高中數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí) 2023屆高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)學(xué)案不等式4

Ch2.四個基本技巧三角換元若對含平方的根的表達(dá)式的積分，如，，則可采用下列三角換元，，，選擇合適換元可簡化不等式。【試題9】證明對正實(shí)數(shù)，有：【解析】選，采用三角換元，，則利用恒等式改寫為：即：即：=1\*GB3①由三角恒等式即：=2\*GB3②將=2\*GB3②代入=1\*GB3①式得：設(shè)，應(yīng)用不等式得：由于，在對余弦函數(shù)是上凸函數(shù)，故由琴生不等式得其函數(shù)的均值小于均值的函數(shù)。即：于是：=3\*GB3③將=3\*GB3③代入式：=4\*GB3④利用三角恒等式：或=4\*GB3④式變?yōu)椋河谑牵?5\*GB3⑤采用不等式：=6\*GB3⑥即：，即：本式當(dāng)且僅當(dāng)，或時，等號成立。這就證明了=5\*GB3⑤式成立。【試題10】設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足：試證：.【解析】采用三角換元，設(shè)，，，且，則代數(shù)等式變換成三角等式：即：即：=1\*GB3①應(yīng)用不等式得：=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得：=3\*GB3③同理可得：；；.四式相乘得：即：即：，即：.證畢。【試題11】設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，試證：【解析】采用三角換元，設(shè)，，，且則代數(shù)式變換成三角式：=1\*GB3①由于，則=1\*GB3①式滿足三角形內(nèi)角的條件，即：=2\*GB3②由于則待證式變?yōu)椋?定理：在任何銳角三角形中，恒有：證明：由于在區(qū)間是向上凸函數(shù)，由琴生不等式知：函數(shù)的均值不大于均值的函數(shù)。即：即：.證畢。在證明定理的注解中，已經(jīng)解釋了琴生不等式，即：對于向下凸出的函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)。那么，對于向上凸出的函數(shù)，函數(shù)的均值不大于均值的函數(shù)。事實(shí)上，函數(shù)在依然是凸函數(shù)，但是是向下凸出的函數(shù)。也許有人認(rèn)為式并不是對所有角成立，可事實(shí)上式對銳角、直角、鈍角三角形都成立。定理：在任意三角形中，恒有：證明法一：由于，所以：即：即：.證畢。證明法二：設(shè)，，，用余弦定理重寫不等式。去分母得：等價于：與定理中的式相同。在，我們證明了等效于代數(shù)不等式。在證明上述定理時，上式有等效于三角不等式。有人會問：是否對任意三角形，與之間，存在自然關(guān)系？這里與分布代表的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑。定理：設(shè)與分布代表的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑，則恒有下列關(guān)系：證明：由余弦定理得：，，上面三式相加并通分得：=1\*GB3①由三角形的面積公式得：，即：=2\*GB3②。即：=3\*GB3③及海倫公式：=4\*GB3④由=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④得：=5\*GB3⑤對比=1\*GB3①=5\*GB3⑤式得：.證畢。【練習(xí)4】(a)設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，證明：存在這樣一個銳角三角形，滿足：，，.(b)設(shè)，且，證明：當(dāng)，，，且時，.【試題12】設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：.【解析】注意到才能保證，若，則，我們現(xiàn)在證明.設(shè)：，，，代入得到：=1\*GB3①根據(jù)上面的練習(xí)題，我們設(shè)：，，，當(dāng)，且時，我們需要證明：=2\*GB3②我們可以假設(shè)，或請注意：=3\*GB3③由琴生不等式得：，即：=4\*GB3④并注意：=5\*GB3⑤將=4\*GB3④=5\*GB3⑤代入=3\*GB3③得：即：=2\