第7講-幾何非線性與屈曲分析

1第五章非線性問題與屈曲分析一、幾何非線性問題基本理論二、幾何非線性有限元方程的建立三、非線性結構分析簡介四、非線性分析的基本過程五、幾何非線性 六、屈曲分析七、材料非線性第7講2一、幾何非線性問題基本理論在經(jīng)典的材料力學和彈性力學中有一個基本假設，即位移與應變關系是線性的，且應變?yōu)樾×浚@樣得到的最后方程是線性的。

但在實際工程領域內，這個線性假設往往不再適用，例如航空薄壁結構、在某些載荷情況下的薄板和薄殼、機械上的柔軟支架等，位移可以較大，因此位移與應變關系不可用線形關系來描述。更有一些力學現(xiàn)象，例如金屬的塑性變形、金屬輾壓成形等，應變超過10%以上，因此要用大應變(或稱有限應變)理論。凡考慮位移與應變的非線性關系或采用大應變理論均屬于幾何非線性問題，幾何非線性包括大位移的小應變問題以及大位移大應變問題。31有限應變與應力(2)柯西(Cauchy)應變，也稱阿爾曼西(Almansi)應變或歐拉(Eular)應變(1)格林(Green)應變，也稱格林－拉格朗日(Green－Largrange)應變結構的變形42變形率和本構關系1．物質描述2.參照描述3.相對描述很少用于連續(xù)介質力學和有限元法中拉格朗日描述位移是以原始構形為出發(fā)點獨立變量為任意選擇的參照構形中質點P的當前坐標與時間t，其中參照構形的任意選擇是任意的，而且不影響計算結果用時間tn的構形為參考構形的當前質點坐標。更新的拉格朗日描述54.空間描述5.任意拉格朗日－歐拉描述獨立變量是質點P當前位置xin+1(i=1,2,3)和t。在瞬時t的運動是以變形后該時刻的構形為觀察的依據(jù)。這種描述稱為歐拉描述。在歐拉描述中，有限元網(wǎng)格在空間是固定的，材料流過這些網(wǎng)格，因此它適用于流體及定常運動過程，如穩(wěn)態(tài)擠壓過程。由于拉格朗日描述的坐標附著在物質點上，因而易于引入本構關系和處理表面載荷問題。任意拉格朗日－歐拉描述又稱耦合拉格朗日－歐拉描述。在ALE描述中，另外引入了一個獨立于初始構形和現(xiàn)時構形的參照構形，在物體變形過程中，觀察者始終跟隨參照構形運動，因而對觀察者而言，參照構形是固定不動的，而初始構形和現(xiàn)時構形都相對于參照構形運動。2變形率和本構關系6二、幾何非線性有限元方程的建立一是從虛功原理出發(fā)，直接使用應力與共軛應變。幾何非線性有限元法至今沒有一個統(tǒng)一的方法，從不同的能量原理，應變位移方程和不同的應力和應變可以得到不同的非線性有限元方程。在建立幾何非線性方程時，選擇的能量平衡方程大體有兩類：另一類是由增量變形的變分原理出發(fā)，使用應變率和應變率。7二、幾何非線性有限元方程的建立1全拉格朗日列式法(T.L)設一個運動的物體，假定對于時刻以前的解均已得到，當前的目標是去建立一個方程，由方程可解得時刻的各未知量。See:P124-1268采用如下假設：1.在有限應變中可恢復的(彈性的)應變較之不可恢復的(非彈性的)應變小得多，因此可把總應變線性分解為兩部分之和，這與小應變理論相同；2.材料各向同性硬化，材料系數(shù)量值僅隨加載歷程變化，但其軸的方向不變；3.在一個增量步內采用線性化方法，把應力與應變視為線性關系。92結構穩(wěn)定性和屈曲問題在有限元理論中列出的靜力平衡問題的非線性有限元方程，可以用于分析結構力學中的一類重要問題，即結構穩(wěn)定性和屈曲問題。分析的目的是求解結構從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的臨界載荷和失穩(wěn)后的屈曲形態(tài)。特征是：結構在基本的載荷-位移平衡路徑()的附近還存在另一分叉平衡路徑()。當載荷到達臨界值Pcr時，如果結構或載荷有一微小的擾動，載荷-位移將沿分叉平衡路徑發(fā)展。結構的載荷臨界點可分為兩種類型分叉臨界點極值臨界點

特征是：當載荷到達臨界(最大)值時，如果載荷或位移有微小變化，將分別發(fā)生位移的跳躍或載荷的快速下降。前者稱為急速跳過。后者稱為垮塌。102結構穩(wěn)定性和屈曲問題分叉臨界點的載荷－位移平衡路徑例如直桿受精確沿中心線方向的壓力作用，當載荷到達臨界值時，桿子除平直的平衡路徑()以外，還存在橫向屈曲的平衡路徑(II)，而前者是不穩(wěn)定的。極值臨界點的載荷－位移平衡路徑111．線性穩(wěn)定分析如果失穩(wěn)前結構處于小變形狀態(tài)，可以不考慮幾何非線性對平衡方程和幾何方程的影響。如同時假定材料仍處于彈性狀態(tài)，則失穩(wěn)前可采用線彈性分析來求解結構內的位移和應力。122.非線性穩(wěn)定分析此類分析是指失穩(wěn)前結構處于大變形狀態(tài)，這時結構的剛度矩陣是載荷幅值p和位移向量u的非線性函數(shù)。SeeP128-13013三、非線性結構分析簡介1．非線性結構訂書機木架輪胎非線性①幾何非線性②材料非線性③狀態(tài)變化(包括接觸)142．非線性分析的特殊性（1）逐步遞增載荷和平衡迭代非線性問題需要一系列帶校正的線性近似來求解純粹增量近似與牛頓拉普森近似的關系純粹增量式解全牛頓－拉普森迭代求解真實響應誤差計算響應兩給載荷增量153．非線性求解的組織級別非線性求解級別：載荷步1載荷步2子步載荷步子步非線性分析的典型的載荷歷程載荷步子步平衡迭代164．收斂容差

當確定收斂準則時，可以選擇將收斂檢查建立在力、力矩、位移、轉動或這些項目的任意組合上，且每一個項目可以有不同的收斂容差值。對多自由度問題，同樣也有收斂準則的選擇問題。175．保守行為與非保守行為—過程依賴性186．子步7．自動時間步長8．載荷和位移方向

9．非線性瞬態(tài)過程的分析以載荷增量加載，程序在每一步中進行平衡迭代（1）子步數(shù)或時間步長（2）自動時間步長19四、非線性分析的基本過程非線性分析的步驟1．建模2．加載并求解3．檢查結果非線性分析建模過程中可能包含特殊的單元或非線性材料性質。除此之外，建模過程與線性分析類似。來自非線性靜態(tài)分析的結果主要由位移、應力、應變以及反作用力組成。可以用POST1或者用POST26來檢查這些結果。20非線性瞬態(tài)分析實例初始速度銅圓柱體一個銅彈以給定的速度射向壁面，壁面假定是剛性的和無摩擦的。目的是研究彈和壁面接觸后80s內的現(xiàn)象，即彈的整個變形，速度歷程以及最大等效VonMises應變。求解使用SI單位系統(tǒng)。21/prep7et,1,visco106keyopt,1,3,1mp,ex,1,117e9mp,dens,1,8930mp,nuxy,1,0.35tb,biso,1,1,,0tbmodif,2,1,4e8tbmodif,3,1,le8tbplot,biso,1rectng,0,0.0032,0,0.0324lesize,2,,,20,1lesize,1,,,4,1mshape,0,2dmshkey,1amesh,1fini/soluantype,4trnopt,fulllumpm,onnlgeom,1ic,all,uy,,-227d,all,,0,,,,uznsel,s,loc,x,0d,all,,0,,,,uxnsel,s,loc,y,0d,all,,0,,,,uyallseltime,8e-5autots,1deltim,4.4e-7kbc,1outres,all,4solvefini/postlset,lasttop_node=26*get,deform,node,top_node,u,y/dscale,1,1pldisp,2plnsol,epto,eqvfini/post26nsol,2,top_node,u,y,displacederiv,3,2,1,,velocity,,,1/axlab,y,velocityplvar,3fini建模網(wǎng)格約束22等效應變合位移m23X方向位移等效應力Pa2425不同時刻等效應力及變形26不同時刻等效應力及變形27其它例子ANSYSVerificationManual,描述了一些另外的非線性分析實例。下表顯示給你一些VerificationManual包括的非線性分析例子：VM7管組裝的塑性壓縮VM11殘余應力問題VM24矩形梁的塑性VM38受壓厚壁柱體的塑性加載VM56內部受壓的超彈性厚柱體VM78懸替梁中的橫向剪切應力VM80對突然施加恒力的塑性響應VM104液一固相變VM124蓄水池中水的排出VM126流動流體的熱傳導VM132由于蠕變輝栓的應力消除VM133由于輻射感應蠕棒的運力VM134一端固定梁的塑性彎曲VM146鋼盤混凝土梁的彎曲VM165鐵性導體的載流VM198面內扭轉實驗的大應變VM199承受剪切變形的物體的粘彈性分析VM200粘彈性的疊層密封分析28五、幾何非線性(一)、簡介如果結構經(jīng)受大變形，變化的幾何形狀可能會引起結構的非線性響應。大變形29(二)、幾何非線性分析1．大應變效應2．關于大應變的特殊建模討論3.具有小應變的大撓度（轉角）4．應力剛化5．旋轉軟化30大變形大轉動1．大應變效應一個結構的總剛度當一個單元的節(jié)點經(jīng)歷位移后，那個單元對總體結構剛度的貢獻可以以兩種方式改變。它的組成部件單元的方向和單元的剛依賴于單元的形狀改變單元的取向改變大轉角單元剛度將改變它的局部剛度轉化到全局部件的變換也將改變312．關于大應變的特殊建模討論（1）應力－應變在大應變求解中，所有應力－應變輸入和結果將采用真實應力和真實（或對數(shù)）應變。對真實應變超過50％的塑性分析，應使用大應變單元（VISCO106，107及108）32(2)單元的形狀在大變形分析的任何迭代中粗劣的單元形狀（即大的橫縱比，過度的頂角及具有負面積的已扭曲單元）是不好的，所以必須象注意單元的原始形狀一樣注意單元已扭曲后的形狀。變形前的單元變形后的大應變單元(不好的邊長比)修改后變形前的單元變形后的大應變單元(較好的邊長比)333.具有小應變的大撓度（轉角）大撓度效應在一個大撓度分析中，單元的轉動可以任意地大，但是應變假定是小的。用NLGEOM，ON命令來激活那些支持這一特性的單元中的大撓度效應。GUI：MainMenu＞Solution＞AnalysisOptions344.應力剛化它在薄的、高應力的結構中，如纜索或薄膜中，是最明顯的。一個鼓面，當它繃緊時會產(chǎn)生垂向剛度，這是應力剛化結構的一個普通的例子。

結構的面外剛度可能極大地受到結構中面內應力狀態(tài)的影響。面內應力和橫向剛度之間的耦合，稱為應力剛化盡管應力剛化理論假定單元的轉動和應變是小的。剛化應力僅可以通過進行大撓度分析得到P應力硬化梁剛化應力可采用小撓度或線性理論得到P355．旋轉軟化在小位移分析中這種調整近似于由于大的環(huán)形運動而導致幾何形狀改變的效應旋轉軟化是指動態(tài)質量效應調整（軟化）旋轉物體的剛度矩陣旋轉軟化用OMEGA命令中的KPSIN來激活GUI：MainMenu＞Solution

＞AnalysisOptions通常它和預應力[PSTRES]一起使用，這種預應力由旋轉物體中的離心力所產(chǎn)生。它不應和其它變形非線性、大撓度和大應變一起使用GUI：MainMenu>Preprocessor>Load>-Load-Apply>-Structura1-Other>AngularVelocity36六、屈曲分析1.概念ANSYS提供兩種分析結構屈曲載荷和屈曲模態(tài)的技術(1).非線性屈曲分析(2).特征值屈曲分析特征值（或線性）屈曲分析屈曲分析是一種用于確定結構開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷和屈曲模態(tài)形狀（結構發(fā)生屈曲響應的特征形狀）的技術。特征值屈曲分析用于預測一個理想彈性結構的理論屈曲強度（歧點）。特征值屈曲分析經(jīng)常產(chǎn)生非保守結果，通常不能用于實際現(xiàn)實生活中的工程分析。非線性屈曲分析比線性屈曲分析更精確，故建議用于對實際結構進行的設計或估計中。372．非線性屈曲分析的過程非線性屈曲分析是在大變形效應開關打開的情況下(NLGEOM，ON)所作的一種靜力分析，該分析過程一直進行到結構的限制載荷或最大載荷。（1）施加載荷增量（2）自動時間步長功能（3）重要注意事項（4）施加初始缺陷（擾動）（5）弧長法383．特征值屈曲分析的過程①建立模型；②獲得靜力解；③獲得特征值屈曲解；④展開解；⑤觀察結果。39如圖5一15所示，一根長為L，兩端鉸支的細長桿受到軸向加載。此桿截面的高度為h，面積為A。由于對稱性，只給桿的上端建模，則上半部分的邊界條件變?yōu)樽杂梢还讨А榱嗣枋銮B(tài)，在x方向取10個主自由度。桿的慣性矩為I=Ah2／12＝0.0052083in4詳細參數(shù)如下：材料性質：模型尺寸：載荷。EX=30E6psiL=200inF=1lbfA=0.25in2h＝0.5in特征值屈曲分析實例40/PREP7/TITLE,BUCKLING….ET,1,BEAM3R,1,0.25,52083E-7,0.5MP,EX,1,30E6N,1N,11,,100FILLE,1,2EGEN,10,1,1FINISHSave,buckle1,dbResume,buckle1,db/SOLUANTYPE,STATICPSTRES,OND,1,ALL11111098765432109876543241F,11,FY,-1SOLVEFINISHSAVE,BUCKLE1,DBRESUME,BUCKLE1,DB/SOLUANTYPE,BUCKLEBUCOPT,REDUC,1MXPAND,1M,2,UX,11,1SOLVE*get,FCR,MODE,1,FREQ!FcR--->曲屈分析中第1階頻率為失穩(wěn)載荷NFINISH/POST1SET,FIRSTPLDISP,1FINISH111110987654321098765432FY=－142fini/clear!/prep7!et,1,beam3R,1,161.29,2167.87,12.7mp,ex,1,207000!N/mm^2mp,prxy,,0.3n,1n,11,,2540!mmfille,1,2egen,10,1,1fini!/soluantype,staticpstres,on!考慮預應力d,1,allf,11,fy,-1!Y方向施加單位載荷outpr,,1!輸出第1荷載計算結果solvefini/soluantype,bucklebucopt,Lanb,1!只展開第1階失穩(wěn)狀態(tài)mxpand,1!展開第1階失穩(wěn)狀態(tài)!solve*get,FCR,MODE,1,FREQ!FcR--->曲屈分析中第1階頻率為失穩(wěn)載荷N*status,parmfinish!Fc求失穩(wěn)載荷？43fini/clear/prep7antype,transnlgeom,onet,1,beam3,,,,,,,1r,1,161.29,2167.86,12.7mp,ex,1,2.07e5mp,prxy,,0.3!n,1n,11,,2540fille,1,2egen,10,1,1finish/ESHAPE,10/solusolcontrol,0neqit,250!outpr,basic,lastoutres,all,alld,1,allfcr=-171.5pi=3.1415926!time,1DELT,0.05,0.005,0.5AUTO,ONkbc,0f,11,fy,fcr*1.884f,11,fx,1solve!超過失穩(wěn)載荷的動力計算44七、材料非線性(一)、彈塑性分析1．有關塑性的概念(1)路徑相關性(2)率相關性(3)工程應力、應變與真實的應力、應變ANSYS的材料非線性分析彈塑性分析超彈分析蠕變分析塑性是不可恢復的，與路徑相關的。必須按照系統(tǒng)真正經(jīng)歷的加載過程加載。與應變率有關的