第4章 相似三角形 浙教版九年級數學上冊單元培優測試卷(含答案)

三角形相似培優強基卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC，AE，CD相交于點O．若S△BDE第1題圖第2題圖第3題圖A．13 B．14 C．15 2．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，把△ABC繞BC邊的中點O旋轉后得△DEF，若直角頂點E恰好落在AC邊上，且DF邊交AC邊于點G，則CG的長為（）A．65 B．75 C．95 3．如圖，在正方形ABCD和CEFG中，連接AF交CD于點H，AB＝6，DH＝3GH，I是AF的中點，那么CI的長是（）A．25 B．2 C．35 D4．如圖?ABCD，F為BC中點，延長AD至E，使DE：AD=1：3，連結EF交DC于點G，則第4題圖第5題圖第6題圖A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：95．如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP=CQ，連接AQ、DP交于點O，并分別與邊CD、BC交于點F、E，連接AE，下列結論：①AQ⊥DP；②OA2=OE?OP；③S△AOD=S四邊形A．①③④B．①③C．②④ D．①②④6．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，點E、F分別為BC、CD的中點，BF、DE相交于點G，過點E作EH∥CD，交BF于點H，則線段GH的長度是（）A．56 B．1 C．54 D7．如圖，正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于點E，將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△CBF，延長AE交CF于點G，連接BG、DG，DG交下列結論①BE=BF；②∠ACF=∠F；③BG⊥DG；④AE正確的是（）第7題圖第8題圖A．①②③④B．②③C．①③ D．①②④8．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP，CP的延長線分別交AD于點E，F，連接BD，DP，BD與CF交于點H．下列結論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC，其中正確的結論是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④9．如圖，點G是△ABC的重心，過點G作MN∥BC分別交AB，AC于點M，N，過點N作ND∥AB交BC于點D，則四邊形BDNM與△ABC的面積之比是（）第9題圖第10題圖A．1：2B．2：3C．410．如圖，已知二次函數y=-54(x+1)(x-4)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，P為該二次函數在第一象限內的一點，連接APA．94 B．2 C．74 D二、填空題填空題（每題4分，共24分）11．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CE是斜邊AB上的中線，在直線AB上方作△DEF～△ABC，DE，FE分別與AC邊交于點M，N，當△EMN與△BEC相似時，線段CN長度為．第11題圖第12題圖第13題圖12．如圖，M是Rt△ABC斜邊AB上的中點，將Rt△ABC繞點B旋轉，A使得點C落在射線CM上的點D處，點A落在點E處，邊ED的延長線交邊AC于點F．如果BC=3．AC=4．那么BE的長為；CF的長為．13．在△ABC中，AB=AC，BD//AC，連接CD，若∠ABD+∠BCD=90°，6CD=5CB，△ABC的面積為7.5，則AB=14．由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．將小正方形對角線EF雙向延長，分別交邊AB，和邊BC的延長線于點G，H．若大正方形與小正方形的面積之比為5，GH=210，則大正方形的邊長為15．已知，如圖，矩形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，AB=4，AD=8，CF=3，若△ABE與以E、C、F為頂點的三角形相似，則BE的長為.16．如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，F為AB的中點，DF的延長線與CB的延長線交于點H，CE與DH相交于點G．若CG=45，則BG的長為第15題圖第16題圖三、綜合題（17-21每題6分，22、23每題8分，共46分）17．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結AC，AD，CE（1）求∠CAD的度數.（2）已知AB=2，求DF的長.18．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE+∠C=180°．（1）求證：△ADF∽△DEC．（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求19．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為邊AD上一點，連接AC、BE，它們相交于點F，且∠ACB＝∠ABE．（1）求證：AE2＝EF?BE；（2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的長．20．如圖，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用頂點A，點E在線段BD上，連接EG，DG，且ABAD（1）求證：∠ABE＝∠ADG；（2）若AB=3,21．如圖，直線y=ax+1與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，與雙曲線y=kx(x>0)相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC=2，點A的坐標為（1）求雙曲線的解析式；（2）若點Q為雙曲線上點P右側的一點，且QH⊥x軸于H，當以點Q，C，H為頂點的三角形與△AOB相似時，求點Q的坐標.22．把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）．（1）用含t的代數式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形．23．（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．（2）【問題解決】如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長BC到點H，使CH=DE，連接DH．求證：∠ADF=∠H．（3）【類比遷移】如圖3，在菱形ABCD中，點E，F分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的長．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵S△BDE:S△ADE=1:4，

∴BDAD=14，

∴BDAB=15，

∵DE∥AC2．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，過點O作OM⊥AC與M，

∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10．又∵點O為BC的中點，∴OC=OB=4，則cos∠ACB=∴CM則CM=16又由旋轉可知，FE=CB=8，∠ACB=∠DFE，EO=OB=4，又∵∠FEG=∠CEO，∴ΔEGF∽ΔEOC，∴EG則EG4∴EG=5，∴CG=CE-EG=32故答案為：B.3．【答案】A【解析】【解答】解：過I作IK⊥BC與K，如圖：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴∠D＝∠CGF＝90°＝∠HGF，AD＝AB＝BC＝6，∵∠AHD＝∠GHF，∴△ADH∽△FGH，∴DHGH∵AD＝6，DH＝3GH，∴3GHGH∴GF＝2，∴EF＝GF＝CE＝2，∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，∵∠B＝∠IKE＝∠E＝90°，∴AB∥IK∥EF，∵I為AF中點，∴K為BE中點，∴IK=AB+EF2=∴CK＝BC﹣BK＝6﹣4＝2，∴CI=I故選：A．4．【答案】D【解析】【解答】解：設DE=x，∵DE：AD=1∴AD=3x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，BC=AD=3x，∵點F是BC的中點，∴CF=12∵AD//BC，∴ΔDEG∽ΔCFG，∴S△DEGS故答案為：D．5．【答案】B6．【答案】A【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=4，∴DC=AB=6，BC=AD=4，∠C=90°，∵點E、F分別為BC、CD的中點，∴DF=CF=12DC=3∵EH∥CD，∴FH=BH，∵BE=CE，∴EH=1由勾股定理得：BF=B∴BH=FH=1∵EH∥CD，∴△EHG～△DFG，∴EH∴3解得：GH=5故答案為：A．7．【答案】A【解析】【解答】解：∵將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△CBF，∴△ABE≌△CBF，∴BE=BF，故①正確；∵正方形ABCD中，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ABC=∠CBF=∠BCD=90°，AB=DC，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE=1∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF=22.∴∠ACF=45°+22.∴∠F=180°-∠CAF-∠ACF=180°-45°-67.∴∠ACF=∠F，故②正確；∵∠ACF=∠F，∴AC=AF，∵AE平分∠CAB，∴AG⊥CF，CG=FG=1∴∠AGC=90°，∴∠AGD+∠DGC=90°，∵∠CBF=90°，CG=FG=1∴CG=BG=1∴∠CBG=∠BCG，∠ABG=∠DCG，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴∠AGB=∠DGC，∴∠AGD=∠AGB=90°，∴∠BGD=90°，∴BG⊥DG，故③正確；∵△ABG≌△DCG，∴∠BAG=∠GDC，∵∠BAG=∠CAE，∴∠CDG=∠CAE，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴△ACE∽△DCH，∴AEDH∵AC=2∴AEDH故④正確，故答案為：A8．【答案】C【解析】【解答】∵△BPC是等邊三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①符合題意；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②符合題意；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD與△PDB不會相似；故③不符合題意；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DPPC=∴DP2=PH?PC，故④符合題意；故答案為：C．9．【答案】C【解析】【解答】解：如圖：連接AG并延長交BC于E，連接BG交AC于F，連接EF，

∴EF是中位線，

∴EF//AB，AB=2EF.

∴∠GAB=∠GEF，∠GBA=∠GFE，

∴△ABG∽△EFG.

∴AGGE=ABEF=2，

∴AGAE=23

∵MN//BC，

∴∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠ABC，∠AGM=∠AEB，

∴△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.

∴AMAB=ANAC=AGAE=23，

∴S△AMNS△ABC=23210．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過點P作PQ∥AB，與BC交于點Q，∵二次函數y=-54(x+1)(x-4)的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，

∴A（-1，0），B（4，0），C（0，5），

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則b=54k+b=0，

解得k=-54b=5，

∴直線BC為y=-54x+5，

設Pt，-54(t+1)(t-4)，則Qt2-3t，-54(t+1)(t-4)，

∴PQ=-t2+4t，

∵PQ∥AB，

∴△PQK∽△ABK，

∴PK11．【答案】258或12．【答案】5；913．【答案】6114．【答案】315．【答案】2或6或3216．【答案】1017．【答案】（1）解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC=AD=CE，∠BAE=1∴四邊形ABCF是菱形，∴∠BAC=∠CAD，同理可求：∠CAD=∠DAE，∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=1（2）解：∵四邊形ABCF是菱形，∴CF=AF=AB=2.∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，同理∠DCE=36°，∴△DCF∽△DAC，∴CDDF=AD設DF=x，則AD=x+2，∴22=x(x+2)，即解得x=5-1∴DF的長是5-118．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC∵∠AFE+∠C=180°∵∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠C在△ADF與△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴ADDE∴DE=在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=D所以AE的長為6．19．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ABE，∴∠DAC＝∠ABE，∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB＝EF：EA，∴AE2＝EF?BE（2）∵AE2＝EF?BE，∴BE＝221＝∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3，∵AE∥BC，∴AFFC＝EFBF，即AF4＝13，解得AF＝∵△EAF∽△EBA，∴AFAB＝EFAE，即43AB＝∴AB＝8320．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG均為矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，即∠BAE+∠DAE＝∠DAG+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵ABAD∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG．（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠CBD＝90°，即∠EDG＝90°，在Rt△ABD中，AB=∴BD=∴BE=1由（1）知，△ABE∽△ADG，∴ABAD=BEDG，∴315∴DG＝10，在Rt△DEG中，EG＝DG221．【答案】（1）解：把A(-2，0)代入y=ax+1中，得a=1∴y=12∵PC=2，∴把y=2代入y=12得x=2，即P(2，2)把P(2，2)代入y=得k=4，則雙曲線解析式為y=4x（2）解：如圖，QH⊥x軸于點H，連接CQ；設Q(m，n)∵Q(m，n)在雙曲線y=∴n=4m∵點B在y=12∴B(0，當△CHQ∽△AOB時，可得CHAO=QHBO，即∴m-2=2n，即m-2=8m解得m=4或m=-2（舍去），∴Q(4，1)當△QHC∽△AOB時，可得CHBO=QHAO，即整理得2m-4=4m解得m=1+3或m=1-3∴Q(1+3，綜上所述，Q(4，1)或22．【答案】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范圍是：0≤t≤5；（2）解：過點P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=4