二階系統的時間響應

四、二階系統的時間響應1、二階系統其中，T為時間常數，也稱為無阻尼自由振蕩周期，

為阻尼比；

n＝1/T為系統的無阻尼固有頻率。二階系統的特征方程：極點（特征根）：臨界阻尼二階系統：＝1具有兩個相等的負實數極點：系統包含兩類瞬態衰減分量：過阻尼二階系統：

>1具有兩個不相等的負實數極點：系統包含兩類瞬態衰減分量：欠阻尼二階系統（振蕩環節）：0<<1具有一對共軛復數極點：系統時域響應含有衰減的復指數振蕩項：其中，稱為阻尼振蕩頻率。零阻尼二階系統：＝0具有一對共軛虛極點：系統時域響應含有復指數振蕩項：負阻尼二階系統：

<0極點實部大于零，響應發散，系統不穩定。2、二階系統的單位脈沖響應

0<<1：

=1：

=0：

>1：3、二階系統的單位階躍響應

欠阻尼（0<<1）狀態

其中，欠阻尼二階系統單位階躍響應曲線5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二階系統單位階躍響應的特點

xo()=1，無穩態誤差；

瞬態分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率；

振蕩幅值隨減小而加大。10txo(t)特點

單調上升，無振蕩、無超調；

xo()=1，無穩態誤差。

臨界阻尼（=1）狀態

過阻尼（>1）狀態

01txo(t)特點

單調上升，無振蕩，過渡過程時間長

xo()=1，無穩態誤差。

無阻尼（=0）狀態

210txo(t)特點頻率為n的等幅振蕩。

負阻尼（<0）狀態

0txo(t)-1<<0t0xo(t)<-1

-1<<0：輸出表達式與欠阻尼狀態相同。

<-1：輸出表達式與過阻尼狀態相同。

特點：振蕩發散

特點：單調發散

幾點結論

二階系統的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應發散，系統不穩定；

1時，無振蕩、無超調，過渡過程長；0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快；

=0時，出現等幅振蕩。

工程中除了一些不允許產生振蕩的應用，如指示和記錄儀表系統等，通常采用欠阻尼系統，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統的快速性同時又不至于產生過

大的振蕩。

一定時，n越大，瞬態響應分量衰減越

迅速，即系統能夠更快達到穩態值，響應

的快速性越好。例題

例1單位脈沖信號輸入時，系統的響應為：求系統的傳遞函數。解：由題意Xi(s)=1，所以：例2解：1）單位階躍輸入時已知系統傳遞函數：求系統的單位階躍響應和單位脈沖響應。從而：

2）單位脈沖輸入時，由于因此：6、二階系統的性能指標

控制系統的時域性能指標

控制系統的性能指標是評價系統動態品質的定量指標，是定量分析的基礎。系統的時域性能指標通常通過系統的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：上升時間tr、峰值時間tp、調整時間ts、最大超調量Mp、振蕩次數N。

10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系統的時域性能指標評價系統快速性的性能指標

上升時間tr響應曲線從零時刻出發首次到達穩態值所需時間。對無超調系統，上升時間一般定義為響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間。

峰值時間tp響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。

調整時間ts響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩態值的2%或5%）內所需的時間。

最大超調量Mp響應曲線的最大峰值與穩態值之差。通常用百分數表示：評價系統平穩性的性能指標

若xo(tp)

xo()，則響應無超調。

振蕩次數N在調整時間ts內系統響應曲線的振蕩次數。實測時，可按響應曲線穿越穩態值次數的一半計數。欠阻尼二階系統的時域性能指標

上升時間tr根據上升時間的定義有：欠阻尼二階系統的階躍響應為：從而：即：顯然，一定時，n越大，tr越小；n一定時，

越大，tr

越大。峰值時間tp，并將t=tp代入可得：

令即：

根據tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td＝2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定，

越大，tp

越大。

最大超調量

Mp顯然，Mp僅與阻尼比有關。最大超調量直接說明了系統的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統的平穩性越好，當

=0.4~0.8時，可以求得相應的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二階系統Mp—

圖

調整時間ts對于欠阻尼二階系統，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩態分量

1的指數曲線：

t01xo(t)T2T3T4T當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。因此利用：可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。當一定時，n越大，ts越小，系統響應越快。當0<<0.7時，

振蕩次數NN僅與

有關。與Mp一樣直接說明了系統的阻尼特性。越大，N越小，系統平穩性越好。對欠阻尼二階系統，振蕩周期則

二階系統的動態性能由n和決定。

結論

通常根據允許的最大超調量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調整n以獲得合適的瞬態響應時間。

一定，n越大，系統響應快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調量Mp和振蕩次數N，但系統快速性降低，tr、tp增加；510150=0.2=0.4=0.6=0.8例題1圖a)所示機械系統，當在質量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應如圖b)。試求系統的質量M、彈性系數K和粘性阻尼系數C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)解：根據牛頓第二定律：

其中，系統的傳遞函數為：由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根據解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s

例題2已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：求K=200時，系統單位階躍響應的動態性能指標。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動態性能指標的變化情況。

解：系統閉環傳遞函數為：

1）K=200時

n=31.6rad/s，=0.5452）K=1500時

n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化

即系統可以視為由兩個時間常數不同的一階系統串聯組成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時

n=8.22rad/s，=2.1，系統工作于過阻尼狀態，傳遞函數可以改寫為：

對于過阻尼系統，tp，Mp，N已無意義，而調整時間ts間可以通過其中時間常數大的一階系統進行估算，即：

ts=3T1=1.443s(=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統無超調，但過渡過程緩慢。五、高階系統的時間響應1、高階系統的單位階躍響應考慮系統假設系統極點互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點s=0和s=-pj處的留數；

bk、ck是與Xo(s)在極點處的留數有關的常數。當Xi(s)=1/s時，其中，=arctg(bk/ck)。2、高階系統的單位階躍響應的特點

高階系統的單位階躍響應由一階和二階系統的響應函數疊加而成。

如果所有閉環極點都在

s平面的左半平面內，即所有閉環極點都具有負實部(pj

、

kk大于零)，則隨著時間t，xo()=a。即系統是穩定的。極點距虛軸的距離決定了其所對應的暫態分量衰減的快慢，距離越遠衰減越快；3、系統零極點分布對時域響應的影響0j-n-8n-5n-10np1p2p3p4p5z10txo(t)p1、p2p3p4、p5通常如果閉環零點和極點的距離比其模值小一個數量級，則該極點和零點構成一對偶極子，可以對消。

系統零點影響各極點處的留數的大小（即各個瞬態分量的相對強度），如果在某一極點附近存在零點，則其對應的瞬態分量的強度將變小，所以一對靠得很近的零點和極點其瞬態響應分量可以忽略。這對零極點稱為偶極子。綜上所述，對于高階系統，如果能夠找到主導極點（通常選為一對共軛復數極點，即二階系統），就可以忽略其它遠離虛軸的極點和偶極子的影響，近似為二階系統進行處理。

主導極點（

距虛軸最近、實部的絕對值為其它極點實部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點的閉環極點）對高階系統的瞬態響應起主導作用。

4、例題已知系統的閉環傳遞函數為：求系統近似單位階躍響應。解：系統閉環傳遞函數的零極點形式為：-10-20-20.03-6071.4-71.40j由系統零極點分布圖可見，零點z1＝-20.03和極點p1＝-20構成一對偶極子，可以消去，共軛復數極點p3,4＝-10±j71.4與極點p2＝-60相距很遠，p3,4為系統的主導極點，p2對響應的影響可以忽略，從而系統簡化為：系統的近似單位階躍響應為：n=72.11rad/s，=0.139txo(t)0原系統等效二階系統單位階躍響應txo(t)0-10±j71.4-60-20瞬態輸出分量六、誤差分析和計算1、控制系統的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)偏差信號(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(s)定義為系統輸入Xi(s)與系統主反饋信號B(s)之差，即：誤差信號E(s)誤差信號e(s)定義為系統期望輸出Xor(s)與系統實際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系統的期望輸出Xor(s)為偏差信號(s)＝0時的實際輸出值，即此時控制系統無控制作用，實際輸出等于期望輸出：Xo(s)＝Xor(s)由：(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對于單位反饋系統，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)偏差信號(s)與誤差信號E(s)的關系對單位反饋系統：E(s)＝

(s)2、穩態誤差及其計算穩態誤差ess穩態誤差：系統的期望輸出與實際輸出在穩定狀態（t）下的差值，即誤差信號e(t)的穩態分量：當sE(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）時，根據拉氏變換的終值定理，有：穩態誤差的計算系統在輸入作用下的偏差傳遞函數為：

即：利用拉氏變換的終值定理，系統穩態偏差為：穩態誤差：H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)對于單位反饋系統：顯然，系統穩態偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環傳遞函數G(s)H(s)，即決定于輸入信號的特性及系統的結構和參數。

例題已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：

G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號sint輸入下的穩態誤差。解：該單位反饋系統在輸入作用下的誤差傳遞函數為：在單位階躍輸入下的穩態誤差為：在單位速度輸入下的穩態誤差為：在單位加速度輸入下的穩態誤差為：sint輸入時：由于上式在虛軸上有一對共軛極點，不能利用拉氏變換的終值定理求穩態誤差。對上式拉氏變換后得：穩態輸出為：而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯誤得結論：此例表明，輸入信號不同，系統的穩態誤差也不相同。3、穩態誤差系數穩態誤差系數的概念

穩態位置誤差（偏差）系數單位階躍輸入時系統的穩態偏差稱為穩態位置誤差（偏差）系數。其中，

穩態速度誤差（偏差）系數單位速度輸入時系統的穩態偏差稱為穩態速度誤差（偏差）系數。其中，對于單位反饋系統，易知：對于單位反饋系統，易知：

穩態加速度誤差（偏差）系數單位加速度輸入時系統的穩態偏差稱為穩態加速度誤差（偏差）系數。其中，結論當輸入信號形式一定后，系統是否存在穩態誤差取決于系統的開環傳遞函數。

對于單位反饋系統，易知：系統類型將系統的開環傳遞函數寫成如下形式：

則：

即系統的穩態偏差（誤差）取決于系統的開環增益、輸入信號以及開環傳遞函數中積分環節的個數v。根據系統開環傳遞函數中積分環節的多少，當

v=0,1,2,…時，系統分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統。

不同類型系統的穩態誤差系數及穩態誤差

0型系統

I型系統

Ⅱ型系統表1、系統的穩態誤差系數及穩態偏差00KII型00KI型00K0型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩態偏差穩態誤差系數系統類型

幾點結論

不同類型的輸入信號作用于同一控制系統，其穩態誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統，其穩態誤差也不同。

系統的穩態誤差與其開環增益有關，開環增益越大，穩態誤差越小。

在階躍輸入作用下，0型系統的穩態誤差為定值，常稱為有差系統；I型系統的穩態誤差為0，常稱為一階無差系統；

在速度輸入作用下，II

型系統的穩態誤差為

0，常稱為二階無差系統。xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系統的單位階躍響應xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系統的單位速度響應xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系統的單位加速度響應

系統在多個信號共同作用下總的穩態偏差誤差）等于多個信號單獨作用下的穩態偏差（誤差）之和。如：總的穩態偏差：

如果輸入量非單位量時，其穩態偏差（誤差）按比例增加。

穩態誤差系數只對相應的階躍、速度及加速度輸入有意義。有擾動存在時的穩態偏差1.僅由擾動產生的偏差2.僅由擾動產生的穩態偏差3.輸入和擾動共同作用下的穩態誤差（單位反饋）六系統誤差分析和計算系統總誤差

當系統同時受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統總的穩態偏差：穩態誤差：六系統誤差分析和計算減小系統誤差的途徑，方法。1按干擾補償2按輸入補償

Xi(s)E(s)Xo(s)+-G1(s)G2(s)Gc(s)+例題系統結構圖如下，其中K1、K2、K3、K4、T為常數，試求當輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統穩態誤差為零的K4值和G0(s)。K1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)解：n(t)=0時K1Xi(s)Xo(s)_+K4系統閉環傳遞函數：注：已知輸入作用下閉環傳遞函數時，穩態誤差也可由其等效單位反饋系統的開環傳遞函數通過穩態誤差系數求解。要使系統對輸入xi(t)=1+t無穩態誤差，Gi(s)需為II型系統，即1－K3

K4

=0?K4=1/K3

。只有擾動作用時(xi(t)=0)+G0(s)N(s)Xon(s)__減小穩態誤差的方法提高系統開環增益；增加系統開環傳遞函數中積分環節的個數；通過順饋控制或復合控制進行補償；第三章例題講解例3.1已知系統的單位階躍響應為：求：1）系統的閉環傳遞函數；

2）系統阻尼比和無阻尼固有頻率n。解：1）

2）對比二階系統的標準形式：

有：

例3.2已知系統方框圖如下：圖中虛線方框稱為“比例＋微分”控制。求系統的上升時間tr、峰值時間tp、調節時間ts

及最大超調量Mp。并分析“比例