2026版高三一輪總復習數學 第七章 第6課時 空間向量的運算及其應用 課件

第七章立體幾何與空間向量第6課時空間向量的運算及其應用[考試要求]

1．了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．2．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直．3．理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理．鏈接教材·夯基固本1．空間向量及其有關定理概念語言描述共線向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線________________共面向量平行于____________的向量互相平行或重合同一個平面共線向量定理對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在實數λ，使_______共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使___________空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得_______________a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc2．空間向量的數量積非零向量a，b的數量積a·b＝___________________．3．

空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．|a||b|cos〈a，b〉向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數量積a·b＝__________________共線a∥b?a＝λb?a1＝_____，a2＝_____，a3＝_____(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a·b＝0?__________________＝0(a≠0，b≠0)模夾角公式a1b1＋a2b2＋a3b3λb1λb2λb3a1b1＋a2b2＋a3b3

4．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，把與向量a______的非零向量稱為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．平行5．空間位置關系的向量表示

位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2，λ∈Rl1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm，λ∈R平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm，λ∈Rα⊥βn⊥m?n·m＝0

一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面． (

)(2)在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標一定是(0，b，c)．

(

)(3)對于非零向量b，若a·b＝b·c，則a＝c． (

)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同． (

)√√××√二、教材經典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P33練習T1改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則(

)A．α∥β

B．α⊥βC．α，β相交但不垂直

D．以上均不對C

[∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．]

√

3．(多選)(人教A版選擇性必修第一冊P22練習T3改編)已知點A(1，2，2)，B(1，－3，1)，點C在Oyz平面上，且點C到點A，B的距離相等，則點C的坐標可以為(

)A．(0，1，－1) B．(0，－1，4)C．(0，1，－6) D．(0，2，10)√√BC

[依題意，點C在Oyz平面上，設C(0，y，z)，由于AC＝BC，AC2＝BC2，所以12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2，整理得5y＋z＋1＝0，通過驗證可知，(0，－1，4)，(0，1，－6)符合，所以BC選項正確．故選BC．]

考點一空間向量的線性運算[典例1]

(1)設x，y是實數，已知三點A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(x，3，y＋2)在同一條直線上，那么x＋y＝(

)A．2 B．3C．4 D．5典例精研·核心考點√

√

√

√

名師點評

空間向量線性運算中的三個關鍵點

√

【教用·備選題】以下四組向量在同一平面的是(

)A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)√

名師點評

空間向量數量積的應用

√√

3

考點三利用向量證明平行與垂直[典例3]

如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點．(1)求證：OM∥平面BCF；(2)求證：平面MDF⊥平面EFCD．

【教用·備選題】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°角，求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD．[證明]

(1)由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz．∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°．

名師點評

1．利用向量法證明平行問題(1)線線平行：方向向量平行．(2)線面平行：平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直．(3)面面平行：兩平面的法向量平行．2．利用向量法證明垂直問題(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零．(2)線面垂直：直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉化為證明線線垂直．(3)面面垂直：兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直．[跟進訓練]3．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．

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13課后作業(四十四)空間向量的運算及其應用√14

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題號1352468791011121314√√√ACD

[在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．題號1352468791011121314

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題號1352468791011121314120°

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題號135246879101112131414．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面A