《最短路徑問題》教學課件

13.4

課題學習最短路徑問題林州市紅旗渠大道學校郝芳云人教版

八年級

上冊第十三章軸對稱13.4

課題學習最短路徑問題林州市九中楊改青第十三章軸對稱

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點之間,線段最短①②③溫故知新

引出課題4

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短PA2OA1aA3…

“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題.溫故知新

引出課題

問題

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？創設情境

引入新知lAB精通數學、物理學的海倫稍加思索，就利用數學知識幫將軍解答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．

BAl創設情境

引入新知lABCC轉化為數學問題當點C在直線l的什么位置時，AC+CB的和最小？分析：ABl如果點A、B在直線l的異側時聯想：lABC圖片B請問：怎樣走才能使總路程最短呢？ACBl兩點之間，線段最短思考：能把A、B兩點從直線l

的同側轉化為異側嗎？

分析：lABClABC

作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；典例剖析

兩點一線型問題1

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·B′（2）連接AB′，與直線l相交于點C．

則點C即為所求．CABl

B/CM為什么這樣做就能得到最短距離呢？即MA+MB′>CA+CB′

由三角形任意兩邊之和大于第三邊可知：推理論證:兩點一線型

MA+MB′>AB′由軸對稱性質可知：CB′=CB,MB′=MB即MA+MB′>CA+CBMA+MB>CA+CB問題1歸納lABClABCB′lABC

轉化為

數學問題

用舊知

解決新知聯想舊知解決實際問題ABl如圖，馬棚A建在草地和小河所夾的角的內部，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬棚草地小河A問題：請你確定這一過程的最短路徑.情境變換

問題呈現如圖，在l1、l2之間有一點A,要使AM+MN+NA最小,點M、N應該在

l1、l2的什么位置

?l1l2AMN典例剖析

兩點一線型l1l2MNA’AA’’典例剖析

兩點一線型如圖，在l1、l2之間有一點A,要使AM+MN+NA最小,點M、N應該在

l1、l2的什么位置

?解：如圖：M、N即為所求。ABPQNlM如圖：一天牧馬人要從馬棚A牽出馬到草地邊吃草，再到河邊飲水，最后回到帳篷B，請你幫他確定這一天的最短路線。l2l1情境再換

問題

又現PQABA’B’l1l2典例剖析

兩點兩線型19類型問題作法圖例原理兩點一線型ABl直線l上找一點C，使AC+BC的值最小.AClBB′

作點B關于直線l的對稱點B＇，連接AB＇,交直線l于C，則點C即為所求。

通過軸對稱把直線同側的兩點到直線上一點距離的和最短的問題轉化為兩點間距離最短問題.歸納感悟20類型問題作法圖例原理一點兩線型在直線l1和直線l2上分別找點M，N，使△PMN的周長最小.

過點P分別作關于直線l1和l2的對稱點P′，P＂，連接P′P′′分別交l1和l2于點M，N，則點M，N即為所求通過軸對稱把周長最小問題轉化為兩點間距離最短問題,△PMN周長的最小值為MP+MN+NP＝P′P′′，依據是兩點之間，線段最短.Ol1l2POl1l2PP′P′′MN歸納感悟21類型問題作法圖例原理兩點兩線型通過軸對稱把周長最小問題轉化為兩點間距離最短問題,四邊形PQMN周長的最小值為MP+PQ+NQ+MN＝P′Q′+PQ，依據是兩點之間，線段最短.在直線l1和直線l2上分別找點M，N，使四邊形PQNM的周長最小.Ol1l2PQ

分別作點P,Q關于直線l1和l2的對稱點P′，Q′，連接P′Q′分別交l1和l2于點M，N，則點M，N即為所求.Ol1l2PMN歸納感悟小露一手：已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的定點，你能在BC上確定一點R，使△PQR的周長最短嗎？

如圖，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?

DBAC走進生活如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，∠AMN+∠ANM的度數為多少？

ABDC挑戰自我ABDCA′A″NM挑戰自我解題思路：課堂小結1、通過本節課的學習你有哪些收獲？2、你有何感受？271、課本第93頁第15題；作業布置