D5-7多元函數微分學在幾何中的應用

第七節多元函數微分學在幾何中的應用一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

作業習題5.71，2,4,5(2)(4)，6,8(2)(4),9,12,17,18復習:平面曲線的切線與法線1.已知平面光滑曲線切線方程法線方程2.若平面光滑曲線方程為故在點切線方程法線方程在點有有因2/33一、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法位置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限平面.1.曲線方程為參數方程的情況切線方程4/33此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個別為0,則理解為分子為0.不全為0,因此得法平面方程說明:

若引進向量值函數,則

r(t)為的向量方程（或參數方程）,處的導向量就是該點的切向量.例1.求圓柱螺旋線對應點處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:

由于對應的切向量為在,故6/332.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,可表示為處的切向量為則在點切線方程法平面方程有或8/33也可表為法平面方程例2.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量10/33法平面方程即解法2.

方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量12/333.幾個基本概念如果向量值函數，則稱為設空間曲線的方程為:（1）簡單曲線連續曲線。如果為連續曲線，且則稱為簡單曲線。易知：簡單曲線就是自身不相交的連續曲線。如果為連續曲線，且則稱為簡單閉曲線。（2）有向曲線：我們規定參數t增大的方向為的正向，相反的方向為負向。（3）光滑曲線稱規定了正向的曲線為有向曲線。上連續，且，則切線方向連續變化。稱切線連續變化的曲線為光滑曲線。如果曲線不是光滑曲線，但將其分成若干段后，每段都是光滑曲線，則稱為分段光滑曲線。14/33二、曲面的切平面與法線

1.設有光滑曲面通過其上定點對應點M,切線方程為不全為0.則在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點的切平面.上過點

M

的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.證:在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.16/33曲面

在點M的法向量法線方程切平面方程曲面時,則在點故當函數法線方程令2.光滑曲面

的方程為顯式

在點有連續偏導數時,切平面方程18/33法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,例3.

求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令20/33例4.確定正數

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面,因此有3.曲面的參數方程曲面的方程可以用含有兩個參數的參數方程表示；例如，試建立半徑為R的球面的參數方程。于是，球面的參數方程為：P22/33一般地，曲面的參數方程或向量方程：對于曲面的方程，若固定曲面上曲線的表示：，讓u變化，則向量r對應的是曲面上的一條曲線，稱為曲面上的u曲線；若固定，讓u變化，則向量r對應的是曲面上的一條曲線，稱為曲面上的v曲線.

u曲線族與v曲線族構成曲面上的參數曲線網；若曲面的向量方程在區域D內連續，在點存在偏導數，而（此時點稱為正則點.）分別是u曲線與v曲線在點24/33是曲面上過點

的切平面的法向量.則有處的切向量,因而都在切平面上.又若從而有曲面過點

的切平面方程為:25/33法線方程為:1.空間曲線的切線與法平面

切線方程法平面方程1)參數式情況.空間光滑曲線切向量內容小結切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.27/33空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線28/33空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:

設切點為則(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:

在曲面上任意取一點則通過此2.設

f(u)可微,證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為

1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任