2024-2025學年四川省成都市金蘋果錦城一中高一（下）期中數學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省成都市金蘋果錦城一中高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數z=11?i，則z的虛部為(

)A.1 B.?1 C.12 D.2.要得到函數y=sin(2x+π3)的圖象，只需將函數A.向左平移π3個單位 B.向左平移π6個單位 C.向右平移π3個單位 D.3.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π4，B=5π12，c=2A.4 B.433 C.24.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=A.22 B.24 C.5.已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的表面積之比(

)A.1：1 B.2：1 C.3：2 D.2：36.已知f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，則f(?π24)的值為A.1

B.2

C.3

D.7.我國古代數學家秦九韶在《數書九章》中記述了“三斜求積術”，即△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S=12(ab)2?(a2+b2A.π6 B.π3 C.2π38.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+13AB，若A.1B.2

C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=tan(2x?π6A.f(x)的最小正周期為π2

B.f(x)在(π6,π3)上單調遞減

C.f(x)10.已知圓臺的軸截面如圖所示，其上底面半徑為1、下底面半徑為2，母線AB長為2，E為母線AB中點，則下列結論正確的是(

)A.圓臺的高為2

B.圓臺的側面積為6π

C.圓臺外接球的體積是32π3

D.在圓臺的側面上，從C到E的最短路徑的長度為511.重慶解放碑是抗戰勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，是抗戰勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰爭勝利的紀念碑.現某興趣小組準備對解放碑的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為解放碑的最頂端，B為解放碑的基座(B在A的正下方，即AB⊥BC，AB⊥BD)，在紀念碑所在廣場內(與B在同一水平面內)選取C，D兩點，測得CD的長為m.興趣小組成員利用測角儀可測得的角有∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠ADB、∠BDC，若已知m、∠ACB、∠BCD，則下列各測量數據中，能計算出解放碑高度AB的是(

)A.∠ADB B.∠BDC C.∠ADC D.∠ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，等腰直角三角形O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，則原圖形的面積是______．13.已知sinα?cos(α?π6)=14.已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在y軸上的截距為?12，若函數f(x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知α∈(0,π4)，且cos2α=45．

(1)求tanα；

(2)若β∈(0,16.(本小題15分)

已知向量a=(2cosθ,?1)，b=(?32,3sinθ)，c=(?sinθ2,2)，θ∈(π6,5π617.(本小題15分)

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=12c+bcosC．

(1)求B的大小；

(2)已知b=22，若BD是△ABC18.(本小題17分)

已知函數f(x)=cos2ωx+3sinωx?cosωx?12(ω>0)，其相鄰兩個對稱軸之間的距離為π2．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)若當x∈[π3,t]時，f(x)的值域為[?1,12]，求實數t19.(本小題17分)

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bc(1+cosA)=32a2．

(1)求證：b+c=2a；

(2)若AM=23AB+13AC，且|AM|=27，∠BAC=π3答案解析1.【答案】C

【解析】解：z=11?i=1+i(1?i)(1+i)=1+i2=12+12.【答案】B

【解析】【分析】

由條件根據函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規律，可得結論．

本題主要考查函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規律，屬于基礎題．【解答】

解：由于函數y=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，

∴將函數y=sin2x的圖象向左平移3.【答案】B

【解析】解：由A=π4，B=5π12，可得C=π?π4?5π12=π3，

根據正弦定理asinA=csinC，可得4.【答案】B

【解析】解：根據題意，向量a,b滿足|a|=1,|b|=2，且|a+b|=2，

則有|a+b|2=4，即|a5.【答案】D

【解析】解：設球的半徑為r，則圓柱的底面圓的半徑為r，高為2r，

所以S圓柱=2πr2+2πr?2r=6πr2，S球=4πr2，

所以球的表面積與圓柱的表面積之比為2：36.【答案】B

【解析】解：由圖象得，T=2×[π3?(?π6)]=π.所以ω=2πT=2，

所以f(x)=2sin(2x+φ)，

由圖象知，函數f(x)的圖象過點(π3,0)，

所以f(π3)=2sin(2×π3+φ)=0，即sin(2×π3+φ)=0，

所以2×π3+φ=π+2kπ，k∈Z，解得φ=π3+2kπ，k∈Z，

因為7.【答案】A

【解析】解：因為△ABC的面積S=12(ab)2?(a2+b2?c22)2，

又因為△ABC面積為312，且a2+b2?c2=1，

根據題意得S=12(ab)2?(a28.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+13AB，若△ABC的面積為3，

設CP=λCD，根據平面向量的加法法則和減法法則可得AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ(AD?AC)

=AC+λ(23AB?AC)=23λAB+(1?λ)AC=mAC+13AB，

所以1?λ=m23λ=13，解得m=λ=129.【答案】AD

【解析】解：函數f(x)=tan(2x?π6)，

對于A，最小正周期為T=πω=π2，故A正確；

對于B，令t=2x?π6，因為函數y=tant無單調遞減區間，且函數t=2x?π6為增函數，

所以f(x)無單調遞減區間，故B錯誤；

對于C，由2x?π6=kπ2，k∈Z，得x=π12+kπ4,k∈Z，

所以f(x)的對稱中心為(π12+kπ4,0)，故C錯誤；

對于D10.【答案】BCD

【解析】解：對于A，設上底面圓心為O2，下底面圓心為O1，連接O1O2，過A作AF⊥BC于點F，

在等腰梯形ABCD中，AB=2，BF=2?1=1，則AF=AB2?BF2=3，故A錯誤；

對于B：由題意，圓臺的側面展開圖為半圓環，其面積為S=12×2π×2×4?12×2π×1×2=6π，故B正確；

對于C：設圓臺外接球的球心為O，半徑R，由題意可得：O1B=2,O2A=1,O1O2=22?12=3，

設OO1=a，則OO2=3?a，由R=OA=OB，即12+(3?a)2=22+a2，解得a=0，即OO1重合，

所以R=OB=2，圓臺外接球的體積為43πR3=323π，故C正確；

對于D11.【答案】ABC

【解析】解：由題意知AB⊥BC，AB⊥BD，

且BC∩BD=B，所以AB⊥平面BCD，

對于A，在△ABC，△ABD中，借助直角三角形用AB表示出BC，BD，然后在△BCD中由余弦定理，解三角形求得AB，故A正確；

對于B，在△BCD中，根據m，∠BCD，∠BDC，可利用正弦定理求得BC，再根據tan∠ACB求得AB，故B正確；

對于C，由∠ACB，∠BCD，借助直角三角形和余弦定理，用AB和CD表示出BC，BD，AC，AD，

再由余弦定理可得AB，故C正確；

對于D，根據m，∠ACB，∠BCD，∠ACD四個條件，無法通過解三角形求得AB，故D錯誤．

故選：ABC．

根據正弦定理、余弦定理和直角三角形性質判斷所給條件是否構成解三角形條件即可．

12.【答案】2【解析】解：由已知得，O′A′=A′B′=2，

所以原圖形中OA=2O′A′=22，OB=O′B′=2，且OA⊥OB，如圖，

因此原圖形面積為S=12OA?OB=12×213.【答案】79【解析】解：∵sinα?cos(α?π6)=13，

則sinα?32cosα?12sinα=12sinα?314.【答案】(1【解析】解：由題意知f(0)=?12，則sinφ=?12，結合|?|<π2，得φ=?π6，

所以f(x)=sin(ωx?π6)．

當x∈(π6,2π3)時，π6ω?π6<ωx?π6<2π3ω?π6，

因為函數f(x)在區間(π6,2π3)內有零點，無極值點，

所以?π2+kπ≤π6ω?π6<kπkπ<2π3ω?π615.【答案】13；

π4【解析】(1)由題意得cos2α=cos2α?sin2α=45，

結合cos2α+sin2α=1，解得cos2α=910，sin2α=110，

所以tan2α=sin2αcos2α=19，結合α∈(0,π4)，tanα>0，可得tanα=13；

(2)根據tanα=1316.【答案】?52；

t=2或t=?【解析】解：(1)已知向量a=(2cosθ,?1)，b=(?32,3sinθ)，c=(?sinθ2,2)，θ∈(π6,5π6)，且向量a與b共線．

所以23sinθcosθ?(?1)×(?32)=0，

所以sin2θ=32，

因為θ∈(π6,5π6)，所以2θ∈(π3,5π3)，

所以2θ=2π3，即θ=π3，

17.【答案】π3；

4+2【解析】(1)因為a=12c+bcosC，

由正弦定理可得sinA=12sinC+sinBcosC，

在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBcosC+cosBsinC=12sinC+sinBcosC，

整理得cosBsinC=12sinC，

因為C∈(0,π)，sinC>0，所以cosB=12，

因為B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由余弦定理得a2+c2?2accosπ3=8，即(a+c)2?3ac=8，

因為S△BCD+S△BAD=S△ABC，因為BD是△ABC的一條內角平分線，

可得12BC×BD×sinB218.【答案】f(x)=sin(2x+π6)；

[2π【解析】(1)因為f(x)=cos2ωx+3sinωx?cosωx?12

=1+cos2ωx2+32sin2ωx?12

=12cos2ωx+32sin2ωx

=sin(2ωx+π6)，

又相鄰兩個對稱軸之間的距離為π2，

根據正弦函數性質，可得T2=π2，

所以T=2π2ω=π，解得ω=1，

所以f(x)=sin(2x+π6)；

(2)因為x∈[π3,t]，

則2x+π6∈[5π6,2t+π6]，

當2x+π6=5π6時，f(x)=sin5π6=12；

當2x+π6=3π2時，f(x)=sin3π2=?1，

因為f(x)的值域為[?1,12]，

所以3π2≤2t+π6≤13π6，

即3π2?π6≤2t≤13π6?π6，4π3≤2t≤2π，

解得19.【答案】證明：因為bc(1+cosA)=32a2，

由余弦定理可得bc(1+b2+c2?a22bc)=32a2，

整理得b2+【解析】(1)證明：因為bc(1+cosA)=32a2，

由余弦定理可得bc(1+b2+c2?a22bc)=32a2，

整理得b2+c2+2bc=4a2，①

即(b+c)2=4a2，

所以b+c=2a；

(2)解：因為AM=23A