2025北京八一學校高三（下）開學考數學（教師版）

第1頁/共1頁2025北京八一學校高三（下）開學考數學2025.02第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.若集合，或，則（）A. B. C. D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.雙曲線的左焦點的坐標為（）A.(-2,0) B. C. D.4.已知等差數列滿足，公差，且成等比數列，則A.1 B.2 C.3 D.45.已知圓，直線過，若被圓所截得的弦長最小值為2，則（）A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點為，點在上．若是坐標原點，，則（）A. B. C. D.7.充電電池是電動汽車的核心部件之一，如何提高充電速度是電池制造商重點關注的研究方向已知電池充入的電量E（單位：）與充電時間t（單位：）滿足函數，其中M表示電池的容量，k表示電池的充電效率，研究人員對A，B兩個型號的電池進行充電測試，電池A的容量為，充電充入了的電量；電池B的容量為，充電充入了的電量.設電池A的充電效率為，電池B的充電效率為，則（）A. B. C. D.大小關系無法確定8.在中，，且，則取最小值時的值為（）A. B. C. D.9.羽毛球運動是一項全民喜愛的體育運動，標準的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為7cm，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側面，測得頂端所圍成圓的直徑是6cm，底部所圍成圓的直徑是2cm，據此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為（）A. B. C. D.10.設無窮等差數列的公差為，集合.則（）A.不可能有無數個元素B.當且僅當時，只有1個元素C.當只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為D.當時，最多有個元素，且這個元素的和為0第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.復數（i是虛數單位）的虛部是____________．12.展開式中的常數項為__________．13.在ABC中，，且，則_______.14.已知函數，對任意，都有成立，則a的取值范圍是____________．15.正方體的棱長為1，動點M在線段CC1上，動點P在平面上，且平面.（Ⅰ）當點M與點C重合時，線段AP的長度為_______；（Ⅱ）線段AP長度的最小值為_______.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，設的面積為，已知，再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求與的值.條件①：；條件②：；條件③：.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，在棱上取點，使得平面.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求直線到平面的距離.18.某學校組織了垃圾分類知識競賽活動．設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱．每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對應的箱子中．按規則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分．比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照，，，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內的人數；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數，求的分布列和數學期望；（3）如果某選手將抽到的20張卡片逐一隨機放入四個箱子，能否認為該選手不會得到100分？請說明理由．19.已知函數（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）當時，設，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.20.已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，且，橢圓C離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點，且斜率不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點，直線AM，BN交于點Q，求證：點Q在直線上．21.設數列：，已知，定義數表，其中.（1）若，寫出；（2）若A，B是不同的數列，求證：數表滿足“”的充分必要條件為“”；（3）若數列A與B中的1共有n個，求證：數表中1的個數不大于．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】D【分析】先求得，然后求得正確答案.【詳解】，故選：D2.【答案】A【分析】由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.3.【答案】A【分析】根據雙曲線方程，可求得c的值，即可得答案.【詳解】由題意可知焦點在x軸上，，即，所以左焦點坐標為(-2,0)，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質，屬基礎題.4.【答案】D【分析】先用公差表示出，結合等比數列求出.【詳解】,因為成等比數列，所以，解得.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關系是求解的關鍵.5.【答案】B【分析】首先分析題意，利用圓基本定義與直線關系，又可知，M必在圓O的內部，故可知O到直線l的最大距離.【詳解】易知，直線l與y軸交點的坐標為，圓C的圓心坐標為,半徑為2.記由題意可知點M必在圓O的內部，且直線l被圓C所截得的弦長的最小值為2時，O到直線l的最大距離為，則.故選：B6.【答案】A【分析】結合拋物線第一定義求出坐標，再由向量數量積公式即可求解.【詳解】由可知，點，由得，故，所以.故選：A7.【答案】B【分析】列出方程后比較大小【詳解】由題意得，則，同理，則，得，由指數函數單調性得，即．故選：B8.【答案】B【分析】對平方，利用平面向量的數量積公式和已知條件，可知，根據二次函數的性質，即可求出結果.【詳解】因為所以當時，取最小值.故選：B.9.【答案】C【分析】將圓臺補成圓錐，由相似求出小圓錐的母線長，結合圓心角公式求解即可.【詳解】將圓臺補成圓錐，則羽毛所在曲面的面積為大、小圓錐的側面積之差，設小圓錐母線長為x，則大圓錐母線長為x＋7，由相似得，即x＝，所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為.故選：C.10.【答案】D【分析】對于，選項，可取特殊數列驗證即可；對于可假設成立，結合圖象推出與已知矛盾；對于，結合正弦函數的周期，即可判斷.【詳解】選項，取，則，由，因為是無窮等差數列，正弦函數是周期為的函數，所以在每個周期上的值不相同，故錯誤；選項，取，即，則，只有一個元素，故錯誤；選項，假設只有2個元素，，這2個元素的乘積為，如圖可知當等于或時，顯然不是等差數列，與已知矛盾，故錯誤；選項，當時,，，，，，，，所以最多有個元素，又因為正弦函數的周期為，數列的公差為，所以把周期平均分成份，所以個元素的和為0，故正確.故選:.【點睛】方法點睛：本題考查等差數列與正弦函數性質相結合，采用特例法，數形結合的方法判斷.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】利用復數模及除法運算計算，進而求出其虛部.【詳解】，所以所求虛部是.故答案為：12.【答案】【詳解】，令，得，∴常數項為．13.【答案】【分析】先利用正弦定理化邊為角，結合倍角公式求出，從而求出.【詳解】因為，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故為銳角，所以.【點睛】本題主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用邊角關系進行轉化，三角恒等變換也會經常使用.14.【答案】【分析】理解這個條件，它表明函數是增函數.對于分段函數是增函數，需要每一段函數都遞增，并且在分段點處也要滿足遞增的條件.然后分別分析每一段函數的單調性以及分段點處的函數值關系，從而確定的取值范圍.【詳解】對于對數函數，當時，函數在上單調遞增.因為這里，要使在上遞增，所以.

對于一次函數，其斜率為，當時，函數在上單調遞增.所以要使在上遞增，.

在這個分段點處，需要滿足在處的值不大于在處的值.當時，；.所以，即.綜合前面的條件，需要同時滿足，，.取交集可得，的取值范圍是.故答案為：.15.【答案】①.②.【分析】（Ⅰ）當點M與點C重合時，可以得到點與點重合，從而可得的長度；（Ⅱ）利用線面垂直得到等量關系，結合二次函數求解最值.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設則,.因為平面，所以,.（Ⅰ）當點M與點C重合時,,,此時的長度為；（Ⅱ）.【點睛】本題主要考查空間中的垂直關系及動線段的長度問題.動點引發的長度變化，要尋求其中不變的關系式，綜合運用其他知識求解.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】條件選擇見解析；，．【分析】(一)選擇條件①，條件②，由已知和三角形的面積公式可求得，再由同角三角函數間的關系求得，再由余弦定理求得，由正弦定理求得.(二)選擇條件①，條件③.同角三角函數間的關系求得.再由正弦定理可得.由余弦定理可得.(負值舍去)；(三)選擇條件②，條件③.同角三角函數間的關系求得.由三角形的面積公式可求得，由余弦定理可得，再由正弦定理可得.【詳解】解：(一)選擇條件①：；條件②：.因為，，，所以，即.所以.因為是銳角三角形，所以.由余弦定理可得.所以.(負值舍去)，由正弦定理可得.所以.所以，.(二)選擇條件①：；條件③：.因為，所以.由正弦定理可得.所以.由余弦定理可得.所以.(負值舍去)，所以，.(三)選擇條件②：；條件③：.因為，所以.因為，，所以，即.所以.由余弦定理可得.所以.(負值舍去)，由正弦定理可得.所以.所以，.【點睛】方法點睛：（1）在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件；（2）如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件；（3）如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉化為角的關系式或邊的關系式.（4）與三角形有關的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉化為關于角的三角函數式，再利用三角變換和正弦函數、余弦函數的性質求最值或范圍.17.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據面面垂直的性質定理證得結論成立.（2）判斷出點的位置，建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.（3）利用向量法求得直線到平面的距離.【小問1詳解】由于平面平面，且交線為，平面，，所以平面.【小問2詳解】設，連接，由于平面，平面，平面平面，所以，由于是的中點，所以是的中點.由于平面，所以，故兩兩垂直，以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，，設平面的法向量為，所以，故可設，平面的法向量為，平面與平面夾角為，則.【小問3詳解】由于平面，則到平面的距離，即到平面的距離.,到平面的距離為.即直線到平面的距離為.18.【答案】（1）抽取的人中得分落在組的人數有人，得分落在組的人數有人；（2）分布列見解析，1.2；（3）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）根據頻率分布直方圖即可得到滿足題意的人數；（2）的所有可能取值為，，，求出相應的概率值，即可得到的分布列和數學期望；（3）該選手獲得100分的概率是，結合此數據作出合理的解釋.【詳解】（1）由題意知，所抽取的人中得分落在組的人數有（人），得分落在組的人數有（人）．所以所抽取的人中得分落在組的人數有人，得分落在組的人數有人．（2）的所有可能取值為，，．，，．所以的分布列為所以的期望．（3）答案不唯一．答案示例1：可以認為該選手不會得到100分．理由如下：該選手獲得100分的概率是，概率非常小，故可以認為該選手不會得到100分．答案示例2：不能認為該同學不可能得到100分．理由如下：該選手獲得100分的概率是，雖然概率非常小，但是也可能發生，故不能認為該選手不會得到100分．【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，離散型隨機變量的分布列與期望，概率的理解，考查分析問題解決問題的能力.19.【答案】（Ⅰ）極小值；（Ⅱ）證明見解析.【詳解】分析：（Ⅰ）對a分類討論，利用導數求函數的極值.（Ⅱ）先把問題轉化為曲線在點，處的切線不重合，再利用反證法證明.詳解：（Ⅰ），令，得．①當時，與符號相同，當變化時，，的變化情況如下表：↘極小↗②當時，與符號相反，當變化時，，的變化情況如下表：↘極小↗綜上，在處取得極小值.（Ⅱ），故．注意到，，，所以，，，使得．因此，曲線在點，處的切線斜率均為.下面，只需證明曲線在點，處的切線不重合.曲線在點（）處的切線方程為，即．假設曲線在點（）處的切線重合，則．令，則，且.由（Ⅰ）知，當時，，故．所以，在區間上單調遞減，于是有矛盾.因此，曲線在點()處的切線不重合．點睛：本題的難點在第2問的解題思路，難點一是問題轉化為只需證明曲線在點，處的切線不重合.難點二是，直接證明不重合不好證明，所以本題選擇了反證法證明.對于含有否定概念的命題，一般利用補集法或反證法解答證明.20.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據離心率及長軸長列方程組求解即可；（2）先直接計算直線l的斜率不存在時的情況，然后直線l的斜率存在時，設，與橢圓聯立，寫出韋達定理，寫出直線AM和BN的方程，求出時的值，作差，整理后代入韋達定理計算即可.【小問1詳解】因為，橢圓C離心率為，所以，解得，．所以橢圓C的方程是；【小問2詳解】①若直線l的斜率不存在時，因為橢圓C的右焦點為，所以直線l的方程是，所以點M的坐標是，點N的坐標是，所以直線AM的方