2024屆安徽省皖西南聯盟高三下學期第五次調研考試數學試題含解析

2024屆安徽省皖西南聯盟高三下學期第五次調研考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則的最小值為()A． B． C． D．2．《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍.其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術相當于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．3．函數f(x)=lnA． B． C． D．4．已知集合，，則()A． B． C． D．5．已知函數，若關于的方程有4個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．如圖，在直三棱柱中，，，點分別是線段的中點，，分別記二面角，，的平面角為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．7．已知數列，，，…，是首項為8，公比為得等比數列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．48．已知函數，則（）A．2 B．3 C．4 D．59．下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數除以正整數所得的余數是”記為“”，例如.執行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．1910．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．11．已知，，，則（）A． B．C． D．12．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如．現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.14．設的內角的對邊分別為，，．若，，，則_____________15．雙曲線的離心率為_________．16．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍；（2）若函數對恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）橢圓：的左、右焦點分別是，，離心率為，左、右頂點分別為，.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.（1）求橢圓的標準方程；（2）經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、（不與點、重合），直線與直線相交于點，求證：、、三點共線.19．（12分）已知，其中．（1）當時，設函數，求函數的極值．（2）若函數在區間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．20．（12分）已知橢圓的焦距是，點是橢圓上一動點，點是橢圓上關于原點對稱的兩點（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值.21．（12分）某公司生產的某種產品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產部門當年考核優秀，現獲得該公司年的相關數據如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產臺數（萬臺）2345671011該產品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數（臺）2122286580658488部分計算結果：，，，，注：年返修率=（1）從該公司年的相關數據中任意選取3年的數據，以表示3年中生產部門獲得考核優秀的次數，求的分布列和數學期望；（2）根據散點圖發現2015年數據偏差較大，如果去掉該年的數據，試用剩下的數據求出年利潤（百萬元）關于年生產臺數（萬臺）的線性回歸方程（精確到0.01）.附：線性回歸方程中，，.22．（10分）已知函數，，（1）討論的單調性；（2）若在定義域內有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數為標準正弦型三角函數，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數，以及求三角函數的最值，屬綜合基礎題.2、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達，即，解出即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點睛】本題利用古代數學問題考查圓錐體積計算的實際應用，考查學生的運算求解能力、創新能力.3、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=4、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.5、C【解析】

求導，先求出在單增，在單減，且知設，則方程有4個不同的實數根等價于方程在上有兩個不同的實數根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數根，故，解得.故選：C.【點睛】本題考查確定函數零點或方程根個數.其方法：(1)構造法：構造函數(易求，可解)，轉化為確定的零點個數問題求解，利用導數研究該函數的單調性、極值，并確定定義區間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數形結合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數在某區間上有零點，然后利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區間端點值符號，進而判斷函數在該區間上零點的個數.6、D【解析】

過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【詳解】解：因為，，所以，即過點作，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，設平面的法向量，則，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故選：D．【點睛】本題考查二面角的大小的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．7、A【解析】

根據題意依次計算得到答案.【詳解】根據題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數列值的計算，意在考查學生的計算能力.8、A【解析】

根據分段函數直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選：.【點睛】本題考查了分段函數計算，意在考查學生的計算能力.9、B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數應為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數.若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當循環的次數不多，或有規律時，常采用循環模擬或代入選項驗證的方法進行解答.10、A【解析】

本道題繪圖發現三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結合拋物線性質可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質，難度中等．11、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數的商數關系式,化簡可得,即可求得結果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數,難度較易.12、C【解析】從21開始，輸出的數是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據平移法判斷出最優點，代入目標函數的解析式，易可得到目標函數的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.14、或【解析】試題分析：由，則可運用同角三角函數的平方關系：，已知兩邊及其對角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點：運用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）15、2【解析】16、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）求導得到，討論和兩種情況，計算函數的單調性，得到，再討論，，三種情況，計算得到答案.（2）計算得到，討論，兩種情況，分別計算單調性得到函數最值，得到答案.【詳解】（1），①當時恒成立，所以單調遞增，因為，所以有唯一零點，即符合題意；②當時，令，函數在上單調遞減，在上單調遞增，函數。（i）當即,所以符合題意，（ii）當即時，因為，故存在,所以不符題意（iii）當時，因為，設，所以,單調遞增，即，故存在，使得，不符題意；綜上，的取值范圍為。（2）。①當時，恒成立，所以單調遞增，所以，即符合題意；②當時，恒成立，所以單調遞增，又因為，所以存在，使得，且當時，。即在上單調遞減，所以，不符題意。綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數的零點問題，恒成立問題，意在考查學生的分類討論能力和綜合應用能力.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據已知可得，結合離心率和關系，即可求出橢圓的標準方程；（2）斜率不為零，設的方程為，與橢圓方程聯立，消去，得到縱坐標關系，求出方程，令求出坐標，要證、、三點共線，只需證，將分子用縱坐標表示，即可證明結論.【詳解】（1）由于，將代入橢圓方程，得，由題意知，即.又，所以，.所以橢圓的方程為.（2）解法一：依題意直線斜率不為0，設的方程為，聯立方程，消去得，由題意，得恒成立，設，，所以，直線的方程為.令，得.又因為，，則直線，的斜率分別為，，所以.上式中的分子，.所以，，三點共線.解法二：當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，直線的方程為.則，，，所以，即，，三點共線.當直線的斜率存在時，設的方程為，，，聯立方程消去，得.由題意，得恒成立，故，.直線的方程為.令，得.又因為，，則直線，的斜率分別為，，所以.上式中的分子所以.所以，，三點共線.【點睛】本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，要熟練掌握根與系數關系，設而不求方法解決相交弦問題，考查計算求解能力，屬于中檔題.19、（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導，根據導數和函數極值的關系即可求出；（2）先求導，再函數在區間上遞增，分離參數，構造函數，求出函數的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據對數的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當時，設函數，則令，解得當時，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減所以當時，函數取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因為，所以，因為在區間上遞增，所以在上恒成立，所以在區間上恒成立．當時，在區間上恒成立，當時，，設，則在區間上恒成立．所以在單調遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當時，函數在區間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點睛】此題考查了參數的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構造函數是關鍵，屬于較難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設點的坐標,表達出直線的斜率之積,再根據三點均在橢圓上,根據橢圓的方程代入斜率之積的表達式列式求解即可.（Ⅱ）設直線的方程為,根據直線的斜率之積為可得,再聯立直線與橢圓的方程,表達出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）設,,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標準方程為.（Ⅱ）設直線的方程為,,由,故,又,故,因為處的切線相互垂直故.故直線的方程為.聯立故.故,代入韋達定理有設,則.當且僅當時取等號.故的面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了根據橢圓上的點坐標滿足的關系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據導數的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先判斷得到隨機變量的所有可能取值，然后根據古典