廣東省汕頭市潮師高級中學2025年數學高二下期末考試試題含解析

廣東省汕頭市潮師高級中學2025年數學高二下期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點和左橢圓的焦點，確定叫做“果圓”的焦點三角形，若“果圓”的焦點為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．3．已知，函數，若對任意給定的，總存在，使得，則的最小值為（）A． B． C．5 D．64．函數的周期，振幅，初相分別是（）A． B． C． D．5．已知命題若實數滿足，則或，，，則下列命題正確的是()A． B． C． D．6．已知復數滿足,則復數在復平面內對應點所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．8．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”．經過調查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙9．若復數，其中i為虛數單位，則=A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i10．閱讀如圖所示的程序，若執行循環體的次數為5，則程序中的取值范圍為（）A． B． C． D．11．甲、乙兩支球隊進行比賽，預定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.結束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果相互獨立.則甲隊以3：2獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．12．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，若曲線與交于、兩點，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為0.6，那么針尖向下的概率為0.1．若連續擲一枚圖釘3次，則至少出現2次針尖向上的概率為_____________．14．已知函數是上奇函數，且當時，則__________．15．高二（1）班有男生18人，女生12人，現用分層抽樣的方法從該班的全體同學中抽取一個容量為5的樣本，則抽取的男生人數為____.16．已知直線經過點，且點到的距離等于，則直線的方程為____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點P的直角坐標為，點M的極坐標為，若直線l過點P，且傾斜角為，圓C以M為圓心，1為半徑.（1）求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程.（2）設直線l與圓C相交于AB兩點，求.18．（12分）統計學中，經常用環比、同比來進行數據比較，環比是指本期統計數據與上期比較，如年月與年月相比，同比是指本期數據與歷史同時期比較，如年月與年月相比.環比增長率（本期數上期數）上期數，同比增長率（本期數同期數）同期數.下表是某地區近個月來的消費者信心指數的統計數據：序號時間年月年月年月年月年月年月年月年月消費者信心指數2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求該地區年月消費者信心指數的同比增長率（百分比形式下保留整數）；除年月以外，該地區消費者信心指數月環比增長率為負數的有幾個月？由以上數據可判斷，序號與該地區消費者信心指數具有線性相關關系，寫出關于的線性回歸方程（，保留位小數），并依此預測該地區年月的消費者信心指數（結果保留位小數，參考數據與公式：，，，，）19．（12分）“初中數學靠練，高中數學靠悟”.總結反思自己已經成為數學學習中不可或缺的一部分，為了了解總結反思對學生數學成績的影響，某校隨機抽取200名學生，抽到不善于總結反思的學生概率是0.6.（1）完成列聯表（應適當寫出計算過程）；（2）試運用獨立性檢驗的思想方法分析是否有的把握認為學生的學習成績與善于總結反思有關.統計數據如下表所示：不善于總結反思善于總結反思合計學習成績優秀40學習成績一般20合計200參考公式：其中20．（12分）為了紀念國慶70周年,學校決定舉辦班級黑板報主題設計大賽,高二某班的同學將班級長米、寬米的黑板做如圖所示的區域劃分:取中點,連接,以為對稱軸,過兩點作一拋物線弧,在拋物線弧上取一點,作垂足為,作交于點.在四邊形內設計主題,其余區域用于文字排版,設的長度為米.(1)求長度的表達式,并寫出定義域；(2)設四邊形面積為,求當為何值時,取最大值,最大為多少平方米?21．（12分）求下列函數的導數：（1）；（2）.22．（10分）設函數．（1）當時，解不等式；（2）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據“果圓”關于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關于，，之間的關系式，求出結果.【詳解】解：連接，，根據“果圓”關于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.本題考查橢圓的標準方程與簡單幾何性質，屬于中檔題.2、C【解析】

運用定積分運算公式，進行求解計算.【詳解】，故本題選C.本題考查了定積分的運算，屬于基礎題.3、D【解析】分析：先化簡函數的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再討論a=0的情況得到w的范圍，再綜合即得w的最小值.詳解：當a≠0時，，由f(x)=0得，因為所以，根據三角函數的圖像得只要coswx=1滿足條件即可，這時，所以當a=0時，，令f(x)=0，所以coswx=0，須滿足綜合得故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查三角恒等變換，考查函數的零點和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數形結合思想方法.(2)解答本題的難點在討論a≠0時，分析推理出.4、C【解析】

利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【詳解】依題意，，函數的振幅為，在中令求得初相為.故選C.本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數周期的計算.屬于基礎題.其中表示的是振幅，是用來求周期的，即，要注意分母是含有絕對值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數.5、C【解析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項.6、A【解析】

把已知變形等式，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】由，得，∴復數z在復平面內對應的點的坐標為，在第一象限．故選：A．本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.7、D【解析】令,則，設，令，，則，發現函數在上都是單調遞增，在上都是單調遞減，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉化與化歸的數學思想，先將函數解析式中的參數分離出來，得到，然后構造函數，分別研究函數，的單調性，從而確定函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。8、A【解析】

由題意，這個問題的關鍵是四人中有兩人說真話，另外兩人說了假話，通過這一突破口，進行分析，推理即可得到結論.【詳解】在甲、乙、丙、丁四人的供詞中，可以得出乙、丁兩人的觀點是一致的，因此乙丁兩人的供詞應該是同真同假（即都是真話或都是假話，不會出現一真一假的情況）；假設乙、丁兩人所得都是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話可推出丙是犯罪的結論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的結論；顯然這兩人是相互矛盾的；所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙的供詞可以斷定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁說假話，丙說真話推出乙是犯罪的，綜上可得乙是犯罪的，故選A.本題主要考查了推理問題的實際應用，其中解答中結合題意，進行分析，找出解決問題的突破口，然后進行推理是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力.9、B【解析】試題分析：，選B.【考點】復數的運算，復數的概念【名師點睛】本題主要考查復數的運算及復數的概念，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，復數題目往往不難，一般考查復數運算與概念或復數的幾何意義，也是考生必定得分的題目之一.10、C【解析】輸入執行循環體，不滿足繼續執行循環體，不滿足繼續執行循環體，不滿足繼續執行循環體，不滿足繼續執行循環體，由題可知滿足，輸出故故選C11、B【解析】若是3:2獲勝，那么第五局甲勝，前四局2:2，所以概率為，故選B.12、B【解析】

由題意可知曲線與交于原點和另外一點，設點為原點，點的極坐標為，聯立兩曲線的極坐標方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【詳解】易知，曲線與均過原點，設點為原點，點的極坐標為，聯立曲線與的坐標方程，解得，因此，，故選：B.本題考查兩圓的相交弦長的計算，常規方法就是計算出兩圓的相交弦方程，計算出弦心距，利用勾股定理進行計算，也可以聯立極坐標方程，計算出兩極徑的值，利用兩極徑的差來計算，考查方程思想的應用，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

至少出現2次針尖向上包括：出現2次針尖向上和出現3次針尖向上，分別求出它們的概率，根據互斥事件概率加法公式，可得答案．【詳解】∵投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為0.6，針尖向下的概率為0.1．∴連續擲一枚圖釘3次，出現2次針尖向上的概率為：0.132，出現3次針尖向上的概率為：0.216，故至少出現2次針尖向上的概率，故答案為：．本題考查的知識點是互斥事件概率加法公式，先求出出現2次針尖向上和出現3次針尖向上的概率，是解答的關鍵．14、【解析】分析：先求，再根據奇函數得.詳解：因為，因為函數是上奇函數，所以點睛：已知函數的奇偶性求函數值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數在各個區間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關于的方程，從而可得的值或解析式.15、3【解析】

根據分層抽樣的比例求得.【詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數為5×18故得解.本題考查分層抽樣，屬于基礎題.16、或【解析】

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，不成立；當直線的斜率存在時，直線的方程為，由點到的距離等于，解得或，由此能求出直線的方程。【詳解】直線經過點，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，點到的距離等于，不成立；當直線的斜率存在時，直線的方程為，即，點到的距離等于，，解得或，直線的方程為或，即或故答案為：或本題考查點斜式求直線方程以及點到直線的距離公式，在求解時注意討論斜率存在不存在，屬于常規題型。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的參數方程為（t為參數），圓的極坐標方程為；（2）.【解析】

（1）首先根據直線的點和傾斜角即可求出直線的參數方程，再根據圓的圓心坐標及半徑可求出圓的直角坐標方程，再轉化為極坐標方程即可.（2）將直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，再利用直線參數方程的幾何意義即可求出的值.【詳解】（1）直線的參數方程為（為參數），∵M的直角坐標為，圓的直角坐標方程為，即，∴圓的極坐標方程為；（2）將直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，得，化簡得：，，.本題第一問考查了直線的參數方程和圓的極坐標方程，第二問考查了直線的參數方程的幾何意義，屬于中檔題.18、；個；；.【解析】

根據所給數據求出同比增長率即可；由本期數上期數，結合圖表找出結果即可；根據所給數據求出相關系數，求出回歸方程，代入的值，求出的預報值即可.【詳解】解：該地區年月份消費者信心指數的同比增長率為；由已知環比增長率為負數，即本期數上期數，從表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共個月的環比增長率為負數.由已知計算得：，，線性回歸方程為.當時，，即預測該地區年月份消費者信心指數約為.本題考查回歸方程問題，考查轉化思想，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）有，分析見解析【解析】

(1)根據已知抽取的學生人數為200名,抽到不善于總結反思的學生概率是0.6,即可求出抽到不善于總結反思的學生人數為,進而可求得其他數據,完善列聯表即可.(2)由(1)可得列聯表,根據公式計算出后可得結論.【詳解】(1)由抽取的學生人數為200名,抽到不善于總結反思的學生概率是0.6,抽到不善于總結反思的學生人數為,進而可求其他數據,完善表格如下.列聯表：不善于總結反思善于總結反思合計學習成績優秀4060100學習成績一般8020100合計12080200所以有的把握認為學生的學習成績與善于總結反思有關.本題主要考查了2×2列聯表,考查獨立性檢驗,考查了學生的計算能力,難度較易.20、(1)(2)當時，四邊形面積取得最大值為【解析】

（1）建立平面直角坐標系求出對應點的坐標，利用待定系數法求出拋物線方程，進行求解即可；（2）構造函數，求出函數的導數，利用函數最值極值和導數之間的關系求最值即可.【詳解】⑴以為坐標原點，以所