24.1.2垂直于弦的直徑（課件）-人教版數學九年級上冊

24.1.2垂直于弦的直徑復習舊知探究新知剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發現了什么？由此你能得到什么結論？你能證明你的結論嗎？結論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.探究新知如何證明圓是軸對稱圖形？只需證明圓上任意一點關于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點也在圓上.證明：設CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點C、D以外的任意一點.CDAA'M過點A作AA'⊥CD，交于⊙O點A'，垂足為M.連接OA，OA'.∵OA＝OA'∴△OAA'是等腰三角形又∵AA'⊥CD∴AM＝MA',即CD是AA'的垂直平分線這就是說，對于圓上任意一點A，在圓上都有關于直線CD的對稱點A'，因此⊙O關于直線點CD對稱.探究新知如圖，設直徑CD與弦AA'垂直于點M，在沿直徑CD所在直線對折的過程中，觀察圖中還有哪些相等的線段和相等的弧？如果⊙O的直徑CD垂直于弦AA'，垂足為M，那么點A和點A'是對稱點.把圓沿著直徑CD折疊時，點A與點A'重合，AM與A'M重合，、分別與、重合.即直徑CD平分弦AA'、，并且平分.獲得新知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理∵CD是⊙O的直徑

CD⊥AA'∴AM＝A'M＝＝文字語言圖形語言符號語言理解定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理一條直線若滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優弧（5）平分弦所對的劣弧條件結論推出1、如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑.例題講解變式1：如圖，OA＝5cm，OE＝3cm，求AB.E變式2：如圖，AB＝8cm，OA＝4cm，求OE.2、如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB，垂足為E，CE＝2cm,AB＝8cm，求⊙O的半徑.例題講解3、如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓弦AB交小圓于C、D.求證：AC＝BD.例題講解思路1：連接OA、OB、OC、OD證明△OAC≌△OBD.（證明△OAD≌△OBC）3、如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓弦AB交小圓于C、D.求證：AC＝BD.例題講解思路2：連接OA、OB、OC、OD,

過點O作OE⊥AB于點E.根據等腰三角形的性質.E3、如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓弦AB交小圓于C、D.求證：AC＝BD.例題講解思路3：過點O作OE⊥AB于點E.根據垂徑定理.E例題講解4、趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主拱橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結果保留小數點后一位）.分析：解決此問題的關鍵是根據趙州橋的實物圖畫出幾何圖形.例題講解解：如圖，用表示主橋拱，設所在圓的圓心為O，半徑為R.經過圓心為O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點C，連接OA.根據垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高.依題意得：AB＝37，CD＝7.23.∵OC⊥AB∴AD＝AB＝18.5∴OD＝OC－CD＝R－7.23∵在Rt△OAD中，∠ODA＝90°∴AD2＋OD2＝OA2，即18.52＋(R－7.23)2＝R2解得：R≈27.3答：趙州橋的主橋拱的半徑約為27.3m.課堂小結實際問題數學問題畫出圖形用數學語言描述已知和未知運用相關知識數學問題的解檢驗實際問題的答案運用相關知識求得數學問題的解思路：（由）垂徑定理——構造直角三角形——（結合）勾股定理——建立方程.課堂小結思考1：在應用垂徑定理的過程中，常用的輔助線是什么？歸納1：在圓中，解決有關弦的問題時，常常需要從圓心作一條與

弦垂直的線段，再連接半徑構造直角三角形.課堂小結思考2：如果我們設圓的半徑為r，圓心到弦的距離為d，弦長為a，你能找到它們三者之間的關系嗎？歸納2：圓的半徑r，圓心到弦的距離d，弦長a之間的關系式為：探究推論已知：如圖，CD是⊙O的直徑，CD與弦AA'相交于點M，且AM＝A'M.求證：CD⊥AA'，，.＝＝獲得推論平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理推論∵CD是⊙O的直徑

AM＝A'M∴CD⊥AA'＝＝文字語言圖形語言符號語言理解推論判斷：（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.()（2）平分弦的直徑垂直于弦.()（3）平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑.()例題講解5、如圖，如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半徑.例題講解6、已知：如圖，在⊙O中，半徑OE、OF分別平分弦AB、AC，交AB、AC于點D、G，交、于點E、F，并且弦EF分別交AB、AC于點M、N.求證：△AMN是等腰三角形.①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧拓展延伸垂徑定理：①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧垂徑定理的推論：拓展：①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧？①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優弧⑤平分弦所對的劣弧拓展延伸條件結論命題①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.①③②④⑤平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.①④②③⑤平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分這條弦，并且平分弦所對的另一條弧.①⑤②③④②③①④⑤弦的垂直平分線經過圓心，并