河南省2025屆高三上學期12月聯考數學試題

第第頁河南省2025屆高三上學期12月聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=?2?2i，則|z|=A.0B.2C.4D.22.已知集合A={x|x2?4x+3=0}，B={x|(x?2)A.?1B.0C.1D.23.函數f(x)=2x3+A.y=6x?4B.y=?6x?4C.y=6x+4D.y=?6x+44.已知0<α<β<π2，cos(α+β)=5A.35B.725C.245.銅錢，古代銅質輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示．若圖中正方形ABCD的邊長為2，圓O的半徑為3，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，動點P在圓O上，則PA?PBA.1B.3C.2D.46.已知函數f(x)=ax2+a(a>0且a≠1)的圖象與直線y=a交于AA.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,4)7.如圖，第1個圖案中的小正方形和小長方形共有5個，第2個圖案中的小正方形和小長方形共有13個．根據圖案的規律，第10個圖案中的小正方形和小長方形共有A.162個B.221個C.163個D.222個8.將2個棱長均為2的直三棱柱密封在一個球體內，則該球體的體積的最小值為A.32π3B.2821π7二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F，A.BD⊥平面B1EFB.BG⊥平面B1EFC.A1C10.已知定義在R上的函數f(x)不是奇函數，且?x∈R，f(?x)=?f(x)，則A.f(0)=0B.?x∈R，f(?x)≠?f(x)C.f(x)的解析式可以是f(x)=?|x|+1D.f(x)的解析式可以是f(x)=11.已知函數f(x)=|sinA.f(x)是偶函數B.f(x)的最小正周期是2πC.f(x)的圖象關于直線x=π2對稱D.若?x1∈0,2π3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等比數列{an}的前n項積為Tn，若T13.已知2x2y214.已知函數f(x)=x3?πx2?sinx+π2x4的零點分別是x1，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos(1)證明：△ABC為等腰三角形．(2)若D是AC的中點，求∠CBD的最大值．16.(本小題15分)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為菱形，△PDC為等邊三角形，平面PDC⊥平面ABCD，AB⊥PB，E為CD的中點．(1)證明：△PBE為等腰直角三角形．(2)求二面角A?DP?C的正弦值．17.(本小題15分)已知函數f(x)=loga(1)若f(x)的圖象經過點(1,2)，求a的值；(2)若?x∈(?∞,?1)，f(x)>loga(18.(本小題17分)已知{a①對于{an}中任意兩項ai，aj(i<j)，在②對于{an}中任意一項an(n≥3)，在{a(1)若an=2(2)若an=n，判斷(3)若{an}同時滿足性質①和性質②，證明：a1，a219.(本小題17分)對于一個函數f(x)和一個點M(a,b)，令函數s(x)=f(x)?bx?a，若x0是s(x)的極值點，則稱點P(x0(1)對于函數f(x)=ex，證明：對于點M(1,0)，存在點P，使得點P是M在(2)對于函數f(x)=13x4+ax2，M(0,0)，若不存在點P，使得點P(3)對于函數f(x)=(x2+ax)lnx，M(0,0)，若存在兩個不同的點P，使得點P是M答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查復數的模，掌握模的公式是求解的關鍵.根據復數z=a+bi(a,b∈R)的模為：|z|=a2+b2，直接由求模公式求模即可.【解析】2.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查集合關系中的參數問題，屬于基礎題.由題意，得A={1,3}又B中最多有兩個元素，且A?B，所以A=B，進而求解a.【解答】

解：A={x|x2?4x+3=0}={1,3}，B中最多只有2個元素.又因為A?B，所以A=B，所以3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，屬于基礎題.求出導數，利用導數的幾何意義求出k=f'1=6，結合f(1)=2，利用點斜式，即可求出結果.【解答】

解：因為f(x)=2x3+lnx?x+1，所以f(1)=2，f'x4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查三角函數求值問題，屬于基礎題.利用同角基本關系以及兩角和的正弦即可求解.【解答】

解：因為0<α<β<π2，所以0<α+β<π，0<β?α<π2.因為cos(α+β)=555.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了向量數量積運算，屬于中檔題

取AB的中點E，連接PE，可得PA?【解答】

解：取AB的中點E，連接PE，

則PA?PB=(PE+EA6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了函數零點問題，屬于中檔題;f(x)=ax【解答】

解：令f(x)=ax2+a=a，則x2+a=1，即x2=1?a，若f(x)的圖象與直線y=a有2個交點，則1?a>0，解得a<1，所以a的取值范圍是7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了等差數列的實際應用，屬于基礎題;由題意，各圖中所含小正方形和小長方形的總個數，歸納利用等差數列前n項和公式可得，第n個圖案中的小正方形和小長方形的總個數為2n2【解答】

解：由題意，各圖中所含小正方形和小長方形的總個數分別為1+4，1+4+4×2，1+4+4×2+4×3，?，歸納可得，第n個圖案中的小正方形和小長方形的總個數為1+4+4×2+4×3+?+4n=1+4×(1+n)n2=2n2+2n+18.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查多面體的外接球，屬于中檔題．

分合成直三棱柱和直四棱柱兩種情況計算比較即可.【解答】

解：若將這2個直三棱柱合成1個高為4的直三棱柱，其外接球的半徑為(233)2+22=49.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查了線面垂直的判定，線面平行的判定，利用空間向量判定線面的垂直、平行關系，屬于中檔題.以點

D為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量判定線面的垂直、平行關系判斷.【解答】

解：以點D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設AB=2，則B1(2,2,2)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，G(0,0,1).EF=(?1,1,0)，EB1=(0,1,2)，BG=(?2,?2,1)，DB=(2,2,0)，A1C1=(?2,2,0)，DA1=(2,0,2).設平面B1EF的法向量為m=(x,y,z)，則m?EF=?x+y=0,m?EB1=y+2z=0,取m=(2,2,?1).因為BG//m，所以BG⊥平面B1EF，B10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了函數奇偶性應用，屬于基礎題

結合函數奇偶性定義逐項判定即可【解答】

解：f(0)不一定為0，A錯誤；因為f(x)不是奇函數，所以?x∈R，f(?x)≠?f(x)，B正確；f(x)=?|x|+1不是奇函數，且f(?1)=?f(1)，符合題意，C正確；f(x)=?x2+2,x≥0,x,x<0不是奇函數，且f(?1)=?f(1)，符合題意，11.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查函數的圖象和性質，函數的奇偶性、周期性、對稱性，屬于中檔題．根據函數的奇偶性的定義，函數的周期性的定義，函數的對稱性，函數的圖象和性質逐一判斷即可．【解答】解：因為f(?x)=|sin(?x)|(|cos(?x)|+1)=|sinx|(|cosx|+1)=f(x)，所以f(x)是偶函數，A正確.因為f(x+π)=|sin(x+π)|[|cos(x+π)|+1]=|sinx|(|cosx|+1)=f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2π，B錯誤.f(π?x)=|sin(π?x)|[|cos(π?x)|+1]=|sinx|(|cosx|+1)=f(x)，所以f(x)的圖象關于直線x=π2對稱，C正確.當x∈(0,π2)時，f(x)=sinx(cosx+1)，f'(x)=(2cosx?1)(cosx+1)，當x∈(0,π3)時，f'(x)>0，當x∈(π3,π2)時，f'(x)<012.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查等比數列的性質以及應用，注意分析Tn的性質，屬于基礎題．根據題意，可得a5a6a7=1，結合等比數列的性質得a5a7=a13.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查了"1"的妙用以及利用單調性求最值，屬于基礎題．

將(x2+y2解：(x2+y2)2=x414.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查了函數的零點問題，考查了轉化與化歸思想，屬于中檔題．

由題意可得x=0是f(x)的一個零點，當x≠0時，令x2?πx?sinx+π24=0，求出的零點，即為f(x)零點，代入計算即可得答案．【解答】

解：令f(x)=x(x2?πx?sinx+π24)=0，顯然x=0是f(x)的一個零點，當x≠0時，令x2?πx?sinx+π24=0，則x2+π15.【答案】(1)證明：若cosA=0，則cosB=0，所以A=B=π2，不符合題意，所以cosA≠0.同理，cosB≠0.因為cosA(sinB+1)=cosB(sinA+1)，所以sinA+1cosA=sinB+1cosB，所以(sinA2+cosA2)2cos2A2【解析】本題考查余弦定理的應用及二倍角公式的應用，屬于中檔題.(1)利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，將已知等式化為sin(A2?B2)=016.【答案】解：(1)證明：在△PCD中，E為CD的中點，所以PE⊥CD，PE=3CE.因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE?平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.因為BE、AB?平面ABCD，所以PE⊥BE，PE⊥AB，∠PEB=90°.因為AB⊥PB，PE∩PB=P，PE、PB?平面PBE，所以AB⊥平面PBE.因為BE?平面PBE，所以AB⊥BE，所以∠ABE=∠BEC=90°.因為CE=12CD=12BC，所以BE=BC2?CE2=3CE，所以PE=BE，△PBE為等腰直角三角形.(2)設DC=2，以E為坐標原點，EB，EC，EP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,0,3)，A(3,?2,0)，D(0,?1,0).PA=(3,?2,?3【解析】本題考查了面面垂直的性質，線面垂直的判定，考查了二面角求解，屬于中檔題(1)利用面面垂直的性質，線面垂直的判定證得∠BEC=90°，PE=BE即可；17.【答案】解：(1)由已知，f1=2，即logaa+1=2，所以a2=a+1，解得a=1+52或a=1?52(舍去)，故a的值為1+52；(2)f(x)>loga(a2x?11)，即loga(ax+1)>loga(a2x?11).①當a>1時，函數g(x)=ax是增函數，當x∈(?∞,?1)時，ax<1，a2x?11<0，不滿足定義域，不符合題意.②當0<a<1【解析】本題主要考查指數函數，對數函數的性質，利用其單調性解不等式，以及解決不等式恒成立問題，屬于中檔題.(1)由已知，根據f1=2，即可求出a的值；(2)因為f(x)>loga(a2x?11)，即loga(ax+1)>loga18.【答案】(1)解：因為a2=4，a1=2，2a2?a1=6，而6不是{an}中的項，所以{an}不滿足性質①.(2)解：?ai，aj(i,j∈N+,i<j)，2aj?ai=2j?i∈N+，所以2aj?ai=a2j?i，所以{an}滿足性質①.

?n∈N+，n≥3，?k=n?2，l=n?1，an=2an?1?an?2=2al?ak，所以{an}滿足性質②.(3)證明：{an}【解析】本題屬于新定義題，涉及數列的通項公式，等差數列的判定與證明，數列的函數特性，考查邏輯思維能力，屬中高檔題．(1)取特值檢驗，即可否定；(2)根據通項公式直接驗證即可；(3)先利用性質②，取n=3，此時a3=2ak?alk>l，由數列的單調遞增證得k<3，進而k=2,l=1，得到19.【答案】(1)證明：M(1,0)，s(x)=exx?1，s'(x)=(x?2)ex(x?1)2.當x∈(?∞,1)∪(1,2)時，s'(x)<0;當x∈(2,+∞)時，s'(x)>0.所以s(x)在(?∞,1)，(1,2)上單調遞減，在(2,+∞)上單調遞增，則2是s(x)的極小值點，故存在點P(2,e2)，使得點P是M在f(x)的“邊界點”.(2)解：M(0,0)，s(x)=13x4+ax2x=13x3+ax(x≠0)，s'(x)=x2+a(x≠0).因為不存在點P，使得點P是M在f(x)的“邊界點”，所以s(x)沒有極值點.若a≥0，則s'(x)>0，s(x)沒有極值點.若a<0，則當x∈(?∞,