離散數學重點筆記

年4月19日離散數學重點筆記文檔僅供參考，不當之處，請聯系改正。0命題邏輯素數=質數，合數有因子和或假必真同為真(p→q)∧(q←→r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)等都是合式公式，而pq→r，（p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是單個的命題變項，則稱A為0層合式(┐p∧q)→r，(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分別為3層和4層公式【例】求下列公式的真值表，并求成真賦值和成假賦值。(┐p∧q)→┐r公式(1)的成假賦值為011，其余7個賦值都是成真賦值命題邏輯等值演算（1）雙重否定律AA（2）等冪律A∧AA；A∨AA（3）交換律A∧BB∧A；A∨BB∨A（4）結合律（A∧B）∧CA∧（B∧C）；（A∨B）∨CA∨（B∨C）（5）分配律（A∧B）∨C（A∨C）∧（B∨C）；（A∨B）∧C（A∧C）∨（B∧C）（6）德·摩根律（A∨B）A∧B；（A∧B）A∨B（7）吸收律A∨（A∧B）A；A∧（A∨B）A（8）零一律A∨11；A∧00（9）同一律A∨0A；A∧（10）排中律A∨A1（11）矛盾律A∧A0（12）蘊涵等值式A→BA∨B（13）假言易位A→BB→A（14）等價等值式AB（A→B）∧（B→A）（15）等價否定等值式ABABBA（16）歸繆式（A→B）∧（A→B）AAi(i=1,2,…,s)為簡單合取式，則A=A1∨A2∨…∨As為析取范式(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨pA=A1∧A2∧…∧As為合取范式(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r一個析取范式是矛盾式當且僅當它的每個簡單合取式都是矛盾式一個合取范式是重言式當且僅當它的每個簡單析取式都是重言式主范式【∧小真，∨大假】∧成真小寫【例】(p→q)→(┐q→┐p)=┐(┐p∨q)∨(q∨┐p)(消去→)=(p∧┐q)∨┐p∨q(┐內移)(已為析取范式)=(p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q)（*）=m2∨m0∨m1∨m1∨m3=m0∨m1∨m2∨m3(冪等律、排序)(*)由┐p及q派生的極小項的過程如下：┐p=┐p∧(┐q∨q)=(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)q=(┐p∨p)∧q=(┐p∧q)∨(p∧q)熟練之后，以上過程可不寫在演算過程中。該公式中含n=2個命題變項，它的主析取范式中含了22=4個極小項，故它為重言式，00，01，10，11全為成真賦值?！纠?p→q)∧┐p=(┐p∨q)∧┐p(消去→)=┐p∨(┐p∧q)(分配律、冪等律)已為析取范式=(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)=m0∨m1【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)=(p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)=(p∨q)∧┐(p∧q)重言蘊涵式【例】用附加前提證明法證明下面推理。前提：P→（Q→R），S∨P，Q結論：S→R證明：（1）S∨P前提引入規則（2）S附加前提引入規則（3）P（1）（2）析取三段論規則（4）P→（Q→R）前提引入規則（5）Q→R（3）（4）假言推理規則（6）Q前提引入規則（7）R（5）（6）假言推理規則【例】用歸繆法證明。前提：P∨Q，P→R，Q→S結論：S∨R證明（1）（S∨R）附加前提引入規則（2）S∧R（1）置換規則（3）S（2）化簡規則（4）R（2）化簡規則（5）Q→S前提引入規則（6）Q∨S（5）置換規則（7）Q（3）（6）析取三段論（8）P∨Q前提引入規則（9）P（7）（8）析取三段論規則（10）P→R前提引入規則（11）P∨R（10）置換規則（12）R（9）（11）析取三段論規則（13）R∧R（4）（12）合取引入規則全稱量詞""對"∨"無分配律。同樣的，存在量詞""對"∧"無分配律xyF(x,y)

x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))

(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))謂詞邏輯的等價公式定理1設A（x）是謂詞公式，有關量詞否定的兩個等價公式：（1）﹁xA（x）x﹁A（x）（2）﹁xA（x）x﹁A（x）定理2設A（x）是任意的含自由出現個體變項x的公式，B是不含x出現的公式，則有（1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B（2）x（A（x）∧B）xA（x）∧B（3）x（A（x）→B）xA（x）→B（4）x（B→A（x））B→xA（x）（5）x（A（x）∨B）xA（x）∨B（6）x（A（x）∧B）xA（x）∧B（7）x（A（x）→B）xA（x）→B（8）x（B→A（x））B→xA（x）定理3設A（x）、B（x）是任意包含自由出現個體變元x的公式,則有：（1）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）（2）x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）定理4下列蘊涵式成立（1）xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））（2）x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）（3）x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）（4）x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）（5）xA（x）→xB（x）x（A（x）→B（x））【例】【例】【例】【例】【例】在一階邏輯自然推理系統F中構造下面推理的證明（1）所有的人或者是吃素的或者是吃葷的，吃素的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃葷的。（個體域為人的集合）。（2）每個喜歡步行的人都不喜歡騎自行車，每個人或者是喜歡騎自行車或者喜歡乘汽車，有的人不喜歡乘汽車，因此有的人不喜歡步行。（個體域為人的集合）。【例】符號化下面的命題“所有的有理數都是實數，所有的無理數也是實數，任何虛數都不是實數，因此任何虛數既不是有理數也不是無理數”，并推證其結論。證明設：P（x）：x是有理數。Q（x）：x是無理數。R（x）：x是實數。S（x）：x是虛數。本題符號化為：x（P（x）→R（x）），x（Q（x）→R（x）），x（S（x）→﹁R（x））x（S（x）→﹁P（x）﹁R（x））（1）x（S（x）→﹁R（x））P（2）S（y）→﹁R（y）US（1）（3）x（P（x）→R（x））P（4）P（y）→R（y）US（3）（5）﹁R（y）→﹁P（y）T（4）E（6）x（Q（x）→R（x））P（7）Q（y）→R（y）US（6）（8）﹁R（y）→﹁Q（y）T（7）E（9）S（y）→﹁P（y）T（2）（5）I（10）S（y）→﹁Q（y）T（2）（8）I（11）（S（y）→﹁P（y））∧（S（y）→﹁Q（y）T（9）（10）I（12）（﹁S（y）∨﹁P（y））∧（S（y）∨﹁Q（y））T（11）E（13）﹁S（y）∨（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（12）E（14）S（y）→（﹁P（y）∧﹁Q（y））T（13）E（15）x（S（x）→﹁P（x）∧﹁R（x））UG（14）第六章，集合代數自然數集合N(在離散數學中認為0也是自然數)，整數集合Z，有理數集合Q，實數集合R，復數集合C全集U，空集是一切集合的子集（1）冪等律：A∩A＝AA∪A＝A（2）同一律：A∩U＝A（3）零律：A∩＝A∪E＝E（4）結合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)（5）交換律：A∩B＝B∩AA∪B＝B∪A(6)分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）吸收律A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A同一律A∪＝A

A∩E＝A

A-B稱為集合B關于A的補集Ａ-B＝｛x|xＡ且xB｝補集記作~A~（A∪B）＝~A∩~B~（A∩B）＝~A∪~B（1）雙重否定律：~（~A）＝A摩根律：~＝U~U＝A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)

A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)

～(B∪C)=～B∩～C

～(B∩C)=～B∪～C（4）矛盾律：A∩（~A）＝排中律：A∪（~A）＝U集合A和B的對稱差記作AB，它是一個集合，其元素或屬于A，或屬于B，但不能既屬于A又屬于B。AB＝(A∪B)-(A∩B)（1）AA＝（2）A＝A（3）AＵ＝~Ａ（4）AB＝BA（5）（AB）C＝A（BC）（6）AB＝(A-B)∪(B-A)，二元關系A×B={<x，y>x∈A∧y∈B}A×B={a，b}×{c，d}={<a，c>，<a，d>，<b，c>，<b，d>}自反性和反自反性定義4.10設R是集合A上的二元關系，如果對于每個xA，都有<x，x>R，則稱二元關系R是自反的。R在A上是自反的x（xA<x，x>R）定義4.11設R是集合A上的二元關系，如果對于每個xA，都有<x，x>R，則稱二元關系R是反自反的。R在A上是反自反的x（xA<x，x>R）4.4.2對稱性和反對稱性定義4.12設R是集合A上的二元關系，如果對于每個x，yA，當<x，y>R，就有<y，x>R，則稱二元關系R是對稱的。R在A上是對稱的xy（xA∧yA∧<x，y>R<y，x>R）定義4.13設R是集合A上的二元關系，如果對于每個x，yA，當<x，y>R和<y，x>R時，必有x=y，則稱二元關系R是反對稱的。4.4.3傳遞性定義4.14設R是集合A上的二元關系，如果對于任意x，y，zA，當<x，y>R，<y，z>R，就有<x，z>R，則稱二元關系R在A上是傳遞的。R在A上是傳遞的xyz（xA∧yA∧zA∧<x，y>R∧<y，z>R<x，z>R）例4.13設A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元關系，其中R={<a，a>，<b，b>，<a，c>}S={<a，b>，<b，c>，<c，c>}T={<a，b>}說明R，S，T是否為A上的傳遞關系。解根據傳遞性的定義知，R和T是A上的傳遞關系，S不是A上的傳遞關系，因為<a，b>R，<b，c>R，但<a，c>R。如果R是HYPERLINK"file:///E:/1-2%E4%BD%9C%E4%B8%9A/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%BF%AE%E6%94%B9%E7%89%88/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%BF%AE%E6%94%B9%E7%89%88/part2