第三章 第8(2)、9、10講 空間力投影、力對(duì)點(diǎn)之矩,匯交力系、力偶系

§3.1空間匯交力系第8（2）講目錄第三章空間力系TheoreticalMechanics

第8（2）講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)TheoreticalMechanics

教學(xué)內(nèi)容：在空間直角坐標(biāo)軸上的投影、空間匯交力系教學(xué)要求：重點(diǎn)：力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影難點(diǎn)：空間匯交力系、力偶系的平衡學(xué)時(shí)安排：11、了解空間力系的概念和平衡條件。2、理解應(yīng)用空間匯交力系平衡3、掌握力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影。3.1.1力的投影

§3.1空間匯交力系TheoreticalMechanics引言：平面力系一、力系空間力系匯交力系：三角架平行力系任意力系二、空間支座：柔性約束FT1FT3FT2FT41、一個(gè)約束力FNAPAFNAFNA光滑面約束滾動(dòng)支座二力桿

§3.1空間匯交力系2．兩個(gè)未知量：徑向軸承（向心軸承）TheoreticalMechanicsTheoreticalMechanics不能限制轉(zhuǎn)動(dòng)，但限制任何方向的轉(zhuǎn)動(dòng)反力方向：通過(guò)鉸心（插入端），方向不定，三正交分量表示。固定球鉸鏈支座FyFzFx止推軸承FyFzFx

§3.1空間匯交力系3．三個(gè)未知量：固定球鉸鏈支座、止推軸承（向心推力軸承）TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系4．導(dǎo)向軸承、萬(wàn)向接頭5．帶銷子的夾板、導(dǎo)軌6．空間的固定端FAyFAzmAzmAyFAyFAzmAyFAxFAyFAzFAxmAzmAxFAyFAzmAzmAxFAymAyFAzFAxmAzmAx3.1空間匯交力系2.1.1力的投影TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系三、力在空間坐標(biāo)軸上的投影與分解1、分解與合成yzxFFxFyFzFxy合力與分力滿足長(zhǎng)方體原則。合力為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，分力為三條棱。3.1空間匯交力系2.1.1力的投影TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系力在軸上的投影：力與該投影軸單位矢量的標(biāo)量積2、力在空間坐標(biāo)軸上的投影直角坐標(biāo)系Oxyz的單位矢量為i、j、k，力F在各軸上投影

（1）直接投影法（2）二次投影法正負(fù)規(guī)定：與坐標(biāo)正向一致取正當(dāng)外力與軸垂直，外力在該軸上投影為零當(dāng)外力與軸平行，外力在該軸上的投影的絕對(duì)值等于力的大小yzxFFxFyFzαFxyγβ3、分力與投影的關(guān)系TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系在直角坐標(biāo)系中力F的矢量式：F=Fx

i+Fy

j+Fz

k

4、已知力F在直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)投影求合力Fx=Fx

iFy=Fy

jFz=Fz

k

力大小:力方向:例3-1已知：、、求：力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系正視圖俯視圖四、空間匯交力系的合力與平衡條件2、合矢量（力）投影定理1、空間匯交力系的合力3、合力的大小：4、空間匯交力系平衡的充分必要條件是：稱為空間匯交力系的平衡方程。該力系的合力等于零，即方向余弦：TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系例3-2已知：物重P=10kN由兩等長(zhǎng)繩懸掛于墻，C、D連線水平，直角三角形形成的平面BCD與水平面成30o角。AB桿與鉛垂線成θ=30o角。求：桿受力及繩拉力。TheoreticalMechanics

§3.1空間匯交力系解：畫(huà)受力圖如圖，建立圖示坐標(biāo)，列平衡方程播放30oE30oF45o作業(yè)P.1073-12第9講目錄第三章空間力系

§3.3空間力偶系

§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics

§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩第9講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)TheoreticalMechanics

教學(xué)內(nèi)容：空間力對(duì)點(diǎn)之矩、對(duì)軸之矩，空間力偶系，空間任意力系的簡(jiǎn)化教學(xué)要求：重點(diǎn)：力在空間力對(duì)軸之矩、力偶性質(zhì)及平衡難點(diǎn)：空間力偶系的平衡、空間任意力系的簡(jiǎn)化學(xué)時(shí)安排：21、了解空間力對(duì)點(diǎn)之矩、空間任意力系的簡(jiǎn)化2、理解空間力偶的性質(zhì)3、掌握力在空間力對(duì)軸之矩，應(yīng)用空間力偶系簡(jiǎn)化和平衡一、力對(duì)的點(diǎn)矩

1、定義：力的作用點(diǎn)A相對(duì)于確定點(diǎn)O的矢徑r和力矢F的叉積，定義為力對(duì)點(diǎn)O（稱為矩心）的矩，用MO(F)表示。MO

(F)=r×F。§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics(3)作用面：力矩作用面。(2)方向:轉(zhuǎn)動(dòng)方向(1）大小:力F與力臂的乘積三要素：力矩的大小和方向是隨矩心的改變而改變的，力矩MO(F)必須從矩心O畫(huà)出。由右手螺旋規(guī)則來(lái)確定力對(duì)點(diǎn)之矩，力對(duì)點(diǎn)之矩是定位矢。§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics力對(duì)點(diǎn)O的矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為：則在直角坐標(biāo)系Oxyz中：矢徑：rAO

=r=xi+yj+zk，力：F=Fxi

+Fyj+Fzk。二、力對(duì)軸的矩力與軸相交或與軸平行（力與軸在共面，力對(duì)該軸的矩為零。§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics

1、定義：力使物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效果的度量。力對(duì)軸的矩轉(zhuǎn)化為求力在垂直于軸平面內(nèi)的分力，對(duì)軸與平面的交點(diǎn)之矩。3、單位：N·m2、力對(duì)軸的矩是一個(gè)代數(shù)量：4、正負(fù)規(guī)定：正負(fù)號(hào)可用右手螺旋法則來(lái)判定：用右手握住轉(zhuǎn)軸，四指繞向在力作用處的切線與力方向一致，若拇指指向與轉(zhuǎn)軸正向一致時(shí)力矩為正；反之，為負(fù)。也可從轉(zhuǎn)軸正端看過(guò)去，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)向力矩為負(fù)。例3-3曲柄ABCDE在水平面內(nèi)，力F在垂直于y軸的平面內(nèi)。其中F、

l、b、α

是常量。求力F對(duì)三坐標(biāo)軸之矩。解：把力分解如圖§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics播放bαFxFz§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics【例3-4】如圖所示，已知各力大小均為100N，六面體邊長(zhǎng)單位cm。

求：(1）各力在x、y、z軸上的投影；(2）力F3對(duì)x、y、z軸之矩解:（1）計(jì)算投影。F1F2：F3F3xyF3xF3yF3zxyz303040F3F1αγOβF2Mx(F3)=Mx

(F3x)+Mx

(F3y)+Mx

(F3z)=(2)力F3與y軸相交My(F3)=0。由合力矩定理求力F3對(duì)x、y軸之矩0-F3y×0.3+0=-15.4N·mMz(F3)=Mz(F3x)+Mz

(F3y)+Mz

(F3z)=0+F3y×0.4+0=20.6N·m求：力F對(duì)x,y,z軸的矩三、

力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過(guò)該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系已知：力F,力F在三根軸上的分力

Fx

、Fy、

Fz

，力F作用點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)§3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸之矩TheoreticalMechanics與平面的合力矩定理相似即，力對(duì)點(diǎn)的矩矢在過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。§3.3空間力偶系TheoreticalMechanics一、空間力偶1、空間力偶的三要素（1）大小：力與力偶臂的乘積；（3）作用面：力偶作用面。（2）方向：轉(zhuǎn)動(dòng)方向；力偶矩矢：2、力偶的性質(zhì)（2）力偶對(duì)任意點(diǎn)取矩都等于力偶矩，不因矩心的改變而改變(1）力偶中兩力在任意坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零。力偶沒(méi)有合力，力偶平衡只能由力偶來(lái)平衡。（3）只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。定位矢量（空間的力對(duì)點(diǎn)之矩）力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬來(lái)搬去，滑來(lái)滑去）滑移矢量（力）§3.3空間力偶系TheoreticalMechanics§3.3空間力偶系TheoreticalMechanics二．力偶系的合成與平衡條件=M為合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和如同匯交力系有：合力偶矩矢的大小和方向余弦稱為空間力偶系的平衡方程。簡(jiǎn)寫(xiě)為：有2、平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零1、合成=—空間力偶系的平衡方程播放2播放1(兩力偶)A求：工件所受合力偶矩在軸上的投影。例3-5已知：在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆5個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均為80N·m。解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到點(diǎn)A。M3M4M5M2M1§3.3空間力偶系TheoreticalMechanicsBF1F’1F2F’2M1M2圓盤(pán)面O1垂直于z軸，求:軸承A,B處的約束力例3-6已知：F1=3N，F(xiàn)2=5N，（構(gòu)件自重不計(jì)）兩盤(pán)面上作用有力偶，圓盤(pán)面O2垂直于x軸，AB=800mm,兩圓盤(pán)半徑均為200mm，解：取整體，受力圖如圖b所示，列力偶系平衡方程FBxFAxFAzF1F’1F2F’2FBxFAxFAz§3.3空間力偶系TheoreticalMechanicsFBzBFBz思考：兩力偶對(duì)其它軸有矩沒(méi)有？§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩一、

空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化其中，各，各空間匯交與空間力偶系等效代替一空間任意力系TheoreticalMechanics1、主矢：平移后的空間匯交力矢系的合力矢2、主矩：平移后的空間力偶系的合力偶矩矢由力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系，有播放當(dāng)最后結(jié)果為一個(gè)合力，（1）合力最后結(jié)果為一合力。合力作用線距簡(jiǎn)化中心為2．

空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析（最后結(jié)果）合力作用點(diǎn)過(guò)簡(jiǎn)化中心。§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩TheoreticalMechanics（2）合力偶力螺旋中心軸過(guò)簡(jiǎn)化中心當(dāng)時(shí)，最后結(jié)果為一個(gè)合力偶，與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)播放當(dāng)時(shí)，（3）力螺旋當(dāng)∥時(shí)右螺旋左螺旋力螺旋中心軸距簡(jiǎn)化中心為（4）平衡當(dāng)時(shí)，空間力系為平衡力系TheoreticalMechanics播放當(dāng)成角且既不平行也不垂直時(shí)§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩TheoreticalMechanics播放§3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化·主矢和主矩§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics前三個(gè)方程稱為投影方程，表示力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，表明物體無(wú)任何方向的移動(dòng)。后三個(gè)方程為力矩方程，表示力系中各力對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩代數(shù)和分別為零，表明物體無(wú)繞任何軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。空間任意力系有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，所以空間任意力系的平衡問(wèn)題最多可解六個(gè)未知量。力系空間匯交力系空間平行力系（//z軸）空間力偶系平衡方程一、平衡方程作業(yè)P.1073-9第10講目錄MechanicofMaterials第三章空間力系§3.5空間任意力系的平衡方程第11講的內(nèi)容、要求、重難點(diǎn)MechanicofMaterials教學(xué)內(nèi)容：空間平行力系、任意力系的平衡方程的應(yīng)用，空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面力系求解方法教學(xué)要求：重點(diǎn)：任意力系平衡的應(yīng)用難點(diǎn)：空間任意力系平衡方程的應(yīng)用學(xué)時(shí)安排：21、了解空間任意力系的簡(jiǎn)化。2、理解空間平行力系的平衡。3、掌握任意力系平衡問(wèn)題的求解方法步驟、技巧。§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics二、解題步驟：

1、

選擇研究對(duì)象，取出分離體，畫(huà)分離體受力圖。求解空間力系平衡問(wèn)題的基本方法和步驟與平面力系相同正確地選擇研究對(duì)象，畫(huà)分離體受力圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵

2、建立空間直角坐標(biāo)系，列平衡方程。

3、代入已知條件，求解未知量。例3-7三輪推車已知：自重P=8kN,各尺寸如圖求：A、B、D處約束力解：研究對(duì)象：小車受力如圖列平衡方程求反力§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics0.2m1.2m0.2m1.2mPP1xyzFDFAFB2m例3-8已知：各尺寸如圖，D=400mm，R=300mm求：及A、B處約束力解：研究對(duì)象:曲軸受力如圖所示，列平衡方程§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics√√√√√√√§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics例3-9等尺寸。求：，（2）A、B處約束力(1)（3）O處約束力√√√√√√√FxFz√FyFzFxFtFtFrFrFBxFBzFBy38876488100xzyFAxFAz播放O§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics研究對(duì)象2：工件受力圖如圖列平衡方程√√√求：（3）O處約束力FxFzFyFOxFOzFOyMxMyMzI已知：F、P及各尺寸求：各桿內(nèi)力解：研究對(duì)象：長(zhǎng)方板受力圖如圖列平衡方程探索1（只有F1與x軸不垂直）§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanicsxzy播放圖示為某水輪機(jī)渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)軸，已知大錐齒輪D上承受的嚙合反力可以分解為圓周切向力Ft、軸向力Fa

和徑向力Fr

，且它們的大小比為1:0.32:0.17，外力偶矩為MZ

=1.2kN·m，轉(zhuǎn)動(dòng)軸及其附件總重量為G=12kN，錐齒輪的平均半徑為DE=

r=0.6m，其余尺寸如圖所示，試求兩軸承處的約束反力ABDEMZ§3.4空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics探討20.32Ft0.17Ft√√√4m3m

【例5.4】某傳動(dòng)軸如圖所示。已知皮帶拉力T=5kN,t=2kN，帶輪直徑D=160mm，分度圓直徑為d=100mm，壓力角（齒輪嚙合力與分度圓切線間夾角）α=20°，求齒輪圓周力Ft、徑向力Fr和軸承的約束反力。

§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探討3

∑Mx(Fi)=0-Fr·200+RBz·400-(t+T)·460=0∑Fx=0

RAx+RBx+Ft=0∑Fz=0RAz+RBz-Fr-(t+T)=0

Ft=4.8kN

Fr=1.747kN

RBz=8.92kN

RBx=-2.4kNRAx=-2.4kN

RAz=-0.17kN

§5.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探討3方法一：軸受力、坐標(biāo)如圖所示，列出平衡方程。§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics

探討3方法二（b）（a）(c)

(d)

方法二（1）取傳動(dòng)軸為研究對(duì)象，并畫(huà)出它的分離體在三個(gè)坐標(biāo)平面投影的受力圖。如圖（b）、(c)、(d)所示。（2）按平面力系平衡問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。①對(duì)符合可解條件的先行求解，故先從xz面先行求解。

對(duì)xz面：Ft=4.8kN,Fr=Ft

tanα=1.747kN

§3.5空間任意力系的平衡方程TheoreticalMechanics探討3②對(duì)其余兩面求解