新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題13 一網(wǎng)打盡外接球、內(nèi)切球與棱切球問題 （練習(xí)）（解析版）

專題13一網(wǎng)打盡外接球、內(nèi)切球與棱切球問題目錄01正方體、長方體外接球 202正四面體外接球 303對棱相等的三棱錐外接球 704直棱柱外接球 805直棱錐外接球 1006正棱錐與側(cè)棱相等模型 1607側(cè)棱為外接球直徑模型 2008共斜邊拼接模型 2209垂面模型 2510二面角模型 3111坐標(biāo)法 3612圓錐圓柱圓臺模型 4213錐體內(nèi)切球 4514棱切球 4901正方體、長方體外接球1．（2023·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）在長方體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在該長方體內(nèi)放置一個球，則最大球的體積為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由長方體的結(jié)構(gòu)特征知，長方體的內(nèi)置球直徑不超過最短棱長，于是得球直徑小于等于2，球半徑SKIPIF1<0的最大值為1，此時有SKIPIF1<0，所以最大球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<02．（2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體的表面積為96，則正方體外接球的表面積為【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)正方體的棱長為SKIPIF1<0，因為正方體的表面積為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則正方體的對角線長為SKIPIF1<0，設(shè)正方體的外接球的半徑為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2023·吉林·高三校聯(lián)考期末）已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為SKIPIF1<0，則球的表面積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】該球為正方體外接球，其半徑SKIPIF1<0與正方體棱長SKIPIF1<0之間的關(guān)系為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以球的表面積SKIPIF1<0.答案：SKIPIF1<002正四面體外接球4．（2023·山東·高三濟南一中校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四面體SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為直徑作球SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中垂面相交所得的圓上運動，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積的最小值為SKIPIF1<0時，該正四面體SKIPIF1<0外接球的體積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)正四面體SKIPIF1<0的棱長為a，設(shè)點D到平面SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0當(dāng)h最小時，SKIPIF1<0最小.因為球O的半徑為SKIPIF1<0，如圖所示，當(dāng)D在如圖所示的位置時h最小.取AC的中點F，連接PF、BF，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以h最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.設(shè)正四面體SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0,球心為SKIPIF1<0.如圖所示，正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，過P作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，利用勾股定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正四面體SKIPIF1<0的外接球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<05．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為球心的球上運動，SKIPIF1<0，且恒有SKIPIF1<0，已知三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為SKIPIF1<0，則正四面體SKIPIF1<0外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題知，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為球心的球上運動，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都在以SKIPIF1<0為球心的球上，又因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中垂面上，如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都為正三角形，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中垂面，即SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，所以點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0與以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球的交線上，即SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的平面SKIPIF1<0內(nèi)的圓上，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0至點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，作在平面SKIPIF1<0內(nèi)，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，則圓SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離最遠，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如圖則其外接正方體的邊長為SKIPIF1<0，所以正四面體SKIPIF1<0外接球即為邊長為SKIPIF1<0正方體的外接球，故外接球半徑SKIPIF1<0，所以外接球體積SKIPIF1<0.故選：A6．（2023·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）若正四面體的表面積為SKIPIF1<0，則其外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)正四面體的棱長為SKIPIF1<0，由題意可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以正四面體的棱長為SKIPIF1<0，將正四面體補成一個正方體，則正方體的棱長為SKIPIF1<0，正方體的體對角線長為SKIPIF1<0，因為正四面體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，所以外接球半徑SKIPIF1<0，則外接球的體積為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.7．（2023·河南·西平縣高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，四面體SKIPIF1<0是正四面體，棱長SKIPIF1<0，將其補形成正方體SKIPIF1<0，則正方體SKIPIF1<0的棱長SKIPIF1<0，此正方體的體對角線長為SKIPIF1<0，正四面體SKIPIF1<0與正方體SKIPIF1<0有相同的外接球，則正四面體SKIPIF1<0的外接球半徑SKIPIF1<0，所以正四面體SKIPIF1<0的外接球體積為SKIPIF1<0．故選：A03對棱相等的三棱錐外接球8．（2023?羅湖區(qū)月考）已知在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為．【解析】解：如下圖所示，將四面體SKIPIF1<0放在長方體SKIPIF1<0內(nèi)，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為2、2、1，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為SKIPIF1<0，所以，該四面體的外接球直徑為SKIPIF1<0，因此，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．9．（2023?孟津縣校級期末）若四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體的外接球的表面積為SKIPIF1<0．【解析】解：由題意可采用割補法，考慮到四面體SKIPIF1<0的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三邊的三角形作為底面，且以分別SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長方體，并且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0為球的半徑），所以球的表面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．10．（2023?三模擬）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的表面積為．【解析】解：如下圖所示，將四面體SKIPIF1<0放在長方體SKIPIF1<0內(nèi)，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，上述三個等式全加得SKIPIF1<0，所以，該四面體的外接球直徑為SKIPIF1<0，因此，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．04直棱柱外接球11．（2023·陜西西安·高三高新一中校考階段練習(xí)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則三棱柱SKIPIF1<0外接球體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，將其補形成棱長為2的正方體SKIPIF1<0，如圖，則直三棱柱SKIPIF1<0的外接球即為棱長為2的正方體SKIPIF1<0的外接球，球半徑SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，所以三棱柱SKIPIF1<0外接球體積等于SKIPIF1<0.故選：A12．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知球O為正三棱柱SKIPIF1<0的外接球，正三棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為1，高為3，則球O的表面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)三棱柱SKIPIF1<0的高為h，底邊邊長為a．設(shè)球O的半徑為R，則三棱柱底面三角形的外接圓半徑SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0由題知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故球O的表面積為SKIPIF1<0，故選：B.05直棱錐外接球13．（2023·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在體積為SKIPIF1<0的三棱錐P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝BD，PD⊥底面ABC，則三棱錐P﹣ABC外接球體積的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示，由題意SKIPIF1<0是直角三角形，AB的中點為D，連結(jié)PD，很明顯球心在PD上，設(shè)球心為O，PD＝h，AC＝x，SKIPIF1<0，OC＝R，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，即R的最小值是在SKIPIF1<0時取得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗正確，即滿足題意時三棱錐的高為2，SKIPIF1<0，故外接球體積的最小值為：SKIPIF1<0，故選：A.14．（2023·廣東廣州·高三廣州市第十七中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，則已知三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積SKIPIF1<0，故選：B．15．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的外心是SKIPIF1<0，外接圓半徑是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)外接球球心是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角梯形，設(shè)SKIPIF1<0，外接球半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故選：D.16．（2023·河南開封·高三河南省杞縣高中校聯(lián)考開學(xué)考試）在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)四棱錐SKIPIF1<0的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，四棱錐SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0兩兩垂直，四棱錐可補形為長方體，所以SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為SKIPIF1<0.故選：B.17．（2023·浙江麗水·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0（包括邊界）上運動，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積的最大值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為直角三角形，所以SKIPIF1<0外接圓的圓心即為SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0外接圓的圓心即為SKIPIF1<0.所以，當(dāng)SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0頂點時（不妨假設(shè)點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合），三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心恰好與三棱柱SKIPIF1<0的外接球的球心重合，即三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑等于三棱柱SKIPIF1<0的外接球的半徑，此時體積有最大值.因為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0外接圓的圓心，所以，線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0即為三棱柱SKIPIF1<0的外接球的球心，所以，三棱柱SKIPIF1<0的外接球的半徑即等于SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，三棱錐SKIPIF1<0的外接球體積的最大值為SKIPIF1<0.故選：C.18．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．過點SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，SKIPIF1<0為該球的直徑.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，SKIPIF1<0為該球的直徑.設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.06正棱錐與側(cè)棱相等模型19．（2023·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知正三棱錐SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面所成的角為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】設(shè)頂點P在底面SKIPIF1<0的投影為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為等邊SKIPIF1<0的中心），則該三棱錐外接球的球心O在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則側(cè)棱與底面所成的角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)棱錐外接球的半徑為R，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.20．（2023·廣東佛山·高三佛山市南海區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該三棱錐的外接球體積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】在正三棱錐SKIPIF1<0中SKIPIF1<0為等邊三角形，頂點SKIPIF1<0在底面的射影為底面的重心，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，該三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得三棱錐的外接球半徑SKIPIF1<0，所以三棱錐的外接球體積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<021．（2023·上海閔行·高三上海市文來中學(xué)校考期中）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上，球的體積為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的體積最大值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因為球的體積為SKIPIF1<0，所以球的半徑為SKIPIF1<0，如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，外接球的球心為SKIPIF1<0，根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．22．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為3的正三角形，它的側(cè)棱的所有三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，正四棱錐的側(cè)棱的所有三等分點構(gòu)成一個正四棱臺，棱臺上底面是邊長為1的正方形，棱臺下底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1，可求得棱臺的高為SKIPIF1<0，設(shè)該棱臺的外接球的半徑為SKIPIF1<0，球心到下底面的距離SKIPIF1<0，球心到上底面的距離SKIPIF1<0，①球心在兩個底面之間時，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則上式無解；②球心在下底面下方時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊同時平方：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，表面積SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.07側(cè)棱為外接球直徑模型23．（2023?保山期末）已知三棱錐SKIPIF1<0的頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0是邊長為6的正三角形，SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的直徑，且此三棱錐的體積為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0是邊長為6的正三角形，SKIPIF1<0外接圓的半徑SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則三棱錐外接球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，可得球的表面積SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．24．（2023?大連模擬）球SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是該球球面上的兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是該球球面上的兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由題意知，在棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0棱錐SKIPIF1<0的體積為兩個棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的體積和，SKIPIF1<0棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．25．（2023?迎澤區(qū)校級月考）已知球SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是該球面上的兩點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解：設(shè)球心為SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為球的直徑，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是球面上的點，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角△，SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，根據(jù)球的性質(zhì)，可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．08共斜邊拼接模型26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形?若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解：取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以三棱錐的外接球的直徑SKIPIF1<0，所以三棱錐的外接球的表面積為SKIPIF1<0．故選：C．27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為AC⊥CD，AB⊥DB∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0為棱錐D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴SKIPIF1<0，∴三棱錐D-ABC外接球的表面積為SKIPIF1<0．故選：B．28．（多選題）（2023·山東·泰安一中高一期中）三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0C．點A到平面SBC的距離為SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0【答案】AD【解析】對于A，因為平面SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SAB，所以SKIPIF1<0平面ABC，又因為SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，故A正確；對于B，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SAB，因為SKIPIF1<0平面SAB，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的直徑為SC．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C，因為SKIPIF1<0平面SAB，SKIPIF1<0平面SBC，所以平面SKIPIF1<0平面SBC，過點A作SKIPIF1<0，交SB于點G，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得SKIPIF1<0平面SBC，故點A到平面SBC的距離為AG，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C錯誤；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以∠SBA為二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故D正確；故選：AD．09垂面模型29．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面ABC，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，設(shè)外接球的半徑為R，取AB的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面ABC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABC，則球心O在直線SKIPIF1<0上．連接OA，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以球心在線段SKIPIF1<0上．在SKIPIF1<0中，由勾股定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0.故選：B．30．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）如圖，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折起，使得點SKIPIF1<0翻折到點SKIPIF1<0，若面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.由題意得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，設(shè)外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接球表面積SKIPIF1<0，故選：B.31．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中校考一模）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示四棱錐SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點E，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIP