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加權余量法和變分原理王曉軍航空科學與工程學院固體力學研究所<<航空工程先進數值計算技術>>微分方程組邊界條件A,B為微分算子Ω為體積域或面積域等

Γ為域Ω的邊界應力場----彈性力學溫度場----熱傳導電磁場----電磁學流速場----流體力學物理問題的微分控制方程<<結構分析中的有限單元法>>

ByXiaojunWang[2009]物理問題的微分控制方程應力場----彈性力學溫度場----熱傳導<<結構分析中的有限單元法>>

ByXiaojunWang[2009]物理問題的微分控制方程流速場----流體力學電磁場----電磁學微分方程的等效積分形式由于微分方程組在域內中每一點都必須為零，因此就有其中是函數向量，它是一組和微分方程個數相等的任意（權）函數。同樣，在邊界上每一點邊界條件都必須滿足，對于一組任意(權)函數V應當成立微分方程的等效積分形式因此，等效積分形式在很多情況下，可以對上式進行分部積分得到另一種形式關于u的連續性降低了，卻提高了對U和V的連續性要求。式（**）稱為微分方程和邊界條件的等效積分弱形式。加權余量法在求解域Ω中，若場函數是精確解，則在域Ω中任一點都滿足微分方程，同時在邊界上任一點都滿足邊界條件式，此時等效積分形式或等效積分弱形式必然嚴格地得到滿足。但是對于復雜的實際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此,人們需要設法找到具有一定精度的近似解。加權余量法加權余量法伽遼金（Galerkin）法

彈性力學的基本方程和相應的邊界條件，把彈性力學問題歸結為在給定邊界條件下求解偏微分方程的邊值問題。自從建立彈性力學以來，人們用各種偏微分方程的解法求得了許多彈性力學問題的解析解。然而，隨著工業技術的發展，工程結構的形狀也越來越復雜，很多問題得不到解析解，因而需求助于數值解，而變分原理則是許多數值解的基礎。彈性力學問題，在數學上就是空間連續場的確定問題。變分法就是把它歸結為一個泛函變分的極值問題或駐值問題。變分原理

討論一個連續介質問題的“變分原理”首先要建立一個標量泛函∏，它由積分形式確定其中u是未知函數，F和E是特定的算子，Ω是求解域，Γ是Ω的邊界。∏稱為未知函數u的泛函，隨函數u的變化而變化。連續介質問題的解u使泛函∏對于微小的變化δu取駐值，即泛函的“變分”等于零

這種求得連續介質問題解答的方法稱為變分原理或變分法。

變分原理與微分方程和邊界條件是兩種等價的表達形式，一方面滿足微分方程及邊界條件的函數將使泛函取極值或駐值，另一方面從變分的角度來看，使泛函取極值或駐值的函數正是滿足問題的控制微分方

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