2025年中考數(shù)學(xué)沖刺《函數(shù)選填壓軸題》含答案解析

試題試題搶分秘籍14函數(shù)選填壓軸題（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問題）目錄【解密中考】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【題型二】一次函數(shù)與反比例函數(shù)【題型三】反比例函數(shù)與特殊四邊形【題型四】幾何圖形中動點之函數(shù)問題【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點一：反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限錯誤易錯點二：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問題錯誤易錯點三：根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤錯誤：函數(shù)選填壓軸題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，一次函數(shù)常考圖象性質(zhì)、實際應(yīng)用；反比例函數(shù)側(cè)重k的幾何意義、與幾何綜合；二次函數(shù)聚焦圖象性質(zhì)、最值、與方程結(jié)合，三者均高頻，二次函數(shù)更甚，常為壓軸核心。2．從題型角度看，多為含參討論、函數(shù)與幾何動態(tài)結(jié)合題，如交點存在性、圖形面積最值，需數(shù)形結(jié)合與分類討論，選項/空設(shè)計具迷惑性，考驗綜合分析能力。：在中考數(shù)學(xué)備考中，熟背函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)與圖象，針對綜合題分類型訓(xùn)練（如含參函數(shù)、函數(shù)幾何綜合），強化數(shù)形結(jié)合思維，總結(jié)解題模型（如設(shè)參表示變量、利用幾何性質(zhì)列方程），提升計算準確性與邏輯嚴密性。【題型一】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】（2025·廣東深圳·二模）二次函數(shù)，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：x…0…y…4004…下列說法正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)時，y隨x的增大而增大C．當(dāng)時， D．二次函數(shù)的最小值是緊抓圖象三要素（開口、對稱軸、頂點），結(jié)合參數(shù)符號（a、b、c）分析趨勢。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位關(guān)鍵點，借助判別式判斷交點情況。善用對稱性與最值特征，對含參問題通過臨界值或代入選項驗證，結(jié)合排除法縮小范圍，數(shù)形結(jié)合直觀破題。【例2】（2025·河北邯鄲·一模）如圖，拋物線與交于點，以下結(jié)論：①無論取何值，總是負數(shù)；②可由向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當(dāng)時，隨著的增大，的值先增大后減小．下列說法正確的是（

）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③不正確 D．①②③都正確【變式1】（2025·陜西渭南·一模）老師在畫二次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象時列表如下：…………四位同學(xué)根據(jù)表格得到結(jié)論如下：甲：該函數(shù)圖象的對稱軸為直線；乙：當(dāng)時，隨的增大而減小；丙：；丁：圖象開口向下．針對四人的說法，其中不正確的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【變式2】（2025·湖南·二模）已知拋物線與軸的正半軸交于點，與軸交于點．點是拋物線上的任意一點，且位于線段的上方，過點作軸交于點．若的長度隨增大而減小，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2025·河北邢臺·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于拋物線與直線，下列說法正確的是（

）A．兩個函數(shù)圖象有唯一公共點時，拋物線的頂點坐標(biāo)是B．無論取何值，兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)一定小于2C．若關(guān)于的方程在的范圍內(nèi)有兩個整數(shù)解，則滿足條件的的值有3個D．若兩個函數(shù)圖象在第一象限有公共點，則【題型二】一次函數(shù)與反比例函數(shù)【例1】（2025·安徽滁州·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)交于A，B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，點A的橫坐標(biāo)為1，點B的橫坐標(biāo)為3．（1）寫出反比例函數(shù)大于一次函數(shù)時，自變量x的取值范圍；（2）用含k的代數(shù)式表示的面積：．緊抓一次函數(shù)斜率（k）與截距（b）的幾何意義，通過圖象趨勢分析增減性；反比例函數(shù)聚焦k的幾何意義（面積不變性），聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。遇動點或面積題，設(shè)參表示坐標(biāo)，結(jié)合幾何性質(zhì)（如相似、面積公式）列等式，選項代入或臨界值驗證快速破題。【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函數(shù)的圖象與直線交于點，點在線段上，過點作直線軸，直線與交于點，，則點的坐標(biāo)為．【變式1】（2025·廣東·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，軸于點，已知雙曲線與分別交于兩點，連接．若，則點的坐標(biāo)為．【變式2】（2025·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸分別交于，兩點，為線段的中點，點在反比例函數(shù)的圖象上，則的最小值為．【變式3】（2025·安徽宣城·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點．（1）．（2）若（不與點，重合）是線段上的動點，過點作軸的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點，軸，軸，垂足分別為，，則四邊形面積的最大值為．【題型三】反比例函數(shù)與特殊四邊形【例1】（2025·河北邯鄲·一模）如圖，正方形的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點處，已知點，若反比例函數(shù)的圖象與正方形有公共點（包括邊界），則的整數(shù)值有個．抓反比例函數(shù)點坐標(biāo)特征（設(shè)為(a,k/a)），利用特殊四邊形性質(zhì)（如平行四邊形對角線中點重合、菱形鄰邊相等）建立代數(shù)關(guān)系。通過中點坐標(biāo)公式、距離公式聯(lián)立方程，結(jié)合k的幾何意義（面積）列等式，對動點問題分類討論，代入選項或利用對稱性簡化運算。【例2】（2025·廣東深圳·一模）如圖，矩形的兩邊，在坐標(biāo)軸上，且，，分別為，的中點，與交于點，且四邊形的面積為，則經(jīng)過點的雙曲線的解析式為．【變式1】（2025·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的兩個頂點都在反比例函數(shù)的圖象上，對角線的交點恰好是原點，且對角線所在直線是第二、四象限的角平分線．若，，則反比例函數(shù)的表達式為．【變式2】（2025·安徽合肥·一模）如圖，是坐標(biāo)原點，的直角頂點在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，點關(guān)于的對稱點為點，連接交反比例函數(shù)圖象于點．（1）；（2）點的橫坐標(biāo)為．【變式3】（2025·安徽淮南·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（）的圖象與邊長是6的正方形的兩邊，分別相交于，兩點.（1）若點是的中點，則；（2）已知的面積為16，若動點在軸上，則的最小值是.【變式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技課上，小華同學(xué)利用幾何畫板的迷你坐標(biāo)系繪制了反比例函數(shù)的圖象，并打印了出來，善于思考的小華同學(xué)把自己的一張矩形卡紙繞著原點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置時，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，邊與反比例函數(shù)圖象交于點，邊與軸交于點，且．（1）的值為；（2）的值為．【變式5】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，在軸正半軸上（點在點的右側(cè)），，分別以，為直角邊作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函數(shù)的圖象與斜邊交于點，與斜邊交于點．（1）若是的中點，且點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．（2）過點作軸于點，過點作軸于點．若是的中點，陰影部分（四邊形的面積等于，則的值為．【題型四】幾何圖形中動點之函數(shù)問題【例1】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖，等腰直角三角形中，，點為斜邊的中點，分別為邊上的動點，且．設(shè)的長為的周長為，圖2為點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長度為（

）A．2 B．4 C． D．設(shè)動點參數(shù)（如時間t），用幾何性質(zhì)（相似、勾股定理等）表示坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系式（常為面積、長度關(guān)于t的表達式）。抓臨界位置（起點、終點、特殊位置）確定定義域，結(jié)合圖象趨勢分析增減性或最值。選填題可代入特殊值驗證，或利用幾何直觀（如對稱、極值）快速排除選項，注意分類討論動點路徑分段情況。【例2】（2025·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖①，在中，，，動點從點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點，過點作于點，圖②是點運動時，的面積隨時間變化的關(guān)系圖象，則的長為（

）A． B． C． D．【變式1】（2025·甘肅金昌·一模）如圖，在平行四邊形中，動點從點出發(fā)，沿折線方向勻速運動，運動到點時停止，設(shè)點的運動路程為，線段的長度為，與的函數(shù)圖象如圖所示．若的最大值為，則的長為（

）A． B． C． D．【變式2】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，扇形，一個動點從點出發(fā)，沿路線勻速運動，當(dāng)點運動的時間為時，的長為，則與的關(guān)系可以用圖象大致表示為（

）A．B．C．D．【變式3】（2025·河南駐馬店·一模）如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點，同時從點出發(fā)，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是1/秒．設(shè)、同時出發(fā)秒時，的面積為．已知與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④當(dāng)秒時，；其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【變式4】（2025·甘肅定西·一模）如圖，在菱形中，點在邊上，連接，動點從點出發(fā)，在菱形的邊上沿勻速運動，運動到點時停止．在此過程中，的面積隨著運動時間的函數(shù)圖象如圖所示，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式5】（2025·新疆昌吉·一模）如圖1，在矩形中，，E是邊上的一個動點，，交于點F，設(shè)，，圖2是點E從點B運動到點C的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則的長為．【題型五】二次函數(shù)與其他函數(shù)綜合問題【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知拋物線．（1）當(dāng)時，拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）點，為拋物線上兩點，若，總有，則的取值范圍是．聯(lián)立函數(shù)方程化為一元二次方程，用判別式判斷交點個數(shù)，韋達定理分析坐標(biāo)關(guān)系。結(jié)合二次函數(shù)圖象開口、對稱軸，通過特殊值（如頂點、端點）定位交點范圍，對含參問題取臨界值代入選項驗證，數(shù)形結(jié)合快速排除錯誤答案，注意區(qū)間內(nèi)交點存在性的分類討論。【例2】（2025·遼寧·一模）如圖，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O，頂點，矩形的頂點A，D在拋物線上，B，C在x軸的正半軸上，點A的縱坐標(biāo)是，則矩形的周長為．【變式1】（2025·安徽滁州·一模）已知拋物線的對稱軸與軸正半軸相交．（1）不論取何值時，該拋物線過一定點，則該點坐標(biāo)為；（2）若點，在該拋物線上，且，，則的取值范圍是．【變式2】（2025·安徽合肥·一模）已知拋物線經(jīng)過點，，（1）拋物線的對稱軸為；（2）點，在拋物線上，且，則t的取值范圍是．【變式3】（2025·黑龍江大慶·一模）定義：二次項系數(shù)之和為1，對稱軸相同，且圖象與軸交點也相同的兩個二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，則的值為．易錯點一：反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限錯誤求反比例函數(shù)k值時，圖象所在象限是符號判斷的核心：1.

定象限，判符號：圖象在一、三象限?k＞0；二、四象限?k＜0，勿混淆符號與象限對應(yīng)關(guān)系。2.

點坐標(biāo)驗符號：若點在某象限，其橫縱坐標(biāo)同號（一、三）或異號（二、四），代入y=k/x后符號與k一致，避免忽略坐標(biāo)符號直接計算。3.

含參問題需討論：若k含參數(shù)（如k=m+1），先由象限定k范圍（如k＜0），再解參數(shù)不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符號約束。易混點：誤將單一象限圖象當(dāng)作雙支，或忽略多象限點的符號矛盾，需結(jié)合圖象或坐標(biāo)嚴格推導(dǎo)。例1．（2025·陜西渭南·一模）如圖，點是反比例函數(shù)（k為常數(shù)，，）的圖象上一點，過點作軸的平行線，交軸于點．點為軸正半軸上的一點，連接，．若的面積為2，則的值是．變式1：（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點B在x軸負半軸上，頂點O在反比例函數(shù)的圖象上，若點A的坐標(biāo)為，的面積為6，則k的值為．變式2：（2025·河北張家口·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點C是反比例函數(shù)圖象上的兩點，線段經(jīng)過原點，以為邊作等邊，反比例函數(shù)恰好過點B，則k的值為．變式3：（2025·遼寧鐵嶺·一模）如圖，的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，在軸的正半軸上，與y軸交于點E，與軸交于點．若的面積為6，則的值是．易錯點二：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問題錯誤圖像共存易錯點拔：1.

符號一致性：一次函數(shù)k與b、反比例函數(shù)k、二次函數(shù)a/b/c符號需統(tǒng)一。如二次函數(shù)開口向上（a＞0），若一次函數(shù)過一、三象限，則k＞0，勿出現(xiàn)矛盾（如反比例函數(shù)k＜0卻在一、三象限）。2.

特殊點驗證：x=0時，一次函數(shù)截距b與二次函數(shù)c值需對應(yīng)；反比例函數(shù)無原點，勿誤判圖像過原點。3.

對稱軸與一次函數(shù)關(guān)聯(lián)：二次函數(shù)對稱軸x=-b/(2a)需與一次函數(shù)斜率k邏輯一致（如a＞0且對稱軸在y軸左側(cè)，則b＞0，對應(yīng)一次函數(shù)若k=b，需k＞0）。4.

象限分布矛盾：反比例函數(shù)雙支象限需與一次函數(shù)、二次函數(shù)最值位置匹配，避免出現(xiàn)“二次函數(shù)最小值在第四象限，而反比例函數(shù)在一、三象限”的沖突。例1．（2025·廣東韶關(guān)·一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．變式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．變式2：（2025·安徽·一模）二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A．B．C．D．變式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．易錯點三：根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤錯誤1.開口方向定a：開口向上?a＞0，向下?a＜0，勿顛倒。2.對稱軸判ab符號：對稱軸x=-b/(2a)在y軸左?ab同號，右?異號，忌單獨看b。3.與y軸交點定c：交點在正半軸?c＞0，負半軸?c＜0，過原點?c=0，勿與a混淆。4.特殊點代入易漏符號：x=1時y=a+b+c，x=-1時y=a-b+c，注意b的符號；對稱軸x=1?b=-2a，勿算反。5.判別式與交點數(shù)錯聯(lián)：Δ=b2-4ac＞0?兩交點，易漏平方或符號，多結(jié)合圖像驗證系數(shù)邏輯鏈。例1．（2025·山東聊城·一模）如圖，二次函數(shù)的對稱軸是直線，且與x軸的一個交點坐標(biāo)為．下列說法：①；②；③關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，3；④若，在該拋物線上，則；⑤對任意實數(shù)m，不等式恒成立．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式1：（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與x軸交于點，與y軸的交點B在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有（

）個①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4變式2：（2025·天津河?xùn)|·一模）已知拋物線（是常數(shù)，）與軸交于點，對稱軸為直線．有下列結(jié)論：①；②若，則；③關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個變式3：（2025·廣東茂名·一模）如圖所示為二次函數(shù)的圖象，對稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．變式4：（2025·山東濱州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的一個交點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①拋物線不過原點；②；③；④拋物線的頂點坐標(biāo)為；⑤當(dāng)時，隨的增大而增大．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4搶分秘籍14函數(shù)選填壓軸題（含一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等綜合問題）目錄【解密中考】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【題型二】一次函數(shù)與反比例函數(shù)【題型三】反比例函數(shù)與特殊四邊形【題型四】幾何圖形中動點之函數(shù)問題【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點易錯點一：反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限錯誤易錯點二：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問題錯誤易錯點三：根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤錯誤：函數(shù)選填壓軸題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，一次函數(shù)常考圖象性質(zhì)、實際應(yīng)用；反比例函數(shù)側(cè)重k的幾何意義、與幾何綜合；二次函數(shù)聚焦圖象性質(zhì)、最值、與方程結(jié)合，三者均高頻，二次函數(shù)更甚，常為壓軸核心。2．從題型角度看，多為含參討論、函數(shù)與幾何動態(tài)結(jié)合題，如交點存在性、圖形面積最值，需數(shù)形結(jié)合與分類討論，選項/空設(shè)計具迷惑性，考驗綜合分析能力。：在中考數(shù)學(xué)備考中，熟背函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)與圖象，針對綜合題分類型訓(xùn)練（如含參函數(shù)、函數(shù)幾何綜合），強化數(shù)形結(jié)合思維，總結(jié)解題模型（如設(shè)參表示變量、利用幾何性質(zhì)列方程），提升計算準確性與邏輯嚴密性。【題型一】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】（2025·廣東深圳·二模）二次函數(shù)，自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值如下表：x…0…y…4004…下列說法正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)時，y隨x的增大而增大C．當(dāng)時， D．二次函數(shù)的最小值是【答案】C【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，選出3點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項分析四個選項即可得出結(jié)論．【詳解】解：將點，，代入到二次函數(shù)中，得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為．A、，拋物線開口向上，A不正確；B、，∴拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，B不正確；C、∵拋物線線與軸交于點，，且拋物線開口向上，∴當(dāng)時，，故C正確；D、，二次函數(shù)的最小值是，D不正確；故選：C．緊抓圖象三要素（開口、對稱軸、頂點），結(jié)合參數(shù)符號（a、b、c）分析趨勢。用特殊值法（如x=0、±1）快速定位關(guān)鍵點，借助判別式判斷交點情況。善用對稱性與最值特征，對含參問題通過臨界值或代入選項驗證，結(jié)合排除法縮小范圍，數(shù)形結(jié)合直觀破題。【例2】（2025·河北邯鄲·一模）如圖，拋物線與交于點，以下結(jié)論：①無論取何值，總是負數(shù)；②可由向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當(dāng)時，隨著的增大，的值先增大后減小．下列說法正確的是（

）A．只有①正確 B．只有②正確 C．只有③不正確 D．①②③都正確【答案】C【知識點】二次函數(shù)圖象的平移、y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)【分析】本題考查二次函數(shù)頂點式的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)的平移等．根據(jù)題意逐一對序號進行判斷分析即可得到本題答案．【詳解】解：，，，無論取何值，總是負數(shù)，故①正確；拋物線與交于點，當(dāng)時，，即，解得：，，可由向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到，故②正確；，隨著的增大，的值減小；故③錯誤．故選：C．【變式1】（2025·陜西渭南·一模）老師在畫二次函數(shù)（、為常數(shù)，且）的圖象時列表如下：…………四位同學(xué)根據(jù)表格得到結(jié)論如下：甲：該函數(shù)圖象的對稱軸為直線；乙：當(dāng)時，隨的增大而減小；丙：；丁：圖象開口向下．針對四人的說法，其中不正確的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．利用二次函數(shù)圖象的特征，根據(jù)題意逐一判斷即可．【詳解】解：將、代入得：，解得：，二次函數(shù)的解析式為，該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，故甲正確；又，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，二次函數(shù)的開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大，故乙不正確，丁正確；當(dāng)時，，即，故丙正確；故選：B．【變式2】（2025·湖南·二模）已知拋物線與軸的正半軸交于點，與軸交于點．點是拋物線上的任意一點，且位于線段的上方，過點作軸交于點．若的長度隨增大而減小，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、求拋物線與y軸的交點坐標(biāo)、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，線段長度問題；根據(jù)題意先求得直線為，設(shè)，則，進而表示出的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)時，解得：∴當(dāng)時，∴設(shè)直線為，∴∴直線為設(shè)，則∴，當(dāng)時，的長度隨增大而減小∴的取值范圍是故選：D．【變式3】（2025·河北邢臺·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于拋物線與直線，下列說法正確的是（

）A．兩個函數(shù)圖象有唯一公共點時，拋物線的頂點坐標(biāo)是B．無論取何值，兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)一定小于2C．若關(guān)于的方程在的范圍內(nèi)有兩個整數(shù)解，則滿足條件的的值有3個D．若兩個函數(shù)圖象在第一象限有公共點，則【答案】C【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、其他問題(二次函數(shù)綜合)【分析】本題主要考查拋物線與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握拋物線與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A．因為拋物線的頂點橫坐標(biāo)是1，故A錯誤；B．方程的解是或．當(dāng)時，，故B錯誤；C．關(guān)于的方程在的范圍內(nèi)有兩個整數(shù)解，即是整數(shù)，所以可以等于．所以滿足條件的的值有3個．C正確；D．時兩個函數(shù)圖象在第一象限也有公共點，故D錯誤．故選C．【題型二】一次函數(shù)與反比例函數(shù)【例1】（2025·安徽滁州·一模）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)交于A，B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D，點A的橫坐標(biāo)為1，點B的橫坐標(biāo)為3．（1）寫出反比例函數(shù)大于一次函數(shù)時，自變量x的取值范圍；（2）用含k的代數(shù)式表示的面積：．【答案】或；【知識點】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，一次函數(shù)解析式．（1）根據(jù)圖象找到反比例函數(shù)在一次函數(shù)上方部分，可得答案；（2）由題意知，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得直線的解析式為，分別令，即可得，，再根據(jù)三角形面積公式即可得解．【詳解】解：（1）由圖象可知，寫出反比例函數(shù)大于一次函數(shù)時，自變量x的取值范圍為：或；故答案為：或；（2）由題意知，，，由圖象可知，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線的解析式為，令得，，即，令得，，即，∴，，∴，故答案為：．緊抓一次函數(shù)斜率（k）與截距（b）的幾何意義，通過圖象趨勢分析增減性；反比例函數(shù)聚焦k的幾何意義（面積不變性），聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。遇動點或面積題，設(shè)參表示坐標(biāo)，結(jié)合幾何性質(zhì)（如相似、面積公式）列等式，選項代入或臨界值驗證快速破題。【例2】（2025·安徽滁州·一模）反比例函數(shù)的圖象與直線交于點，點在線段上，過點作直線軸，直線與交于點，，則點的坐標(biāo)為．【答案】【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，運用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；設(shè)點，那么點，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征解出點B的坐標(biāo)即可．【詳解】解：將代入得，解得，∴反比例函數(shù)表達式為；∵點在上，∴設(shè)點，那么點，由可得，所以，解得（舍去），∴．故答案為：．【變式1】（2025·廣東·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，軸于點，已知雙曲線與分別交于兩點，連接．若，則點的坐標(biāo)為．【答案】【知識點】根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)點A的坐標(biāo)，求出，結(jié)合，得到，即可求出，再求出直線的解析式為，設(shè)，代入，求出m的值即可．【詳解】解：∵點A的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，代入，得：，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．【變式2】（2025·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸分別交于，兩點，為線段的中點，點在反比例函數(shù)的圖象上，則的最小值為．【答案】【知識點】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的其他綜合應(yīng)用【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，線段最短問題，以及勾股定理，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．先求出，根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)確定點P位置，并求出點P的坐標(biāo)，再求出的長即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸分別交于，兩點，當(dāng)時，，當(dāng)時，∴，∴，∵為線段的中點，∴點，∵直線是第一象限的角平分線，且，∴直線垂直直線，∵對于，當(dāng)時，，∴在直線上，∴當(dāng)時，線段最小，此時點P在直線上，∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，聯(lián)立與得：，解得：或，∴點，∴，，∴的最小值為．故答案為：【變式3】（2025·安徽宣城·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點．（1）．（2）若（不與點，重合）是線段上的動點，過點作軸的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點，軸，軸，垂足分別為，，則四邊形面積的最大值為．【答案】【知識點】y=ax2+bx+c的最值、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題【分析】此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題、矩形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識，準確列出二次函數(shù)解析式是關(guān)鍵．（1）求出點和點的坐標(biāo)，利用勾股定理即可求出答案；（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為，證明四邊形是矩形，得到，則，得到四邊形的面積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，解得，∴點的坐標(biāo)為，聯(lián)立得到，解得或，∴,∴，故答案為：（2）設(shè)點C的坐標(biāo)為，∵過點作軸的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點，軸，軸，垂足分別為，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴四邊形的面積當(dāng)時，四邊形的面積取得最大值，故答案為：【題型三】反比例函數(shù)與特殊四邊形【例1】（2025·河北邯鄲·一模）如圖，正方形的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點處，已知點，若反比例函數(shù)的圖象與正方形有公共點（包括邊界），則的整數(shù)值有個．【答案】9【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形交點問題，反比例函數(shù)比例系數(shù)等．根據(jù)題意先求出，后將和均代入中即可得到和，繼而得到取值范圍及整數(shù)個數(shù)．【詳解】解：∵正方形的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點處，已知點，∴，∵反比例函數(shù)的圖象與正方形有公共點（包括邊界），∴將代入中得：，將代入中得：，∴的取值范圍為，其中共有9個的整數(shù)值，故答案為：9．抓反比例函數(shù)點坐標(biāo)特征（設(shè)為(a,k/a)），利用特殊四邊形性質(zhì)（如平行四邊形對角線中點重合、菱形鄰邊相等）建立代數(shù)關(guān)系。通過中點坐標(biāo)公式、距離公式聯(lián)立方程，結(jié)合k的幾何意義（面積）列等式，對動點問題分類討論，代入選項或利用對稱性簡化運算。【例2】（2025·廣東深圳·一模）如圖，矩形的兩邊，在坐標(biāo)軸上，且，，分別為，的中點，與交于點，且四邊形的面積為，則經(jīng)過點的雙曲線的解析式為．【答案】【知識點】解一元二次方程——直接開平方法、反比例函數(shù)與幾何綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．過作，交于，過作于，設(shè)，，由題意可知：，，，，證明，，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和解方程求出點坐標(biāo)即可．【詳解】解：過作，交于，過作于，設(shè)，，由題意可知：，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴（負值已舍去）∴，，∴的坐標(biāo)為，∴，∴經(jīng)過的雙曲線的解析式就是，故答案為：．【變式1】（2025·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的兩個頂點都在反比例函數(shù)的圖象上，對角線的交點恰好是原點，且對角線所在直線是第二、四象限的角平分線．若，，則反比例函數(shù)的表達式為．【答案】/【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系的特點，待定系數(shù)法反比例函數(shù)解析式，勾股定理等知識的綜合運用，掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理得到，待定系數(shù)法的運用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得到，對角線所在直線是第二、四象限的角平分線，過點作軸于點，如圖所示，可得，，即，則，運用待定系數(shù)法即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，在中，，∴，∵對角線所在直線是第二、四象限的角平分線，過點作軸于點，如圖所示，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，即，解得，（負值舍去），∴，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，故答案為：．【變式2】（2025·安徽合肥·一模）如圖，是坐標(biāo)原點，的直角頂點在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，點關(guān)于的對稱點為點，連接交反比例函數(shù)圖象于點．（1）；（2）點的橫坐標(biāo)為．【答案】【知識點】求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與幾何綜合、解直角三角形的相關(guān)計算、中點坐標(biāo)【分析】（1）由，可得，根據(jù)，可得，求出，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點的坐標(biāo)，即可求解；（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，最后聯(lián)立直線和反比例函數(shù)的解析式，即可求解．【詳解】解：（1），，在中，，，，點是的中點，，即，，（2）點關(guān)于的對稱點為點，，，設(shè)直線的解析式為，將、代入得：，解得：，直線的解析式為，由（1）可得反比例函數(shù)的解析式為，聯(lián)立，解得：（負值已舍去），點的橫坐標(biāo)為；故答案為：；．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解直角三角形，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．【變式3】（2025·安徽淮南·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（）的圖象與邊長是6的正方形的兩邊，分別相交于，兩點.（1）若點是的中點，則；（2）已知的面積為16，若動點在軸上，則的最小值是.【答案】18【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、最短路徑問題、用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，正確求出、的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．（1））由正方形的邊長是6和中點，得到點的坐標(biāo)為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由正方形的邊長是6，得到點的橫坐標(biāo)和點的縱坐標(biāo)為6，根據(jù)三角形的面積列方程得到兩點坐標(biāo)，作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則的長的最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵正方形的邊長是6，點是的中點，∴點的坐標(biāo)為，∴，即；（2）∵正方形的邊長是6，∴，，∴，，∵的面積為16，∴，∴或（舍去），∴，，作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，則的長的最小值，∵，∴，又，∴，即的最小值為.【變式4】（2025·安徽蚌埠·一模）在信息科技課上，小華同學(xué)利用幾何畫板的迷你坐標(biāo)系繪制了反比例函數(shù)的圖象，并打印了出來，善于思考的小華同學(xué)把自己的一張矩形卡紙繞著原點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置時，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，邊與反比例函數(shù)圖象交于點，邊與軸交于點，且．（1）的值為；（2）的值為．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、求反比例函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了矩形與反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定；分別過點作軸的垂線，垂足分別為，得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及點的坐標(biāo)得出點的坐標(biāo)，進而求得；延長交軸于點，過點作于點，求得直線的解析式，進而求得點的坐標(biāo)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，分別過點作軸的垂線，垂足分別為，∴∴∴∵∴又∵，則∴∴∴∴；則反比例函數(shù)解析式為如圖，延長交軸于點，過點作于點，∵∴，∴又∵四邊形是矩形∴，，∴∴∴設(shè)直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為，聯(lián)立解得：或（舍去）∴∴，∵∴∴故答案為：，．【變式5】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，在軸正半軸上（點在點的右側(cè)），，分別以，為直角邊作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函數(shù)的圖象與斜邊交于點，與斜邊交于點．（1）若是的中點，且點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．（2）過點作軸于點，過點作軸于點．若是的中點，陰影部分（四邊形的面積等于，則的值為．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖像上點的特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由點的坐標(biāo)為可得，，設(shè)點的縱坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，得到，求出值即可求解；（2）設(shè)，得以得到點的坐標(biāo)為，然后可以得到點的坐標(biāo)為，然后得到點的坐標(biāo)，根據(jù)陰影部分的面積求出值即可解題．【詳解】解：（1）點的坐標(biāo)為，，是的中點，，設(shè)點的縱坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，，解得：，（舍去），，點的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）設(shè)，，，，都是等腰直角三角形，點的坐標(biāo)為，是的中點，點的坐標(biāo)為，，陰影部分的面積等于，，，點的坐標(biāo)為，，，，故答案為：．【題型四】幾何圖形中動點之函數(shù)問題【例1】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖，等腰直角三角形中，，點為斜邊的中點，分別為邊上的動點，且．設(shè)的長為的周長為，圖2為點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長度為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查的是動點形成的函數(shù)圖象及全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，數(shù)形結(jié)合解決問題是解題關(guān)鍵，連接，先證明，得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，得出表達式，再根據(jù)圖象代入求出a值，即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接，等腰直角三角形中，，點為斜邊的中點，，，，，即，，，設(shè)，則，在中，，的周長為，由圖2知，當(dāng)時，，，解得：，，故選：C．設(shè)動點參數(shù)（如時間t），用幾何性質(zhì)（相似、勾股定理等）表示坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系式（常為面積、長度關(guān)于t的表達式）。抓臨界位置（起點、終點、特殊位置）確定定義域，結(jié)合圖象趨勢分析增減性或最值。選填題可代入特殊值驗證，或利用幾何直觀（如對稱、極值）快速排除選項，注意分類討論動點路徑分段情況。【例2】（2025·山東濟南·模擬預(yù)測）如圖①，在中，，，動點從點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點，過點作于點，圖②是點運動時，的面積隨時間變化的關(guān)系圖象，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解直角三角形，根據(jù)題意可得，的最大面積是，此時點與點重合，根據(jù)三角形的面積即可求出，進而求出的長，即可解答，根據(jù)圖象得到的最大面積是是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意可知：的最大面積是，此時點與點重合，如圖，在中，，設(shè)，則，，，解得（負值舍去），，，，，故選：C．【變式1】（2025·甘肅金昌·一模）如圖，在平行四邊形中，動點從點出發(fā)，沿折線方向勻速運動，運動到點時停止，設(shè)點的運動路程為，線段的長度為，與的函數(shù)圖象如圖所示．若的最大值為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象獲取有效信息，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．連接，過點作于，根據(jù)函數(shù)圖象可知：，，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根據(jù)即可解答．【詳解】解：連接，過點作于，如圖所示：由圖象可知，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，故選：D．【變式2】（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，扇形，一個動點從點出發(fā)，沿路線勻速運動，當(dāng)點運動的時間為時，的長為，則與的關(guān)系可以用圖象大致表示為（

）A．B．C．D．【答案】D【知識點】動點問題的函數(shù)圖象【分析】本題考查了動點問題函數(shù)圖象，理清點P在各邊時長度的變化情況是解題的關(guān)鍵．分別判斷出當(dāng)點P在線段上運動時，的長逐漸變大，點P在弧線上時，點P在線段上時，點P在線段上時，的變化情況，然后可得答案．【詳解】解：當(dāng)點P在線段上運動時，的長逐漸變大；點P在弧線上時，的長不變；當(dāng)點P在線段上運動時，的長逐漸變小；所以D選項的圖象符合．故選：D．【變式3】（2025·河南駐馬店·一模）如圖（1）所示，為矩形的邊上一點，動點，同時從點出發(fā)，點沿折線運動到點時停止，點沿運動到點時停止，它們運動的速度都是1/秒．設(shè)、同時出發(fā)秒時，的面積為．已知與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，；④當(dāng)秒時，；其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、求角的余弦值【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到，結(jié)合矩形性質(zhì)和三角形面積公式得到，利用勾股定理和函數(shù)圖象得到，即可判斷①；結(jié)合余弦定義，即可判斷②，當(dāng)時，設(shè)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，即可判斷③，相似三角形判定定理證明，即可解題．【詳解】解：①由圖（2）知，當(dāng)時，，由題知，當(dāng)時，，四邊形為矩形，，與間距為，，，，故，即①正確；②，故②錯誤；③當(dāng)時，設(shè)，過點，，解得，，故③錯誤；④當(dāng)秒時，點在上，此時，則，，，，，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①④，故選：C．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)，相似三角形判定，銳角三角函數(shù)，矩形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于從函數(shù)圖象獲取需要的信息．【變式4】（2025·甘肅定西·一模）如圖，在菱形中，點在邊上，連接，動點從點出發(fā)，在菱形的邊上沿勻速運動，運動到點時停止．在此過程中，的面積隨著運動時間的函數(shù)圖象如圖所示，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查的是動點函數(shù)圖象問題、菱形的性質(zhì)、勾股定理．設(shè)菱形的邊長為，過點作交于點，根據(jù)圖象可得，當(dāng)點運動到點時，面積最大，為，求出，根據(jù)當(dāng)點運動到點時，停止運動，此時面積為，求出，再根據(jù)，即可．【詳解】解：設(shè)菱形的邊長為：，過點作交于點，由圖可得，當(dāng)點運動到點時，面積最大，為，∴，解得：；當(dāng)點運動到點時，停止運動，此時面積為，∴，∴，∴，∴．故選：D．【變式5】（2025·新疆昌吉·一模）如圖1，在矩形中，，E是邊上的一個動點，，交于點F，設(shè)，，圖2是點E從點B運動到點C的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則的長為．【答案】5【知識點】動點問題的函數(shù)圖象、圖形運動問題(實際問題與二次函數(shù))、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象問題，根據(jù)題意求出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．首先推導(dǎo)出，利用三角形相似求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式進行分析求解．【詳解】解：，，．，．，．，，，設(shè)，則，整理得，由圖象可知，點從點運動到點的過程中，關(guān)于的函數(shù)圖象為拋物線，且頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，拋物線過點，，解得，，，．故答案為∶5．【題型五】二次函數(shù)與其他函數(shù)綜合問題【例1】（2025·安徽合肥·一模）已知拋物線．（1）當(dāng)時，拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）點，為拋物線上兩點，若，總有，則的取值范圍是．【答案】或【知識點】把y=ax2+bx+c化成頂點式、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】（1）配方成頂點式求解即可；（2）首先求出對稱軸為直線，然后分兩種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）當(dāng)時，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為故答案為：；（2）∵拋物線∴對稱軸為直線當(dāng)時，拋物線開口向上∴時，y隨x的增大而增大∵點，為拋物線上兩點，若，總有，∴∴；當(dāng)時，拋物線開口向下∴時，y隨x的增大而增大；時，y隨x的增大而減小；∵點，為拋物線上兩點，若，總有，∴∴綜上所述，的取值范圍是或．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將一般式配方成頂點式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．聯(lián)立函數(shù)方程化為一元二次方程，用判別式判斷交點個數(shù)，韋達定理分析坐標(biāo)關(guān)系。結(jié)合二次函數(shù)圖象開口、對稱軸，通過特殊值（如頂點、端點）定位交點范圍，對含參問題取臨界值代入選項驗證，數(shù)形結(jié)合快速排除錯誤答案，注意區(qū)間內(nèi)交點存在性的分類討論。【例2】（2025·遼寧·一模）如圖，拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O，頂點，矩形的頂點A，D在拋物線上，B，C在x軸的正半軸上，點A的縱坐標(biāo)是，則矩形的周長為．【答案】/【知識點】圖形問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)并能正確求出二次函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵．先由題意得出拋物線的解析式為，然后將點A的縱坐標(biāo)代入解析式得到兩點的坐標(biāo)，進而即可得解．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O，∴，∴，∴拋物線的解析式為，∵點A的縱坐標(biāo)是，∴，∴，，∴，，∴，，∴矩形的周長，故答案為：．【變式1】（2025·安徽滁州·一模）已知拋物線的對稱軸與軸正半軸相交．（1）不論取何值時，該拋物線過一定點，則該點坐標(biāo)為；（2）若點，在該拋物線上，且，，則的取值范圍是．【答案】【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的點的特征，確定m的范圍是本題的難點．（1）將拋物線的解析式化為兩根式，求得拋物線與軸的交點，其中一個是定點，不隨的變化而變化；（2）根據(jù)題意得，即，求得在拋物線上，且，判斷出，得，求出的取值范圍．【詳解】解：①，∴拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，∴無論取何值，拋物線總與軸交于，故答案為：；②∵拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，且對稱軸與軸正半軸相交．∴，∴，∵，∴拋物線開口向下，∵在該拋物線上，且，∴，∵，∴，∵在拋物線上，且，∴，∴，∴，故答案為：．【變式2】（2025·安徽合肥·一模）已知拋物線經(jīng)過點，，（1）拋物線的對稱軸為；（2）點，在拋物線上，且，則t的取值范圍是．【答案】直線【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、已知拋物線上對稱的兩點求對稱軸【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）根據(jù)對稱性求出對稱軸即可；（2）根據(jù)對稱軸求出值，求出和時的函數(shù)值，根據(jù)，進行求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點，，∴拋物線的對稱軸為直線；故答案為：；（2）∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，∵點，在拋物線上，∴，∵，∴，解得：；故答案為：．【變式3】（2025·黑龍江大慶·一模）定義：二次項系數(shù)之和為1，對稱軸相同，且圖象與軸交點也相同的兩個二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，則的值為．【答案】或3/3或【知識點】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握理解友好同軸二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．②分且且、兩種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：二次函數(shù)，則設(shè)，所以，解得，所以，（Ⅰ）當(dāng)且且時，拋物線的開口向上，當(dāng)時，隨的增大而減小；當(dāng)時，隨的增大而增大，則當(dāng)時，取得最小值，最小值為，當(dāng)時，取得最大值，最大值為4，所以，解得，符合題設(shè)；（Ⅱ）當(dāng)時，拋物線開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減小，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為，當(dāng)時，取得最小值，最小值為4，所以，解得，符合題設(shè)；綜上，的值為或3．故答案為：或3．易錯點一：反比例函數(shù)求K值未考慮圖象所在的象限錯誤求反比例函數(shù)k值時，圖象所在象限是符號判斷的核心：1.

定象限，判符號：圖象在一、三象限?k＞0；二、四象限?k＜0，勿混淆符號與象限對應(yīng)關(guān)系。2.

點坐標(biāo)驗符號：若點在某象限，其橫縱坐標(biāo)同號（一、三）或異號（二、四），代入y=k/x后符號與k一致，避免忽略坐標(biāo)符號直接計算。3.

含參問題需討論：若k含參數(shù)（如k=m+1），先由象限定k范圍（如k＜0），再解參數(shù)不等式（m+1＜0），防止直接代值忽略符號約束。易混點：誤將單一象限圖象當(dāng)作雙支，或忽略多象限點的符號矛盾，需結(jié)合圖象或坐標(biāo)嚴格推導(dǎo)。例1．（2025·陜西渭南·一模）如圖，點是反比例函數(shù)（k為常數(shù)，，）的圖象上一點，過點作軸的平行線，交軸于點．點為軸正半軸上的一點，連接，．若的面積為2，則的值是．【答案】4【知識點】根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）【分析】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．本題設(shè)，得到，以為底邊的高，然后根據(jù)的面積為2，即可求解；【詳解】解：∵點是反比例函數(shù)（k為常數(shù)，，）的圖象上一點，∴設(shè)，∴中，以為底邊的高，∴，∴，故答案為：4；變式1：（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點B在x軸負半軸上，頂點O在反比例函數(shù)的圖象上，若點A的坐標(biāo)為，的面積為6，則k的值為．【答案】【知識點】根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）、利用平行四邊形的性質(zhì)求解【分析】本題主要考查反比例圖像上點的性質(zhì)，涉及兩點之間距離、平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形面積公式，理解反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．過點作于點，結(jié)合題意可得，通過平行四邊形的面積可得，因為點A的坐標(biāo)為，進而得出點的坐標(biāo)，代入反比例圖像即可得解．【詳解】解：過點作于點，，則，的面積為6，，即，，，點A的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為即，把代入反比例函數(shù)的圖象，可得，，．故答案為：．變式2：（2025·河北張家口·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點C是反比例函數(shù)圖象上的兩點，線段經(jīng)過原點，以為邊作等邊，反比例函數(shù)恰好過點B，則k的值為．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合、三線合一、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．過點作軸于點，過點作軸于點，設(shè)，則，由是等邊三角形，，推出，，證明，得到，求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，設(shè)，則，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．變式3：（2025·遼寧鐵嶺·一模）如圖，的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，在軸的正半軸上，與y軸交于點E，與軸交于點．若的面積為6，則的值是．【答案】【知識點】反比例函數(shù)與幾何綜合【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．設(shè)，，則，，根據(jù)，得到，再由點在反比例函數(shù)的圖象上，即可解答．【詳解】解：設(shè)，，∵，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，即，∵，，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴．故答案為：易錯點二：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象共存問題錯誤圖像共存易錯點拔：1.

符號一致性：一次函數(shù)k與b、反比例函數(shù)k、二次函數(shù)a/b/c符號需統(tǒng)一。如二次函數(shù)開口向上（a＞0），若一次函數(shù)過一、三象限，則k＞0，勿出現(xiàn)矛盾（如反比例函數(shù)k＜0卻在一、三象限）。2.

特殊點驗證：x=0時，一次函數(shù)截距b與二次函數(shù)c值需對應(yīng)；反比例函數(shù)無原點，勿誤判圖像過原點。3.

對稱軸與一次函數(shù)關(guān)聯(lián)：二次函數(shù)對稱軸x=-b/(2a)需與一次函數(shù)斜率k邏輯一致（如a＞0且對稱軸在y軸左側(cè)，則b＞0，對應(yīng)一次函數(shù)若k=b，需k＞0）。4.

象限分布矛盾：反比例函數(shù)雙支象限需與一次函數(shù)、二次函數(shù)最值位置匹配，避免出現(xiàn)“二次函數(shù)最小值在第四象限，而反比例函數(shù)在一、三象限”的沖突。例1．（2025·廣東韶關(guān)·一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．【答案】D【知識點】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的圖象，可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實際是否相符，判斷正誤即可．解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等．【詳解】解：A、由一次函數(shù)的圖象可判斷矛盾，故不符合題意；B、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向下，和軸的正半軸相交，且與一次函數(shù)交于同一點，故選項不符合題意；C、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向下，和軸的正半軸相交，且與一次函數(shù)交于同一點，故選項不符合題意；D、由一次函數(shù)的圖象可得：，此時二次函數(shù)的圖象應(yīng)該開口向上，和軸的負半軸相交，且與一次函數(shù)交于同一點，故選項符合題意．故選：D．變式1：（2025·河南周口·一模）在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識點】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像特點是解題關(guān)鍵．分兩種情況：①當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限；二次函數(shù)的圖像的開口向上，頂點在軸正半軸上；②當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限；二次函數(shù)的圖像的開口向上，頂點在軸負半軸上，由此即可得．【詳解】解：當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限；二次函數(shù)的圖像的開口向上，頂點在軸正半軸上，當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、三、四象限；二次函數(shù)的圖像的開口向上，頂點在軸負半軸上，觀察四個選項可知，只有選項B符合，故選：B．變式2：（2025·安徽·一模）二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識點】反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)的分析得到二次函數(shù)圖象，從而判斷反比例函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)，對稱軸直線為，當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向上，則反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)時，二次函數(shù)圖象開口向下，則反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限；只有B選項符合題意，故選：B．變式3：（2025·安徽宣城·一模）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【知識點】根據(jù)一次函數(shù)解析式判斷其經(jīng)過的象限、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)圖象確定k的取值范圍，再據(jù)此分析反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象特征．先由一次函數(shù)圖象得出的取值范圍，再分別根據(jù)反比例函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，判斷其圖象所在象限和開口方向等特征，從而確定符合條件的選項．【詳解】解：對于一次函數(shù)，其圖象經(jīng)過一，二，四象限．根據(jù)一次函數(shù)（為斜率，為截距）性質(zhì)，斜率，即；截距，當(dāng)時，根據(jù)反比例函數(shù)為常數(shù)且性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象在一，三象限，，二次函數(shù)圖象開口向下；又因為截距，所以二次函數(shù)圖象與軸正半軸相交．綜上，反比例函數(shù)圖象在一，三象限，二次函數(shù)圖象開口向下且與軸正半軸相交，對比選項，A正確，故選：A．易錯點三：根據(jù)二次函數(shù)的圖象討論各系數(shù)a,b,c有關(guān)式子正誤錯誤1.開口方向定a：開口向上?a＞0，向下?a＜0，勿顛倒。2.對稱軸判ab符號：對稱軸x=-b/(2a)在y軸左?ab同號，右?異號，忌單獨看b。3.與y軸交點定c：交點在正半軸?c＞0，負半