第8講　函數(shù)的單調(diào)性與最值

第8講函數(shù)的單調(diào)性與最值第二章基本初等函數(shù)202X/01/01匯報人：鏈教材·夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標題1．(人A必一P85習(xí)題T1改)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (

)A．[－1,3] B．[－1,2]和[4,5]C．[－1,2] D．[－3，－1]和[2,4]B2．(人A必一P86習(xí)題T3改)(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是(

)A．f(x)＝－2x＋1 B．f(x)＝x2＋1【解析】BCDA．f(x)的最大值為2，最小值為0.4B．f(x)的最大值為2，沒有最小值C．f(x)沒有最大值，最小值為0.4D．f(x)的最大值與最小值都沒有C4．(人A必一P100復(fù)習(xí)參考題T4)已知函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍為_____________________________．【解析】(－∞，40]∪[160，＋∞)5．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)在其定義域上單調(diào)遞減，那么不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集為________________．【解析】(－1,0)∪(0,3)1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意的兩個數(shù)x1，x2∈A當x1＜x2時，都有____________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增函數(shù)當x1＜x2時，都有____________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減函數(shù)圖象描述自左向右看，圖象是__________自左向右看，圖象是__________f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)上升的下降的(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對于函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果當x∈(a，b)時，u∈(m，n)，且u＝g(x)在區(qū)間(a，b)上和y＝f(u)在區(qū)間(m，n)上同時具有單調(diào)性，那么復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))在區(qū)間(a，b)上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：____________．同增異減2．若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：(1)f(x)與f(x)＋C(C為常數(shù))具有________的單調(diào)性．(2)f(x)與－f(x)的單調(diào)性________．(3)當a＞0時，af(x)與f(x)的單調(diào)性________；當a＜0時，af(x)與f(x)的單調(diào)性________．相同相反相同相反相同(6)f(x)與g(x)的和與差的單調(diào)性(相同區(qū)間上)：簡記為：①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘；③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘．相反相同3．函數(shù)的最值前提函數(shù)y＝f(x)的定義域為D條件(1)對于任意x∈D，都有______________；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)對于任意x∈D，都有___________；(4)存在x0∈D，使得_______________結(jié)論M為最大值M為最小值幾何意義函數(shù)y＝f(x)圖象上最高點的縱坐標函數(shù)y＝f(x)圖象上最低點的縱坐標f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝M4．常用結(jié)論(1)函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論設(shè)?x1，x2∈D(x1≠x2)，則(2)函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最值一定在端點取到；②開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(或小)值．研題型·能力養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標題目標1判斷函數(shù)的單調(diào)性視角1基本初等函數(shù)單調(diào)性的直接判定

(2021·全國甲卷文)下列函數(shù)是增函數(shù)的為 (

)1－1【解析】【答案】A視角2定義法證明函數(shù)單調(diào)性【解答】1－2【解答】1－2視角3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【解析】1－3A．[0,3] B．(－∞，3]C．[3,6] D．[3，＋∞)C

(2)函數(shù)f(x)＝－|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間為______________；函數(shù)g(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____________．1－3【解析】[2，＋∞)(4，＋∞)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間．(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法．易錯警示函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開寫，用“，”或“和”連接，不要用“∪”．變式1函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【解析】[1,2]目標2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用視角1解抽象不等式若f(x)是定義在(－∞，0]上的減函數(shù)，則不等式f(2x＋3)≤f(x＋1)的解集為______________．【解析】2－1變式2－1

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．若當x∈[0,1]時，f(ax)＜f(x－1)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．【解析】因為f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的對稱軸為x＝1．因為f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，所以自變量越靠近對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值越小．(0,2)視角2求參數(shù)的取值范圍【解析】2－2【解析】2－2(－∞，－3]利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．A．[0，＋∞) B．(－∞，1] C．(0,1) D．[0,1]【解析】D目標3函數(shù)的最值(值域)3【解析】【解析】3【解析】3【解析】3求函數(shù)值域的主要方法(1)配方法：對于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域問題，可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結(jié)合二次函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域(第10講會涉及)．(2)單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接求最值．(3)分離常數(shù)法：分子分母都是一次函數(shù)的情形，先分離常數(shù)，再利用反比例函數(shù)的圖象求解．(4)基本不等式法：第6講已有涉及．

(6)判別式法：將函數(shù)式化成關(guān)于x的方程，且方程有解，用判別式求出y的取值范圍或最值．【解析】7或－1“對勾”函數(shù)與“飄帶”函數(shù)新視角【解析】4－1B【解析】4－2A1．(2023·北京卷)下列函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是 (

)【解析】C【解析】AA．[0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．[0，＋∞)【解析】當x＜0時，f(x)＝－2x＋1單調(diào)遞減；當x≥0時，f(x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，f(x)在[0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．A4．(2024·呂梁二模)已知函數(shù)y＝f(4x－x2)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)的解析式可以為 (

)A．f(x)＝4x－x2 B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝－sinx D．f(x)＝x【解析】【答案】A配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標題A組夯基精練一、單項選擇題1．設(shè)a∈R，已知函數(shù)y＝f(x)是定義在[－4，4]上的減函數(shù)，且f(a＋1)＞f(2a)，則a的取值范圍是 (

)A．[－4，1) B．(1，4]C．(1，2] D．(1，＋∞)【解析】因為函數(shù)y＝f(x)是定義在[－4，4]上的減函數(shù)，且f(a＋1)＞f(2a)，所以－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2．C2．函數(shù)g(x)＝x|x－1|＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為 (

)【解析】BA．(－∞，－2)∪(0，3) B．(－∞，－2)∪(0，3]C．(－∞，－2)∪(0，10) D．(－∞，－2)∪(0，10]【解析】B【解析】【答案】D【解析】C二、多項選擇題

A．當a＞0時，f(x)在定義域上單調(diào)遞增B．當a＝－4時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)C．當a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．當a＞0時，f(x)的值域為R【解析】【答案】BCDA．當a＝0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)B．不論a為何值，函數(shù)f(x)既沒有最小值，也沒有最大值C．不論a為何值，函數(shù)f(x)的圖象與x軸都有交點D．存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)【解析】【答案】BCD【