2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí) 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，能利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有關(guān)的綜合問題.【考情概述】?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用是新高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，常以選擇題或填空題的形式進(jìn)行考查，有時(shí)與其他知識(shí)交匯考查，難度中等，屬于高頻考點(diǎn).

知識(shí)梳理1.與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的較復(fù)雜函數(shù)的研究，往往與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)相聯(lián)系，解題時(shí)當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，一般要分類討論.2.換元法經(jīng)常用于研究指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、解析幾何的計(jì)算等.回歸課本1.判斷：

（2）若函數(shù)y＝lg（x2＋ax＋1）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－2，2）.

（

?

）（3）

（RA一P161復(fù)習(xí)參考題4第11題改編）函數(shù)f（x）＝loga（x＋1）＋loga（x－1）是偶函數(shù).

（

?

）（4）

（RA一P135探究與發(fā)現(xiàn)改編）函數(shù)y＝log2x與y＝2－x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.

（

?

）????

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜a＜bD.

c＜b＜a3.已知函數(shù)y＝log2（ax－1）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

C

）A.

（0，1]B.

[1，2]C.

[1，＋∞）D.

[2，＋∞）DC

A.

f（x）＝x2C.

f（x）＝2xD.

f（x）＝lnxBD

－1

（－1，0）

6.

（RA一P140習(xí)題4.4第7題）判斷下面各對(duì)函數(shù)是否互為反函數(shù).若是，則求出它們的定義域和值域：（1）

y＝lnx，y＝ex；解：（1）

y＝lnx與y＝ex互為反函數(shù)，y＝lnx的定義域和值域分別為（0，＋∞），R；y＝ex的定義域和值域分別為R，（0，＋∞）.

A.

a＜b＜cB.

b＜c＜aC.

c＜b＜aD.

b＜a＜cD

（2）設(shè)3a＝8，b＝log0.50.2，c＝log424，則a，b，c的大小關(guān)系為（

B

）A.

a＜b＜cB.

a＜c＜bC.

b＜a＜cD.

b＜c＜aB解：由題意，得a＝log38＜log39＝2，b＝log0.50.2＝log25＝log425＞log424＝c＞log416＝2，則a＜c＜b.總結(jié)提煉

指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、冪值比較大小的思路（1）思路一：對(duì)于同底數(shù)的指數(shù)式、對(duì)數(shù)式或冪值，直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.（2）思路二：對(duì)于不同底數(shù)的指數(shù)式、對(duì)數(shù)式或冪值，①可化為同底數(shù)的指數(shù)式、對(duì)數(shù)式或冪值，再根據(jù)單調(diào)性比較大小；②找中間量（通常找0和1）進(jìn)行比較；③用作差法、作商法比較大小.

A.

b＞c＞aB.

b＞a＞cC.

c＞b＞aD.

c＞a＞bA考向2

構(gòu)造函數(shù)比較大小例2

（1）

（一題多解）已知a，b，c∈（0，＋∞），且lna＝a－1，blnb＝1，cec＝1，則a，b，c的大小關(guān)系是（

C

）A.

c＜b＜aB.

a＜b＜cC.

c＜a＜bD.

b＜a＜cC（2）

（多選）若正實(shí)數(shù)x，y滿足lny－lnx＞y－x＞sin

y－sin

x，則下列關(guān)系式可能成立的是（

AD

）A.

0＜x＜1＜yB.

y＞x＞1C.

0＜y＜x＜1D.

0＜x＜y＜1AD總結(jié)提煉

指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小（1）對(duì)于結(jié)構(gòu)相同的，利用相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；（2）結(jié)構(gòu)不同，但通過變形能轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)的，可以利用圖象求解，或轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的函數(shù)的不同函數(shù)值，再構(gòu)造函數(shù)求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2.

（2023·黃石模考）已知a＝e－2，b＝1－ln2，c＝ee－e2，則下列大小關(guān)系正確的是（

D

）A.

c＞b＞aB.

a＞b＞cC.

a＞c＞bD.

c＞a＞bD

（2）已知函數(shù)f（x）＝2｜2x－m｜（m為常數(shù)）.若f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（－∞，4]

.（－∞，4]

[－1，＋∞）

【拓展探究】將例3（2）中的條件改為“若函數(shù)f（x）＝2｜x－a｜（a∈R）滿足f（1＋x）＝f（1－x），且f（x）在區(qū)間[m，＋∞）上單調(diào)遞增”，則實(shí)數(shù)m的最小值為

1

.1

總結(jié)提煉

求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的問題時(shí)，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，常應(yīng)用換元法簡(jiǎn)化問題.當(dāng)涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題轉(zhuǎn)化為與內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題并加以解決.考點(diǎn)三

與對(duì)數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)綜合問題

（1）求函數(shù)f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；

（2）用定義證明函數(shù)f（x）在D上是增函數(shù)；

（3）

當(dāng)x∈（t，a）時(shí)，若函數(shù)f（x）的值域是（－∞，1），求t與a的值.總結(jié)提煉

求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域和單調(diào)性問題時(shí)，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】3.已知函數(shù)f（x）＝loga（3－ax）.（1）

當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，若函數(shù)f（x）恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，