難點解析北師大版9年級數學上冊期中試題（黃金題型）附答案詳解

北師大版9年級數學上冊期中試題考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題20分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，在正方形中，，E為對角線上與A，C不重合的一個動點，過點E作于點F，于點G，連接．下列結論：①；②；③；④的最小值為3．其中正確結論的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2、若直角三角形的兩邊長分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積是（

）A．6 B．12 C．12或 D．6或3、某軌道列車共有3節車廂，設乘客從任意一節車廂上車的機會均等，某天甲、乙兩位乘客同時乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節車廂上車的概率是（

）A． B． C． D．4、如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點，EF∥CB，交AB于點F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．95、如圖，在四邊形ABCD中，，且AD＝DC，則下列說法：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，則四邊形ABCD的面積為24，其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6、平行四邊形、矩形、菱形、正方形共有的性質是（

）．A．對角線互相平分 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．對角形互相垂直平分7、如圖1，矩形中，點為的中點，點沿從點運動到點，設，兩點間的距離為，，圖2是點運動時隨變化的關系圖象，則的長為（

）A． B． C． D．二、多選題（3小題，每小題2分，共計6分）1、下列方程中，關于x的一元二次方程有（

）A．x2=0 B．ax2+bx+c=0 C．x2－3=x D．a2+a－x=0E．(m－1)x2+4x+=0 F． G．=2 H．(x+1)2=x2－92、下列方程一定不是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．3、關于的方程有兩個不相等的實數根，則下列結論一定正確的是（

）A．， B．C． D．當時，第Ⅱ卷（非選擇題80分）三、填空題（10小題，每小題2分，共計20分）1、若正方形的對角線的長為4，則該正方形的面積為_________．2、社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程．整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖象如圖所示，經分析可以推斷盒子里個數比較多的是___________（填“黑球”或“白球”）．3、如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝8，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，則EG2+FH2的值為_____．4、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列結論：①若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；②若b＞a+c，則方程有兩個不相等的實數根；③若b=2a+3c，則方程有兩個不相等的實數根；④若m是方程的一個根，則一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中結論正確的序號是__________．5、一元二次方程的解為__________．6、邊長分別為a和2a的兩個正方形按如圖的樣式擺放，則圖中陰影部分的面積為_____．7、布袋中有紅、黃、藍三個球，它們除顏色不同以外，其他都相同，從袋中隨機取出一個球后再放回袋中，這樣取出球的順序依次是“紅—黃—藍”的概率是__________．8、對一批口罩進行抽檢，統計合格口罩的只數，得到合格口罩的頻率如下：抽取只數（只）50100150500100020001000050000合格頻率0.820.830.820.830.840.840.840.84估計從該批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率為_____．9、如果關于x的方程x2﹣3x+k＝0（k為常數）有兩個相等的實數根，那么k的值是___．10、袋中有五顆球，除顏色外全部相同，其中紅色球三顆，標號分別為1，2，3，綠色球兩顆，標號分別為1，2，若從五顆球中任取兩顆，則兩顆球的標號之和不小于4的概率為__．四、解答題（6小題，每小題10分，共計60分）1、如圖，在矩形中，對角線與相交于點E，過點A作，過點B作，兩線相交于點F．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，求證：．2、如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當AB與AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．3、如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O．過點C作BD的平行線，過點D作AC的平行線，兩直線相交于點E．（1）求證：四邊形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面積是．4、如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一點，將△ABE沿著AE折疊，點B剛好落在CD邊上點G處；點F在DG上，將△ADF沿著AF折疊，點D剛好落在AG上點H處，且CE＝，（1）求AD的長；（2）求FG的長5、如圖，BF平行于正方形ADCD的對角線AC，點E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.6、定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求證：四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，連接BD，點E，F，G分別是AD，BD，BC的中點，連接EG，FG，EF．試判定△EFG的形狀，并證明你的結論；（3）如圖③，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD＝4，BC＝8，請直接寫出邊AB長的最小值．

-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】延長，交于點，交于點，連接，交于點，先根據正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質得出，再根據矩形的判定與性質可得，由此可判斷①；先根據三角形全等的性質可得，再根據矩形的性質可得，然后根據等腰三角形的性質可得，由此可判斷③；根據直角三角形的性質可得，從而可得，由此可判斷②；先根據垂線段最短可得當時，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，從而可得的最小值，由此可判斷④．【詳解】解：如圖，延長，交于點，交于點，連接，交于點，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，四邊形是矩形，，，即結論①正確；，，，即結論③正確；，，，，即，結論②正確；由垂線段最短可知，當時，取得最小值，此時在中，，又，的最小值與的最小值相等，即為，結論④錯誤；綜上，正確的結論為①②③，共有3個，故選：C．【考點】本題考查了正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質、解直角三角形等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．2、D【解析】【分析】根據題意，先將方程的兩根求出，然后對兩根分別作為直角三角形的直角邊和斜邊進行分情況討論，最終求得該直角三角形的面積即可．【詳解】解方程得，當3和4分別為直角三角形的直角邊時，面積為；當4為斜邊，3為直角邊時根據勾股定理得另一直角邊為，面積為；則該直角三角形的面積是6或，故選：D．【考點】本題主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角邊斜邊的確定、直角三角形的面積求解，熟練掌握解一元二次方程及勾股定理是解決本題的關鍵．3、C【解析】【分析】用樹狀圖表示所有等可能的結果，再求得甲和乙從同一節車廂上車的概率．【詳解】解：將3節車廂分別記為1號車廂，2號車廂，3號車廂，用樹狀圖表示所有等可能的結果，共有9種等可能的結果，其中，甲和乙從同一節車廂上車的有3可能，即甲和乙從同一節車廂上車的概率是，故選：C．【考點】本題考查概率，涉及畫樹狀圖求概率，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．4、A【解析】【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解．【詳解】∵E是AC中點，∵EF∥BC，交AB于點F，∴EF是△ABC的中位線，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周長是4×6=24，故選A．【考點】本題考查了三角形中位線的性質及菱形的周長公式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．5、D【解析】【分析】由，可知四邊形ABCD是平行四邊形，可判斷①的正誤；由AD＝DC，可知平行四邊形ABCD是菱形，根據菱形的性質可判斷②③④⑤的正誤．【詳解】解：∵，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確；∵AD＝DC，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正確；∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面積＝，故⑤正確；∴正確的個數有5個，故選D．【考點】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定與性質．解題的關鍵在于證明四邊形ABCD是菱形．6、A【解析】【分析】根據平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】∵平行四邊形、矩形、菱形、正方形的對角線互相平分∴選項A正確；∵菱形的對角線不相等∴選項B錯誤；∵矩形的對角線不相互垂直∴選項C和D錯誤；故選：A．【考點】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質，從而完成求解．7、C【解析】【分析】先利用圖2得出當P點位于B點時和當P點位于E點時的情況，得到AB和BE之間的關系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中點定義得到BC的值．【詳解】解：由圖2可知，當P點位于B點時，，即，當P點位于E點時，，即，則，∵,∴,即,∵∴,∵點為的中點，∴,故選：C．【考點】本題考查了學生對函數圖象的理解與應用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中點的定義等內容，解決本題的關鍵是能正確理解題意，能從圖象中提取相關信息，能利用勾股定理建立方程等，本題蘊含了數形結合的思想方法．二、多選題1、AC【解析】【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A.x2=0，C.x2－3=x符合一元二次方程的定義；B.ax2+bx+c=0中，當a=0時，不是一元二次方程；D.a2+a-x=0是關于x的一元一次方程；E.(m－1)x2+4x+=0，當m=1時為關于x的一元一次方程；F.+=分母中含有字母，是分式方程；G.=2是無理方程；H.（x+1）2=x2-9展開后為x2+2x+1=x2-9，即2x+1=-9是一元一次方程．故選AC．【考點】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程具有以下三個特點：（1）只含有一個未知數；（2）未知數的最高次數是2；（3）是整式方程．2、AB【解析】【分析】根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可．【詳解】解：A、分母含有未知數，一定不是一元二次方程，故本選項符合題意；B、含有兩個未知數，一定不是一元二次方程，故本選項符合題意；C、當a=0時，不是一元二次方程，當a≠0時，是一元二次方程，故本選項不符合題意；D、是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：AB．【考點】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解答此題的關鍵．3、BCD【解析】【分析】根據已知條件可知只有當時，選項A才成立；將原式整理為一元二次方程的一般式，根據關于的方程有兩個不相等的實數根運用根的判別式可判斷B選項；運用根于系數的關系可判斷選項C；運用求根公式可判斷選項D．【詳解】解：整理為，A、當時，的解為，，故選項A不符合題意；B、∵關于的方程有兩個不相等的實數根，∴，即，解得：；故選項B符合題意；C、根據根于系數的關系可得：，∴，選項C符合題意；D、當時，，，∴當時，，故選項D符合題意；故選：BCD．【考點】本題主要考查一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，一元二次方程的解等知識點，熟知根的判別式以及根與系數的關系是解題的關鍵．三、填空題1、8【解析】【分析】根據正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【詳解】解：∵正方形的一條對角線的長為4，∴這個正方形的面積=×42=8．故答案為：8．【考點】本題考查了正方形的性質，熟練掌握正方形的面積的兩種求法是解題的關鍵．2、白球【解析】【分析】利用頻率估計概率的知識，確定摸出黑球的概率，由此得到答案．【詳解】解：由圖可知：摸出黑球的頻率是0.2，根據頻率估計概率的知識可得，摸一次摸到黑球的概率為0.2，∴可以推斷盒子里個數比較多的是白球，故答案為：白球．【考點】此題考查利用頻率估計概率，正確理解圖象的意義是解題的關鍵．3、64【解析】【分析】連接HE、EF、FG、GH，根據三角形中位線定理、菱形的判定定理得到平行四邊形HEFG是菱形，根據菱形的性質、勾股定理計算即可．【詳解】解：連接HE、EF、FG、GH，∵E、F分別是邊AB、BC的中點，∴EF＝AC＝4，EF∥AC，同理可得，HG＝AC＝4，HG∥AC，EH＝BD＝4，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四邊形HEFG為平行四邊形，∵AC＝BD，∴EH＝EF，∴平行四邊形HEFG是菱形，∴HF⊥EG，HF＝2OH，EG＝2OE，∴OE2+OH2＝EH2＝16∴EG2+FH2＝(2OE)2+(2OH)2＝4(OE2+OH2)＝64，故答案為64．【考點】本題考查的是中點四邊形，掌握三角形中位線定理、菱形的判定和性質定理是解題的關鍵．4、①③④【解析】【分析】利用根與系數的關系判斷①；由Δ=b2-4ac判斷②；由判別式可判斷③；將x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2變形可判斷④．【詳解】解：若方程兩根為-1和2，則=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正確；由b＞a+c不能判斷Δ=b2-4ac值的大小情況，故②錯誤；若b=2a+3c，則Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，故③正確．若m是方程ax2+bx+c=0的一個根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2=4a[-（bm+c）]+4abm+b2=4abm-4abm-4ac+b2=b2-4ac．故④正確；故答案為：①③④．【考點】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系及根的判別式Δ=b2-4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根．5、x=或x=2【解析】【分析】根據一元二次方程的解法解出答案即可．【詳解】當x－2=0時,x=2,當x－2≠0時,4x=1,x=,故答案為:x=或x=2．【考點】本題考查解一元二次方程,本題關鍵在于分情況討論．6、2a2【解析】【分析】結合圖形，發現：陰影部分的面積＝大正方形的面積的+小正方形的面積﹣直角三角形的面積．【詳解】解：陰影部分的面積＝大正方形的面積+小正方形的面積﹣直角三角形的面積＝（2a）2+a2﹣?2a?3a＝4a2+a2﹣3a2＝2a2．故答案為：2a2．【考點】本題考查正方形中不規則圖形面積的求法，解題的關鍵是利用正方形的性質，通過規則圖形進行求解．7、【解析】【分析】列舉出所有情況，看球的順序依次是“紅黃藍”的情況數占所有情況數的多少即可．【詳解】解：畫出樹形圖：共有27種情況，球的順序依次是“紅黃藍”的情況數有1種，所以概率為．故答案為：．【考點】考查用列樹狀圖的方法解決概率問題；得到球的順序依次是“紅黃藍”的情況數是解決本題的關鍵；用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．8、0.84【解析】【分析】觀察表格合格的頻率趨近于0.84，從而由此得到口罩合格的概率即可．【詳解】解：∵隨著抽樣的增大，合格的頻率趨近于0.84，∴估計從該批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率為0.84．故答案為：0.84．【考點】本題考查了用頻率估計概率，解題關鍵是熟練運用頻率估計概率解決問題．9、【解析】【分析】根據判別式的意義得到Δ=（-3）2-4k=0，然后解一元一次方程即可．【詳解】解：根據題意得Δ=（-3）2-4k=0，解得k=．故答案為．【考點】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ=b2-4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0，方程沒有實數根．10、##0.5【解析】【分析】畫樹狀圖，共有20個等可能的結果，兩顆球的標號之和不小于4的結果有10個，再由概率公式求解即可．【詳解】畫樹狀圖如圖：共有20個等可能的結果，兩顆球的標號之和不小于4的結果有10個，兩顆球的標號之和不小于4的概率為，故答案為：．【考點】本題考查了列表法與樹狀圖法以及概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關鍵．四、解答題1、（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再由矩形的性質得出，即可得出四邊形是菱形；（2）連接，由菱形的性質得出，證出和是等邊三角形，推導出即可求解．【詳解】證明：（1），，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形；（2）連接，四邊形是菱形，，，∠AFC=90°，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，又，是等邊三角形，．【考點】本題考查了菱形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、平行四邊形的判定；熟練掌握矩形的性質和菱形的判定與性質，證明四邊形是菱形再進一步證出和是等邊三角形是解決問題（2）的關鍵．2、(1)見解析(2)當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形．理由見解析【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行線的性質得出∠ABE=∠CDF，中點證出BE=DF，證明△ABE≌△CDF即可；（2）證出AB=OA，由等腰三角形的性質得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由全等可以推出EG=CF，又因為∠OEG＝90°，得出四邊形EGCF是矩形，即可得出結論．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF．∵點E，F分別為OB，OD的中點，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．(2)解：當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形．理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA=OC=CD．∵點E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，∵OC=CD，F是OD的中點，∴CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF．∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四邊形EGCF是平行四邊形．又∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．【考點】本題主要考查了平行四邊形的性質和判定、矩形的判定、全等三角形的判定、平行線的性質．3、（1）證明見解析；（2）4【解析】【分析】（1）欲證明四邊形OCED是矩形，只需推知四邊形OCED是平行四邊形，且有一內角為90度即可；（2）由菱形的對角線互相垂直平分和菱形的面積公式解答．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四邊形OCED是平行四邊形，又∠COD=90°，∴平行四邊形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四邊形OCED是矩形，則CE=OD=1，DE=OC=2．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面積為：AC?BD=×4×2=4，故答案為：4．【考點】本題考查了矩形的判定與性質，菱形的性質，熟練掌握矩形的判定及性質、菱形的性質是解題的關鍵．4、（1）AD=9；（2）FG=7.5【解析】【分析】（1）設CE，則BE，在Rt△CEG和Rt△AGD中，分別求得CG，GD=，再利用CG+GD=CD=15，構造方程求得的值，即可求解；（1）設，利用，構造方程求得的值，即可求解．【詳解】（1）∵CE＝，∴設CE，則BE，∴BC=AD=CE+BE，∵△AGE是由△ABE翻折得到的，∴GE=BE，AG=AB=15，在Rt△CEG中，由勾股定理可知：CG=，在Rt△AGD中，由勾股定理可知：GD=，∵CG+GD=CD=15，∴，解得：，AD；（2）由（1）知：CG=3，GD=12，設，∵△AHF是由△ADF翻折得到的，∴，∵，即，∴，解得：，即DF，∴．【考點】本題考查了矩形的性質，翻折變換，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．5、105°【解析】【分析】首先過點A作AO⊥FB的延長線于點O，連接BD，交AC于點Q，易得四邊形AOBQ是正方形，四邊形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE＝2AO，即可求得∠AEO＝30°，繼而求得答案．【詳解】作AO⊥FB的延長線,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝AC∵AE＝AC

∴AO＝AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC

∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE

∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC

∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°【考點】本題考了正方形的性質、平行四邊形的判定與性質以及含30°的直角三角形的性質，解題關鍵是注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．6、（1）證明見解析；（2）△EFG是等腰