢，且各有一個明顯的峰值，選用ARIMA（1,1,1）模型

ARIMA模型的識別

(ARIMA(p,d,q)模型—例題分析)機床產量序列一階差分后的自相關和偏自相關圖

自相關圖偏自相關圖

一階差分后的序列已不存在趨勢，且各有一個明顯的峰值，選用ARIMA（1,1,1）模型

ARIMA模型的識別

(用SPSS求ARIMA(p,d,q)模型)第1步：選擇【Analyze-TimeSeries】【ARIMA】，進入主對話框。第2步：將預測變量(本例為“金屬機床產量”)選入【Dependent】。在【Model】下的【Autoregressive-p】后p輸入的值(本例為1)；在【Difference-d】后輸入d的值(本例為1)；在【MovingAverage-q】后輸入q的值(本例為1)。點擊【Save】，在【PredictCase】下點擊【Predict