湖南省邵陽市邵東縣創新實驗學校2025屆數學高一下期末質量跟蹤監視模擬試題含解析

湖南省邵陽市邵東縣創新實驗學校2025屆數學高一下期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，，那么在方向上的投影為（）A．2 B． C．1 D．2．某廠家生產甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產量之比為2:3:4.為檢驗該廠家產品質量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為72的樣本，則樣本中乙類型飲品的數量為A．16 B．24 C．32 D．483．設函數，則（）A．2 B．4 C．8 D．164．已知甲，乙，丙三人去參加某公司面試，他們被該公司錄取的概率分別是，，，且三人錄取結果相互之間沒有影響，則他們三人中至少有一人被錄取的概率為（）A． B． C． D．5．下列說法不正確的是（）A．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形是一定是平行四邊形；B．同一平面的兩條垂線一定共面；C．過直線上一點可以作無數條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內；D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直.6．若，，則方程有實數根的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(,)的部分圖像如圖所示，則的值分別是()A． B．C． D．8．一個長方體共一頂點的三條棱長分別是，這個長方體它的八個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積是()A．12π B．18π C．36π D．6π9．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．410．設為所在平面內一點，若，則下列關系中正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設滿足約束條件，則目標函數的最大值為______．12．已知，，則當最大時，________.13．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．14．已知腰長為的等腰直角△中，為斜邊的中點，點為該平面內一動點，若，則的最小值________．15．_____________.16．已知等差數列滿足，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在已知數列中，，.（1）若數列中，，求證：數列是等比數列；（2）設數列、的前項和分別為、，是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.18．已知數列的前項和為.（1）求這個數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.19．已知數列的前項和為，點在直線上.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.20．自變量在什么范圍取值時，函數的值等于0?大于0呢?小于0呢?21．從半徑為1的半圓出發，以此向內、向外連續作半圓，且后一個半圓的直徑為前一個半圓的半徑，如此下去，可得到無數個半圓．（1）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的周長；（2）求出所有這些半圓圍城的封閉圖形的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據定義可知，在方向上的投影為，代入即可求解．【詳解】，，那么在方向上的投影為．故選：C．【點睛】本題考查向量數量積的幾何意義，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎試題．2、B【解析】

根據分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因為分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同，所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同，所以樣本中乙類型飲品的數量為.故選B.【點睛】本題考查分層抽樣，依據分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.3、B【解析】

根據分段函數定義域，代入可求得，根據的值再代入即可求得的值．【詳解】因為所以所以所以選B【點睛】本題考查了根據定義域求分段函數的值，依次代入即可，屬于基礎題．4、B【解析】

由題意，可先求得三個人都沒有被錄取的概率，接下來求至少有一人被錄取的概率，利用對立事件的概率公式，求得結果.【詳解】甲、乙、丙三人都沒有被錄取的概率為，所以三人中至少有一人被錄取的概率為，故選B.【點睛】該題考查的是有關概率的求解問題，關鍵是掌握對立事件的概率加法公式，求得結果.5、D【解析】一組對邊平行就決定了共面；同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；這些直線都在同一個平面內即直線的垂面；把書本的書脊垂直放在桌上就明確了6、B【解析】方程有實數根，則：，即：，則：，如圖所示，由幾何概型計算公式可得，滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項.7、B【解析】

通過函數圖像可計算出三角函數的周期，從而求得w，再代入一個最低點即可得到答案.【詳解】,，又，，，又，，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像，通過周期求得w是解決此類問題的關鍵.8、A【解析】

先求長方體的對角線的長度，就是球的直徑，然后求出它的表面積.【詳解】長方體的體對角線的長是，所以球的半徑是：，所以該球的表面積是，故選A.【點睛】該題考查的是有關長方體的外接球的表面積問題，在解題的過程中，首先要明確長方體的外接球的球心應在長方體的中心處，即長方體的體對角線是其外接球的直徑，從而求得結果.9、B【解析】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B.考點：本小題主要考查兩圓的位置關系，考查數形結合思想，考查分析問題與解決問題的能力.10、A【解析】

∵∴?=3(?)；∴=?.故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解析】

首先畫出可行域，然后判斷目標函數的最優解，從而求出目標函數的最大值.【詳解】如圖，畫出可行域，作出初始目標函數，平移目標函數，當目標函數過點時，目標函數取得最大值，，解得,.故填：7.【點睛】本題考查了線性規劃問題，屬于基礎題型.12、【解析】

根據正切的和角公式，將用的函數表示出來，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.【詳解】故可得則當且僅當，即時，此時有故答案為：.【點睛】本題考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.13、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進而利用正弦函數的圖象和性質即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．14、【解析】

如圖建立平面直角坐標系，∴，當sin時，得到最小值為，故選．15、【解析】,故填.16、【解析】

由等差數列的性質計算．【詳解】∵是等差數列，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查等差數列的性質，屬于基礎題．等差數列的性質如下：在等差數列中，，則．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）存在，.【解析】

（1）利用等比數列的定義結合數列的遞推公式證明出為非零常數，即可證明出數列為等比數列，并可求出數列的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用分組求和法與等比數列的求和公式分別求出數列、，設，列出關于、、的方程組，解出即可.【詳解】（1）在數列中，，，則，，且，數列是以為首項，為公比的等比數列，；（2），整理得，，，，所以，，若數列為等差數列，可設，則，即，則，解得，因此，存在實數，使得數列為等差數列.【點睛】本題考查等差數列的證明、數列求和以及等差數列的存在性問題，熟悉等差數列的定義和通項公式的結構是解題的關鍵，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.18、(1)(2)【解析】

（1）當且時，利用求得，經驗證時也滿足所求式子，從而可得通項公式；（2）由（1）求得，利用錯位相減法求得結果.【詳解】（1）當且時，…①當時，，也滿足①式數列的通項公式為：（2）由（1）知：【點睛】本題考查利用求解數列通項公式、錯位相減法求解數列的前項和的問題，關鍵是能夠明確當數列通項為等差與等比乘積時，采用錯位相減法求和，屬于常考題型.19、（1）（2）【解析】

（1）先由題意得到，求出，再由，作出，得到數列為等比數列，進而可求出其通項公式；（2）先由（1）得到，再由錯位相減法，即可求出結果.【詳解】解：（1）由題可得.當時，，即.由題設，，兩式相減得.所以是以2為首項，2為公比的等比數列，故.（2）由（1）可得，所以，.兩邊同乘以得.上式右邊錯位相減得.所以.化簡得.【點睛】本題主要考查求數列的通項公式，以及數列的前項和，熟記等比數列的通項公式與求和公式，以及錯位相減法求數列的和即可，屬于常考題型.20、當或時，函數的值等于0；當時，函數的值大于0；當或時，函數的值小于0.【解析】

將問題轉化為解方程和解不等式，以及，分別求解即可.【詳解】由題：由得：或；由得：；由得：或，綜上所述：當或時，函數的值等于0；當時，函數的值大于0；當或時，函數的值小于0.【點睛】此題考查解二次方程和二次不等式，關鍵在于熟練掌握二