高考數學二輪復習：概率統計綜合大題必刷100題

專題23概率統計綜合大題必刷100題

任務一:善良模式（基礎）「30題

1.醫學統計表明，X疾病在老年人中發病率較高.已知某地區老年人的男女比例為3：2,為了解X疾病

在該地區老年人中發病情況，按分層抽樣抽取100名老人作為樣本，對這100位老人是否患有X疾病進行

統計，得條形圖如下所示.

圖一

（1）完成下列2X2列聯表，并判斷有沒有90%的把握認為患X疾病與性別有關?

男性女性合計

患有X疾病

未患X疾病

合計

（2）在這100個樣本中,將未患X疾病老年人按年齡段[60,65）,[6年人），[70,75）,[75,80）,[80,85]分

成5組，得頻率分布直方圖如圖二所示.求未患病老年人的中位數（精確到小數點后一位）.

?n(ad-bcf,

附：K2-----------------------,其中〃=a+b+c+d.

(o+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pg院）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

*2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）填表見解析；沒有90%的把握認為患X疾病與性別有關；（2）中位數約為74.5.

01/165

【分析】

（1）由分層抽樣確定樣本中老年男性、女性的人數，根據條形圖可知未患才疾病的男性、女性人數，進

而寫出列聯表，由卡方公式求K?值，即可給出結論.

（2）由頻率直方圖中頻率和為1求參數a,根據中位數在直方圖中的性質：其兩側面積相等，即可求中位

數.

【詳解】

解：（1）由條形圖知男性共60人，女性共40人，

未患有X疾病男性有40人，未患有才疾病女性25人，完成2X2列聯表如下：

男性女性合計

患有X疾病201535

未患X疾病402565

合計6040100

計算：^J00X(20X25-40X15)^0J82<27()6

60x40x35x65

所以，沒有90%的把握認為患X疾病與性別有關.

（391S12A

（2）由頻率分布直方圖得：市+市+。+而+而卜5=1,

23

得a=M

325

設中位數為b,貝i」70<6<75.

2323231

（Z>-70）x——+5x——+5x——=-,得匹74.5

3253253252

即未患病老人的年齡中位數約為74.5.

2.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出〃（〃cN*且"24）瓶外觀相

同但品質不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再

讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序.這稱為一輪測試，根據一輪測試中的兩次排序的偏離

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程度的高低為其評分.現分別以％,%，。3,…，表示第一次排序時被排在1，2,3,”的〃種酒

在第二次排序時的序號，并令X=|l-4|+|2-%|+|3-蜀+…+則X是對兩次排序的偏離程度的

一種描述.下面取〃=4研究，假設在品酒師僅憑隨機猜測來排序的條件下，%,%,%，%等可能地為1，

2,3,4的各種排列，且各輪測試相互獨立.

(1)直接寫出X的可能取值，并求X的分布列和數學期望；

(2)若某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有XW2,則認為該品酒師有較好的酒味鑒別功能.求出現

這種現象的概率，并據此解釋該測試方法的合理性.

【答案】(1)X的可能取值為0,2,4,6,8,分布列見解析，5；(2)二7,答案見解析.

216

【分析】

(1)先求出X的可能取值，根據古典概型計算公式，結合數學期望公式進行求解即可；

(2)根據獨立事件的概率公式進行求解判斷即可.

【詳解】

解：(1)X的可能取值為0,2,4,6,8

尸(X=0)=±=-!-,尸(、=2)=與=!，尸(X=4)/+0+l=工,

A：24'''8''424

尸(x=6)/xG+g+G+i=(,尸(x=8)/：+i=1，所以X的分布列為

左4X'46

(2)記“在相繼進行的三輪測試中都有XV2”為事件A,“在某輪測試中有XV2”為事件3,則

P(B)=P(X=0)+P{X=2)

2486

又各輪測試相互獨立，尸(⑷=P(BBB)=P(B)P(B)P(B)=

666216

03/165

因為尸（/）表示僅憑隨機猜測得到較低偏離程度的結果的概率，而尸Q）=工。0.0046,該可能性非常小，

所以我們可以認為該品酒師確實有較好的酒味鑒別能力，不是靠隨機猜測，故這種測試合理.

3.隨著新冠疫情防控進入常態化，人們的生產生活逐步步入正軌.為拉動消費，某市政府分批發行2億元

政府消費券.為了解政府消費券使用人群的年齡結構情況，在發行完第一批政府消費券后，該市政府采用

隨機抽樣的方法在全市市民中隨機抽取了200人，對是否使用過政府消費券的情況進行調查，部分結果如

下表所示，其中年齡在45歲及以下的人數占樣本總數的］,沒使用過政府消費券的人數占樣本總數的心.

使用過政府消費券沒使用過政府消費券總計

45歲及以下90

45歲以上

總計200

（1）請將題中表格補充完整，并判斷是否有90%的把握認為該市市民是否使用政府消費券與年齡有關？

（2）現從45歲及以下的樣本中按是否使用過政府消費券進行分層抽樣，抽取8人做進一步訪談，然后再

從這8人中隨機抽取2人填寫調查問卷，則抽取的2人中恰好一個使用過政府消費券，一個沒使用過政府

消費券的概率為多少？

n(ad-bc)~

附：K-=,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.050.025

k02.0722.7063.8415.024

3

【答案】（1）表格見解析，有；（2）

【分析】

（1）求出年齡在45歲及以下的人數，沒使用過政府消費券的人數，再由列聯表中數據可填寫列聯表，然

后計算K?可得結論;

（2）利用分層抽樣可知，抽取使用過政府消費券的市民6人，沒有使用過政府消費券的市民2人，設使

04/165

用過政府消費券的人為1,2,3,4,5,6,沒使用過政府消費券的人為A,B,列出全部情況，根據古典

概型的概率計算公式即可得出結果.

【詳解】

3

解：(1)由題意得，總人數為200人，年齡在45歲及以下的人數為200x1=120人，

3

沒使用過政府消費券的人數為200x==60人，完成表格如下：

使用過政府消費券沒使用過政府消費券總計

45歲及以下9030120

45歲以上503080

總計14060200

由列聯表可知-嗡察蒜普571,因為3">2.7。6,

所以有90%的把握認為該市市民民是否使用政府消費券與年齡有關.

(2)由題意可知，

從45歲及以下的市民中采用分層抽樣的方法可以抽取使用過政府消費券的市民6人，

沒有使用過政府消費券的市民2人，

設使用過政府消費券的人為1,2,3,4,5,6,沒使用過政府消費券的人為A,B,則全部情況為：

12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,1A,2A,3A,4A,5A,6A,1B,

23,3B,48,58,63,AB,共計28種情況，

其中，一個使用過政府消費券，一個沒使用過政府消費券的情況有12種，

所以恰好抽到“一個使用過政府消費券，一個沒使用過政府消費券”的概率為1焉2=q3.

4.為助力湖北新冠疫情后的經濟復蘇，某電商平臺為某工廠的產品開設直播帶貨專場.為了對該產品進行

合理定價，用不同的單價在平臺試銷，得到如下數據：

05/165

單價X（元/件）88.28.48.68.89

銷量了（萬件）908483807568

（1）根據以上數據，求丁關于X的線性回歸方程;

（2）若該產品成本是7元/件，假設該產品全部賣出，預測把單價定為多少時，工廠獲得最大利潤？

2n伍__

（參考公式：回歸方程，=院+￡其中6=a=y-bxy

【答案】（1）y=-20x+250；（2）該產品的單價定為9.75元.

【分析】

⑴利用己知的數據先求出后，再求曲毛-力（％-班2（^,-X）2,然后利用公式求出3,再求出

從而可得到V關于x的線性回歸方程;

（2）設工廠獲得的利潤為Z萬元，結合（1）可得￡="-7）（-20X+250）,化簡后利用二次函數的性質可

求得答案

【詳解】

—8+8.2+8.4+8.6+8.8+9

解：⑴x=---------------------=8o.5,

6

-90+84+83+80+75+68°八

y=---------------------=80,

yi-y}=(8-8.5)(90-80)+(8.2-8.5)(84-80)+(8.4-8.5)(83-80)

+(8.6-8.5)(80-80)+(8.8-8.5)(75-80)+(9-8.5)(68-80)=-14,

6._.2

ZH-x)=(8-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.8-8.5)2

Z=1

+(9-8.5)2=0.7,

06/165

6

Z（x,-元）（乂-刃

-14

-------------------——=-20

￡（士一可-0.7

，=1

***a=>-加=80+20x8.5=250，

???回歸直線方程為歹=-20x+250.

（2）設工廠獲得的利潤為上萬元，則￡=（x-7）（-20x+250）

--20（x-9.75）2+151.25,

該產品的單價定為9.75元時，工廠獲得利潤最大，最大利潤為151.25萬元.

5.為評估設備〃生產某種零件的性能，從設備〃生產零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本，測

量其直徑后，整理得到下表：

直徑/初5758606162636465666768697072合計

件數11356193318442121100

經計算，樣本的平均值“=64,標準差b=2.2,以頻率作為概率的估計值.

（1）為評估設備〃的性能，從樣本中任意抽取一個零件，記其直徑為X,并根據以下規則進行評估（戶表

示相應事件的頻率）：

@P（M-O-<X<M+CT）>0.6827；@P（u-2cr<X<u+2cr）>0.9545；@P（u-3<r<X<u0.9973.

若同時滿足上述三個不等式，則設備〃的性能等級為甲；若滿足其中兩個不等式，則設備〃的性能等級為

乙；若僅滿足其中一個不等式，則設備〃的性能等級為丙；若全部不滿足，則設備〃的性能等級為丁.試

判斷設備〃的性能等級.

（2）將直徑小于或等于u-2b或直徑大于〃+2b的零件認為是次品.

①從設備〃的生產流水線上任意抽取2個零件，計算其中次品個數曠的數學期望；

②從樣本中任意抽取2個零件，計算其中次品個數Z的數學期望￡億）

【答案】（1）設備〃的性能等級為丙；（2）①0.12；②Q12.

【分析】

07/165

（1）由題意分別計算出三種情況的結果，即可判斷出性能等級；（2）①由題意可得次品共6個，次品率

為0.06,然后計算出數學期望，②先列出分布列，然后計算出數學期望.

【詳解】

(1)因為尸(〃-er<X<u+a)=尸(61.8<X<66.2)=0.8>0.6827,

尸(〃一2b<XM〃+2cr)=尸(59.6<X468.4)=0.94<0.9545,

P(ti-3<T<X<M+3cr)=P(57.4<X<70.6)=0.98<0.9973,

所以設備〃的性能等級為丙.

(2)易知樣本中次品共6個，可估計設備〃生產零件的次品率為0.06.

①由題意可知Y?8(2,0.06),于是￡(Y)=2x0.06=0.12.

②Z的分布列為

Z012

C2c2

P二94J

C2C2

JooGooJoo

C2C23

故E(Z)=0x/+lxk+2xL*=0.12.

^100^100^100/‘

6.某校高三年級共有學生1200人，經統計，所有學生的出生月份情況如表:

月份123456789101112

人數180110120160130100805090705060

（1）從該年級隨機選取一名學生，求該學生恰好出生在上半年（1-6月份）的概率;

（2）為了解學生考試成績的真實度，也為了保護學生的個人隱私，現從全體高三學生中隨機抽取120人

進行問卷調查，對于每個參與調查的同學，先產生一個（0,1）范圍內的隨機數“，若aW0.4,則該同學回

答問題A,否則回答問題8,問題A：您是否出生在上半年（1-6月份）？，問題3：您是否在考試中有過

作弊行為？，假設在問卷調查過程中，問題只對參與者本人可見，且每個參與的同學均能如實回答問題且

相互獨立，若最后統計結果顯示回答“是”的人數為38,貝！|：

①求該年級學生有作弊情況的概率;

08/165

②若從該年級隨機選取10名同學，記其中有過作弊行為的人數為x,求x的數學期望E（x）和方差。（x）.

【答案】（1）（2）①,；②E（x）=,D（x）=!|.

【分析】

（1）利用古典概型的概率公式求解即可；

（2）①分別求出回答問題A和問題8的概率，設該年級學生有作弊情況的概率為P,求出回答問題A和問

題B的人數，列出關于尸的等式，求解即可；

②由題意，X服從二項分布，然后由數學期望和方差的計算公式求解即可.

【詳解】

（1）由題意可得，該年級隨機選取一名學生，求該學生恰好出生在上半年（1-6月份）的概率為

180+110+120+160+130+100_2

1200-3；

（2）①回答問題A的概率為牛=|,回答問題3的概率為第=g,上半年出生的概率為：，

設該年級學生有作弊情況的概率為P，

22

故回答問題A的人數為120x=X7=32人，

53

3

回答問題8的人數為120x《.尸=72尸人，

所以32+72尸=38,解得尸=’,

12

所以該年級學生有作弊情況的概率為上；

12

②由題意，X服從二項分布，即X?

所以E（X）=10x』=，以丫）=10'/11一"卷.

12Oizizy/z

7.有一種雙人游戲，游戲規則如下：雙方每次游戲均從裝有5個球的袋中（3個白球和2個黑球）輪流摸出

1球（摸后不放回），摸到第2個黑球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下

09/165

一次游戲.

(1)求先摸球者獲勝的概率；

(2)小李和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規定某一次游戲輸者在

下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X,求X的分布

列和數學期望￡(X).

41QR

【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數學期望：葭.

【分析】

(1)按游戲進行3輪或5輪進行分類討論，由此求得先摸球者獲勝的概率.

(2)按照相互獨立事件概率計算公式，計算出分布列并求得數學期望.

【詳解】

(1)先摸球者獲勝，則游戲進行3輪或5輪

31112311

3輪:白黑黑:英、3=6黑白黑：rrrw-

5輪：最后一球為黑球：所以先摸球者獲勝的概率為J+J+1=?

X-zcJJ.UXUJJ

(2)。的所有可能取值為:0?1?2?3,

P（X=0）=

555555555125

尸（X=2）=，2XL，，LM，2=殳,

555555555125

32212

P（X=3）=-x-x-=

555125

分布列為:

0123

10/165

8485712

P

125125125125

8148c57cl2198

￡(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=——

125125125125125

8.隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強，人民生活水平逐步提高，為了進一步改善民生，2019年1

月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，新政策的主要內容包括：①個稅起征點為5000元；②每月應

納稅所得額（含稅）=（收入）-（個稅起征點）-（專項附加扣除）；③專項附加扣除包括贍養老人?子女教育?繼

續教育?大病醫療等.新個稅政策下贍養老人的扣除標準為：獨生子女每月扣除2000元，非獨生子女與其

兄弟姐妹按照每月2000元的標準分攤扣除，但每個人的分攤額度不能超過1000元；子女教育的扣除標準

為：每個子女每月扣除1000元（可由父母中的一方扣除，或者父母雙方各扣除500元）稅率表如下：

級數全月應納稅所得額稅率

1不超過3000元的部分3%

2超過3000元至12000元的部分10%

3超過12000元至25000元的部分20%

4超過25000元至35000元的部分25%

???…???

頻率

小組距

0.16----------------

0.14■

0.12——1—

0.10----------------------

0.08■

0.06----------------------------

0.04---------------------------------

0.02--------------------------------------

0-I~~~~~~~~――

3579111315千元)

（I）稅務部門在小李所在公司用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成如圖的

頻率分布直方圖.

11/165

（i）請根據頻率分布直方圖估計該公司員工稅前收入的中位數；

（ii）同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表，在不考慮他們的專項附加扣除的情況下，甲？

乙兩位同學用如下兩種方法估計小李所在的公司員工該月平均納稅，請判斷哪位同學的方法是正確的，不

需說明理由.甲同學：0.24x0+0.32x30+0,2x90+0.12x290+0.08x490+0.04x690=129.2（元）；乙同學：

先計算收入的均值

x=0.24x4000+0.32x6000+0.2x8000+0.12x10000+0.08xl200+0.04x14000=7200（元），再利用均值計

算平均納稅為：（7200-5000）x0.03=66（元）

（2）為研究某城市月薪為20000元群體的納稅情況，現收集了該城市500名公司白領（每人至多1個孩子）

的相關資料，通過整理數據知道：這500人中有一個孩子符合子女教育專項附加扣除（假定由他們各自全

部扣除）的有400人，不符合子女教育專項附加扣除的人有100人，符合子女專項附加扣除的人中有300

人也符合贍養老人專項附加扣除，不符合子女專項附加扣除的人中有50人符合贍養老人專項附加扣除，

并且他們均不符合其他專項附加扣除（統計的500人中，任何兩人均不在一個家庭且為獨生子女）.若他們

的月收入均為20000元，依據樣本估計總體的思想，試估計在新個稅政策下這類人群每月應繳納個稅金額

X（單位：元）的分布列與期望.

【答案】（1）（i）中位數為6625千元；（ii）甲同學；（2）分布列答案見解析，數學期望：1150.

【分析】

（1）（i）中位數落在第二組，設中位數為x千元，列出0.12x2+0.16（x-5）=0.5,解方程即可；（ii）利

用均值計算的公式即可得出答案.

（2）由題意得出X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,再由題中數據求出各隨機變量的概率，列

出分布列，即可求出數學期望.

【詳解】

（1）（i）由頻率分布直方圖知，中位數落在第二組，不妨設中位數為x千元，

則有0.12x2+016（x-5）=0.5,解得x=6.625（千元）

估計該公司員工收入的中位數為6625千元.

（ii）甲同學

（2）符合子女教育專項附加扣除且符合贍養老人專項附加扣除的人群月應納稅所得額

（含稅）為20000-5000-1000-2000=12000（元），

月應繳納的個稅金額為90+900=990（元）；

12/165

符合子女教育專項附加扣除但不符合贍養老人專項附加扣除的人群月應納稅所得額（含稅）為

20000-5000-1000=14000（元）,

月應繳納的個稅金額為90+900+400=1390（元）；

不符合子女教育專項附加扣除但符合贍養老人專項附加扣除的人群月應納稅所得額（含稅）為

20000-5000-2000=13000（元）,

月應繳納的個稅金額為90+900+200=1190（元）；

不符合子女教育專項附加扣除且不符合贍養老人專項附加扣除的人群月應納稅所得額（含稅）為

20000-5000=15000（元）,

月應繳納的個稅金額為90+900+600=1590（元）.

所以X的所有可能取值為990,1190,1390,1590,

Illi

產(X=990)=w，P(X=1190)=—,P(^=1390)=-,=1590)=—.

X的分布列為

X990119013901590

31]_1

P

510510

31

所以E(X)=990x1+1190x^+1390x-+1590x—=1150.

510

9.某市的教育主管部門對所管轄的學校進行年終督導評估，為了解某學校師生對學校教學管理的滿意度

，分別從教師和不同年級的同學中隨機抽取若干師生，進行評分（滿分100分），繪制如下頻率分布直方圖

（分組區間為[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]）,并將分數從低到高分為四個等級:

滿意度評分[0,60)[60,80)[80,90)[90,100]

滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意

己知滿意度等級為基本滿意的有340人.

（1）求表中。的值及不滿意的人數；

13/165

(2)記A表示事件”滿意度評分不低于80分”，估計A的概率;

(3)若師生的滿意指數不低于0.8,則該校可獲評“教學管理先進單位”.根據你所學的統計知識判斷

滿意度的平均分)

該校是否能獲評“教學管理先進單位”？并說明理由.(注：滿意指數〃=

100

【答案】(1)a=0.036；60；(2)0.6；(3)可獲得，理由見解析.

【分析】

(1)根據頻率分布直方圖可得a=0.036,設不滿意的人數為x，再由比例可得

(0.002+0.004):(0.016+0.018)=x:340,即可得解；

(2)“滿意度評分不低于80分”的頻率為：(0.036+0.024)x10=0.6,即可得解;

(3)帶入師生的滿意指數為：7=0.804,即可得解.

【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可知：

a=-^-(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036,

設不滿意的人數為員

則(0.002+0.004):(0.016+0.018)=x:340,

解得x=60,

故不滿意的人數為60.

(2)“滿意度評分不低于80分”的頻率為:

14/165

（0.036+0.024）x10=0.6,

因此，事件A的概率估計值為0.6.

（3）師生的滿意指數為：

45x0.02+55x0.04+65x0.16+75x0.18+85x0.36+95x0.24八

77二-----------------------------------------------------二0.804,

100

因為〃20.8,

所以該校可獲得“教學管理先進單位”的稱號.

10.近幾年，快遞業的迅速發展導致行業內競爭日趨激烈.某快遞網點需了解一天中收發一件快遞的平均

成本y（單位：元）與當天攬收的快遞件數X（單位：千件）之間的關系，對該網點近5天的每日攬件量七（單

位：千件）與當日收發一件快遞的平均成本%（單位；元）（?=1,2,3,4,5）數據進行了初步處理，得到下

面的散點圖及一些統計量的值.

樣件平均

成本，阮

8?

6?

■

4?

2

o246810每日撥件數

里V千件

￡（嗎f）（%-y）￡（x,-x）2￡（叱-可2

XyW

Z=1Z=1Z=1

45.160.415-13.22.028300.507

表中叫而

X

i5/=1

（1）根據散點圖判斷，＞=。+為與＞=。+邑哪一個適宜作為y關于x的回歸方程類型？并根據判斷結果

X

及表中數據求出y關于x的回歸方程；

（2）各快遞業為提高快遞攬收量并實現總利潤的增長，除了提升服務質量?提高時效保障外，價格優惠也

是重要策略之一.已知該網點每天攬收快遞的件數x（單位：千件）與單件快遞的平均價格力（單位；元）之間

15/165

的關系是X=25-2（54V12）,收發一件快遞的利潤等于單件的平均價格減去平均成本，根據（1）中建

立的回歸方程解決以下問題：

①預測該網點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤；

②單件快遞的平均價格/為何值時，該網點一天內收發快遞所獲利潤的預報值最大?

附：對于一組數據（%,巧），（的，匕），…，（""#"），其回歸直線3=e+仇/的斜率和截距的最小二乘估計分

別為2=a=v-[3u.

d-4_

【答案】（1）》=。+巴適宜作為y關于x的回歸方程類型，回歸方程為＞=—+3.5；（2）①總利潤約為12000

xx

元；②平均價格方為8元.

【分析】

（1）點不在一條直線的近旁，但與雙曲線類似，可得回歸曲線類型.令卬=!，根據已知數據求得回歸方

X

程y=C+dw,即可得結論.

（2）①利用（1）的結論求出利潤函數，令x=2可得估計利潤值；②由二次函數性質可得.

【詳解】

解：（1）y=c+4適宜作為y關于X的回歸方程類型.

X

1。2.028

令A-=w,貝ljy="w+c,d=-----=44,

x0.507

C=〉-2?W=5.16-4X0.415=3.5,

八____八4

**-y=4w+3.5?即所求回歸方程為＞=1-3.5；

x

＜25-r4\1

（2）設收發x千件快遞獲利z千元，貝”=?-＞卜=1——-3.5x=2r-^r2-4,XG[1,15],

①當x=2時，z=12,故該網點某天攬收2000件快遞可獲得的總利潤約為12000元；

②z=-9『+々，.??當x=9即，=8時，z取最大值，故單件快遞的平均價格方為8元時，該網點一

16/165

天內收發快遞所獲利潤的預報值最大.

11.澳大利亞/rgy/e鉆石礦石全球最重要的粉鉆和紅鉆出產地，占全球供應的90%.該鉆石礦曾發現一顆

28.84c%的寶石級鉆石原石［ArgyleOctavia\,為該礦區27年來發現最大的鉆石原石之一.如圖，這

顆鉆石擁有完整的正八面體晶形，其命名特別強調鉆石的正八面體特征一一［0c力av/a］在

拉丁語中是［第八］的意思.如圖設4為隨機變量，從棱長為1的正八面體的12條棱中任取兩條，當兩條棱

相交時，4=0；當兩條棱平行時，4的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，4=2.

（1）求概率尸（&=0）；

（2）求J的分布列，并求其數學期望￡（/.

69

【答案】（1）-；（2）分布列見解析，￡（^）=-.

【分析】

（1）12條棱中任取兩條共有C1對，兩條棱相交有6C；對，由古典概型概率計算公式即可求解；

（2）由（1）有P（J=0）,又兩條棱平行有6對，可求出P（J=1）,從而可用間接法求出尸（J=2）,進而

可求分布列和數學期望.

【詳解】

解：（1）若兩條棱相交，則交點必為正八面體6個頂點中的1個,

又過任意頂點有4條棱，所以共有6C：對相交棱，

所以*4=。）=等=||6

C126611

（2）由題意，片的所有可能取值為0,1,2.

17/165

若兩條棱平行，則它們之間的距離為1,一共有6對,

1

n

1

二尸0=2）=1-P（J=O）-P（J=1）=1-g-1rA

n所以4n的分布n列為:n

□E0

12.某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過1kg的包裹收費10元；重量超過1kg的包裹，除1kg收

費10元之外，超過1kg的部分，每超出1kg（不足1kg,按1kg計算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件

包裹的重量統計如表：

包裹重量（單位：kg）12345

包裹件數43301584

公司對近60天，每天攬件數量統計如表:

包裹件數范

0?100101~200201~300301-400401?500

圍

包裹件數（近

50150250350450

似處理）

天數6630126

以上數據已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計算該公司未來1天攬件數在101?400之間的概率;

（2）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；

18/165

②公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用.目前前臺有工作

人員3人，每人每天攬件不會超過150件，且日工資為100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人,

試計算裁員前后公司每日利潤的數學期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？

4

【答案】（1）j；（2）①15元；②裁員前期望值為1000元，裁員后期望值為975元，不利.

【分析】

（1）由頻率估計概率即可；

（2）①利用平均數公式直接求解即可；②根據題意及（2）（i）,攬件數每增加1，可使前臺工資和公司

利潤增加15xg=5（元），然后分別求出裁員前后公司每日利潤的數學期望比較即可

【詳解】

484

（1）樣本包裹件數在101?400之間的天數為48,頻率/=二==，

4

顯然未來1天中，包裹件數在101?400之間的概率為）

（2）（i）樣本中快遞費用及包裹件數如下表：

包裹重量（單位：奴）12345

快遞費（單位：元）1015202530

包裹件數43301584

故樣本中每件快遞收取的費用的平均值為止13+15x30+20x15+25x8+30x4口，一、

-----------------------------二15（兀）,

100

故該公司對每件快遞收取的費用的平均值可估計為15元

（ii）根據題意及（2）（i）,攬件數每增加1,可使前臺工資和公司利潤增加15xg=5（元）,

將題目中的天數轉化為頻率，得

包裹件數范

0?100101-200201?300301~400401~500

圍

19/165

包裹件數近

50150250350450

似

天數6630126

頻率0.10.10.50.20.1

若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數情況如下:

包裹件數近

50150250350450

似

實際攬件數

50150250350450

Y

頻率0.10.10.50.20.1

EY50x0.1+150x0.1+250x0.5+350x0.2+450x0.1=260

故公司平均每日利潤的期望值為260x5-3x100=1000（元）；

若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數情況如下:

包裹件數近

50150250350450

似

實際攬件數

50150250300300

Z

頻率0.10.10.50.20.1

EZ50x0.1+150x0.1+250x0.5+300x0.2+300x0.1=235

故公司平均每日利潤的期望值為235x5-2x100=975（元）

因975<1000，故公司將前臺工作人員裁員1人對提高公司利潤不利.

13.由商務部和北京市人民政府共同舉辦的2020年中國國際服務貿易交易會（簡稱服貿會）于9月4日

開幕，主題為“全球服務，互惠共享”.某高校為了調查學生對服貿會的了解情況，決定隨機抽取100名

20/165

學生進行采訪.根據統計結果，采訪的學生中男女比例為3:2,已知抽取的男生中有10名不了解服貿會,

抽取的女生中有25名了解服貿會，請你解答下面所提出的相關問題

(1)完成2x2列聯表，并回答“是否有99%的把握認為學生對服貿會的了解情況與性別有關”.

了解情況

了解不了解合計

性別

男生

女生

合計100

(2)若從被采訪的學生中利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人在校內開展一次“介

紹服貿會”的專題活動，記抽取男生的人數為九求出J的分布列及數學期望.

n(ad-bcY

附：K=------------------------------,n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K...k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

9

【答案】(1)表格見解析，沒有；(2)分布列見解析，

【分析】

(1)根據已知，計算有關數據，填寫列聯表；代入公式計算求得A2的觀測值，看是否大于卜99%=0.01的

臨界值即可得到結論；

(2)先確定抽取的5人中男生有3人，女生有2人.然后利用超幾何分布求得分布列，并根據定義計算期

望.

【詳解】

(1)2x2列聯表如下：

了解情況了解不了解合計

21/165

性別

男生501060

女生25