函數的基本性質課時8函數的奇偶性（2）課件-高一上學期數學人教A版

3.2函數的基本性質課時8

函數的奇偶性（2）教學目標1.

進一步理解函數奇偶性的概念,從數和形兩個方面把握函數奇偶性的特征,掌握其應用.2.

了解函數奇偶性與單調性之間的相互聯系,能靈活地運用這些聯系解決函數的有關問題.3.

能熟練地運用函數的奇偶性和單調性解決函數的綜合問題,提高分析和解決問題的能力.學習目標課程目標學科核心素養理解函數奇偶性的定義,從“數”和“形”兩個方面把握函數奇偶性的本質屬性在運用函數奇偶性的定義與圖象特征解決相關問題的過程中,培養數學抽象、數學運算素養了解函數奇偶性與單調性之間的相互聯系,能運用這些聯系解決相關問題在運用函數的奇偶性與單調性之間的聯系解決問題的過程中,培養數學運算、邏輯推理素養能靈活地運用函數的奇偶性和單調性解決有關函數的圖象和性質的綜合問題在解決有關函數的綜合問題的過程中,培養邏輯推理、數學抽象素養情境導學如圖是某大橋的直觀圖,視其懸索為一個函數的圖象,從圖象中你能聯想到函數的哪些性質?【活動1】探究函數奇偶性的幾個重要結論初探新知【問題2】是否存在既是奇函數又是偶函數的函數?【問題1】為什么奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱?【問題3】如果已知函數的奇偶性和一個區間[a,b]上的解析式,如何求關于原點的對稱區間[-b,-a]上的解析式?【問題4】關于函數的奇偶性,你還能得出哪些重要的結論?【活動2】探索函數奇偶性與單調性之間的內在聯系

【問題5】已知定義在R上的奇函數f(x)在[0,+∞)上是增函數,那

么f(x)在(-∞,0]上的單調性如何?【問題6】已知f(x)是偶函數,且在[a,b]上單調遞減,則f(x)在[-b,-a]上的單調性如何?

【問題7】函數的單調性與奇偶性是函數的兩個重要性質,它們之間存在著怎樣的聯系.典例精析

【例1】函數f(x),g(x)均為定義在R上的奇函數,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,求F(x)在(-∞,0)的最小值.思路點撥：由函數f(x),g(x)均為定義在R上的奇函數,利用奇函數的定義容易證明函數G(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x)為R上的奇函數,再由奇函數的性質,容易求出G(x)在(-∞,0)上的最小值,借此,可得F(x)在(-∞,0)上的最小值.【解】因為函數f(x),g(x)均為定義在R上的奇函數,設G(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x),則G(x)為R上的奇函數,又因為F(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,所以G(x)=F(x)-2=af(x)+bg(x)在(-∞,0)上有最小值-3,所以函數F(x)=af(x)+bg(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.【方法規律】一般地,若f(x),g(x)均為定義在R上的奇函數,則G(x)=af(x)+bg(x)也是奇函數,若f(x),g(x)均為定義在R上的偶函數,則G(x)=af(x)+bg(x)也是偶函數,解題時,我們常常可以根據問題的特點,運用上述結論,通過構造一個函數G(x),使其具有奇偶性,再利用奇、偶函數的性質使問題獲解.

【變式訓練1】

(1)[教材改編題]已知函數f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10,試求f(2)的值;(2)設f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,且f(x)+g(x)=2x+x2,求函數f(x),g(x)的解析式.【解】

(1)令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,則f(x)=g(x)-8.因為f(-2)=10,所以g(-2)=f(-2)+8=18.又因為g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-g(x),所以g(x)為奇函數,所以g(2)=-g(-2)=-18,得f(2)=g(2)-8=-26.

(2)因為f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=2x+x2

①.用-x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2,即f(x)-g(x)=-2x+x2

②.結合①②得f(x)=x2,g(x)=2x.思路點撥：因為f(x)是定義在R上偶函數,且已知在[0,+∞)上的單調性,可利用偶函數的定義將自變量的值都變換為正的,再利用f(x)在[0,+∞)上的單調性,即可作出比較,獲得結論.A【解】因為函數f(x)為R上的偶函數,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又當x∈[0,+∞)時,f(x)單調遞增,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).故選A.【方法規律】運用函數的奇偶性與單調性的內在聯系解決比較大小的問題,要充分利用奇函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相同的單調性,偶函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相反的單調性,將問題轉化為函數的自變量在同一單調區間上的不同函數值的大小比較的問題,再借助函數的單調性使問題獲解.

【變式訓練2】已知定義在R上的函數y=f(x)在(-∞,a)上單調遞增,且函數y=f(x+a)是偶函數,當x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|時,有(

)A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)≥f(x2)C.f(x1)<f(x2) D.f(x1)≤f(x2)【解】因為函數y=f(x+a)是偶函數,其圖象關于y軸對稱,把這個函數圖象平移|a|個單位長度(a<0左移,a>0右移)可得函數y=f(x)的圖象,因此函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱,此時函數y=f(x)在(a,+∞)上單調遞減.由于x1<a,x2>a且|x1-a|<|x2-a|,說明x1與對稱軸的距離比x2與對稱軸的距離小,故f(x1)>f(x2).故選A.A【例3】設函數f(x)是定義在(-1,1)上的偶函數,且在[0,1)上單調遞增,若f(a-2)-f(4-a2)<0,求實數a的取值范圍.

思路點撥由f(a-2)-f(4-a2)<0可得f(a-2)<f(4-a2),又f(x)是定義在(-1,1)上的偶函數,所以f(|a-2|)<f(|4-a2|),再利用f(x)在[0,1)上單調遞增,由定義域和單調性,可脫去f將不等式轉化為關于a的具體的不等式組來實現求解.【方法規律】關于抽象函數的不等式的求解,一定要充分利用已知條件和函數的單調性與奇偶性之間的聯系,先將已知的不等式轉化成f(x1)>f(x2),或f(x1)<f(x2)的形式,再根據奇函數在對稱區間上單調性一致、偶函數在對稱區間上單調性相反,以及函數的定義域列出不等式或不等式組,通過解不等式(組)求出結果.

C（備選例題）已知函數f(x)對定義域[-1,1]內任意實數a,b都滿足:①f(a+b)=f(a)+f(b);②若a<b,則f(a)<f(b).(1)求f(0);(2)求滿足不等式f(1-a)+f(1-a2)<0的實數a的取值范圍.思路點撥

這是一個抽象函數,可運用賦值法,容易得出f(0)的值和函數f(x)為奇函數的結論,再由條件②結合函數單調性的可知函數f(x)在[-1,1]上單調遞增,最后結合單調性和奇偶性將不等式f(1-a)+f(1-a2)<0中的“f”脫去,得出關于a的不等式解之.

【方法規律】單調性和奇偶性是函數的兩條重要基本性質.單調性與奇偶性之間有著密切的聯系:奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性,且f(-x)=-f(x);(2)偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性,且f(x)=f(-x)=f(|x|).綜合利用函數的單調性和奇偶性,可以解決很多函數問題,特別是抽象函數問題.