李雅普諾夫意義下的穩定

4控制系統的穩定性引言經典控制中的穩定性即判據適用于線性時不變系統李亞普諾夫意義下的穩定性，內部穩定，還可用系統綜合1892年Lyapunov適用于各類系統:線性,非線性李亞普諾夫穩定性理論基本內容第一法（間接法）第二法（直接法）為什么要引入李穩定性？（有哪些特點）它的主要內容有哪些？4控制系統的穩定性第一方法(間接法)：

對線性系統求解特征方程對非線性系統，首先線性化，在求解特征方程第二方法(直接法)：

不求解特征方程，直接根據李氏函數進行判斷李雅普諾夫函數最優系統設計最優濾波自適應控制4控制系統的穩定性穩定性分類①穩定②漸近穩定③大范圍漸近穩定④不穩定范數，平衡狀態4控制系統的穩定性范數（2范數）定義：狀態空間中兩個向量的距離x范數狀態空間幾何意義4控制系統的穩定性平衡狀態齊次狀態方程一個或多個平衡狀態

平衡狀態線性系統4控制系統的穩定性例如：求下列系統的平衡狀態唯一平衡狀態,系統的穩定性

平衡狀態的穩定性1穩定（1）定義對于給定的系統，如任意給定實數ε>0，都存在另一依賴于ε

和t0的實數δ(ε,t0)>0，使當||x0-xe||≤δ時，從任意初態x0出發的受擾運動Φ(t;x0,t0)都能滿足不等式：

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε,

那么系統在平衡狀態是穩定的。（2）幾何含義εδxex0（3）一致穩定

若對取自時間定義區間的任一初始時刻t0,對任給實數ε>0都存在與初始時刻t0

無關的實數δ（ε）>0,使相應受擾運動Φ(t;x0,t0)

滿足||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε，則稱平衡狀態xe為李雅普諾夫意義下的一致穩定。（4）時不變系統的穩定屬性對于時不變系統，不管線性系統還是非線性系統，連續系統還是離散系統，李雅普諾夫意義下的穩定和一致穩定必為等價。也即時不變系統的平衡狀態xe為李雅普諾夫意義下的穩定，則xe必為李雅普諾夫意義下一致穩定。2漸近穩定（1）定義對于給定的系統，如任意給定實數ε>0，都存在另一實數δ(ε,t0)>0和任給實數，都對應地存在實數，使當||x0-xe||≤δ

時，從任意初態出發的受擾運動Φ(t;x0,t0)都能滿足：

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε且

||Φ(t;x0,t0)-xe||≤

μ

那么系統在平衡狀態xe是漸近穩定的。（2）幾何含義εδxex0（3）漸近穩定的等價定義（i）由任一初始狀態x0

滿足||x0–xe||≤δ出發的受擾運動Φ(t;x0,t0)相對于平衡狀態xe=0，對所有均為有界。（ii）受擾運動相對于平衡狀態xe=0滿足漸近性,當u趨近于零，即成立（4）一致漸近穩定若對取自時間定義區間的任意初始時刻t0，由任給實數ε>0都存在與初始時刻t0無關的實數δ(ε)>0，由實數δ(ε)和任給實數都存在與初始時刻t0無關的實數,使得相應受擾運動相對于平衡狀態為有界且滿足

則稱平衡狀態為一致漸近穩定。(5)時不變系統的漸近穩定屬性對于時不變系統，不管線性系統還是非線性系統，連續系統還是離散系統，平衡狀態xe的漸近穩定和一致漸近穩定為等價。必要條件是在整個狀態空間只有一個平衡狀態.對于線性系統,不管是時不變系統還是時變系統，連續系統還是離散系統，如果平衡狀態xe=0是漸近穩定的,則必然也是大范圍漸近穩定.當系統滿足漸近穩定,而且從狀態空間中所有初始狀態出發的軌線都具有漸近穩定性,則這種平衡狀態是大范圍漸近穩定.3大范圍漸近穩定4不穩定（1）定義對于給定的系統，如任意給定實數ε>0，都存在另一實數δ(ε,t0)>0，使當||x0-xe||≤δ

時，總存在一個從初始狀態x0出發的受擾運動Φ(t;x0,t0)滿足

||Φ(t;x0,t0)-xe||>ε

那么系統在平衡狀態xe是不穩定的。（2）幾何含義εδxex0應注意的幾個問題對線性系統來講，任意一個孤立的平衡狀態都可以通過坐標變化轉移到狀態空間的原點。因此分析坐標原點的穩定性具有代表意義。對非線性系統來講，如果具有多個平衡狀態，各平衡狀態的穩定性有可能不同。因此