線代測試技術試題及答案

線代測試技術試題及答案線性代數測試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.設\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)的值為（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\-2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&3\\-2&4\end{pmatrix}\)3.設向量組\(\alpha_1=(1,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(1,0,1)^T\)，\(\alpha_3=(0,1,1)^T\)，則該向量組的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.若齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系含有\(2\)個解向量，且\(A\)為\(4\)階方陣，則\(r(A)\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.設\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則\(\xi_1\)與\(\xi_2\)（）A.線性相關B.線性無關且正交C.線性無關但不一定正交D.線性相關且正交二、填空題（每題3分，共15分）1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為______。2.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^2\)=______。3.已知向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(1,1,1)^T\)，則\(\alpha^T\beta\)=______。4.若矩陣\(A\)滿足\(r(A)=3\)，且\(A\)為\(4\times5\)矩陣，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎解系所含向量個數為______。5.設\(A\)是\(3\)階矩陣，其特征值為\(1,1,2\)，則\(\vertA\vert\)=______。三、計算題（每題10分，共50分）1.計算行列式\(\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}\)。2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A^{-1}\)。3.求向量組\(\alpha_1=(1,1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,2,2,0)^T\)的一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示。4.求解非齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1x_2+3x_3=4\\4x_1+x_2+9x_3=16\end{cases}\)。5.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。四、證明題（每題10分，共20分）1.設\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，證明\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)。2.設向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關，證明向量組\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)也線性無關。答案一、選擇題1.對于\(n\)階方陣\(A\)，\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)，已知\(n=3\)，\(\vertA\vert=2\)，\(k=2\)，則\(\vert2A\vert=2^3\times2=16\)，答案選D。2.若\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，則\(A^=\begin{pmatrix}d&b\\-c&a\end{pmatrix}\)，對于\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A^=\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\)，答案選A。3.對矩陣\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)進行初等行變換，\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=3\)，答案選C。4.根據\(nr(A)\)等于基礎解系所含向量個數，已知\(n=4\)，基礎解系含有\(2\)個解向量，則\(r(A)=42=2\)，答案選B。5.實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量線性無關且正交，答案選B。二、填空題1.\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times42\times3=-2\)。2.\(A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。3.\(\alpha^T\beta=(1,2,3)\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=1\times(-1)+2\times1+3\times1=4\)。4.齊次線性方程組\(Ax=0\)中，基礎解系所含向量個數為\(nr(A)\)，\(n=5\)，\(r(A)=3\)，則基礎解系所含向量個數為\(53=2\)。5.矩陣的行列式等于其所有特征值的乘積，所以\(\vertA\vert=1\times(-1)\times2=-2\)。三、計算題1.\[\begin{align}\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}&=2\times\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\\&=2\times(41)-1\times(2+1)-1\times(1+2)\\&=63-3\\&=0\end{align}\]2.因為\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(\vertA\vert=1\times42\times3=-2\neq0\)，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.設\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&2\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\)，進行初等行變換：\[\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&2\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&3&3&3\\0&1&1&4\\0&2&2&4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&1\\0&0&0&5\\0&0&0&6\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&1\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]極大線性無關組為\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)，設\(\alpha_3=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_4\)，解方程組可得\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.增廣矩陣\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&1&3&4\\4&1&9&16\end{pmatrix}\)，進行初等行變換：\[\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&1&3&4\\4&1&9&16\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&3&1&2\\0&3&5&12\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&3&1&2\\0&0&4&10\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&3&1&2\\0&0&1&\frac{5}{2}\end{pmatrix}\]回代求解得\(x_3=\frac{5}{2}\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)，\(x_1=-2\)，方程組的解為\(x=\begin{pmatrix}-2\\\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{pmatrix}\)。5.先求特征值，\(\vert\lambdaEA\vert=\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\-1&\lambda&1\\-1&1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda2)(\lambda+1)^2\)，特征值為\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)。當\(\lambda_1=2\)時，\((2EA)X=0\)，\(2EA=\begin{pmatrix}2&1&1\\-1&2&1\\-1&1&2\end{pmatrix}\)，基礎解系為\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)，屬于\(\lambda_1=2\)的特征向量為\(k_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}(k_1\neq0)\)。當\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)時，\((-EA)X=0\)，\(-EA=\begin{pmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}\)，基礎解系為\(\xi_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)，屬于\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)的特征向量為\(k_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}(k_2,k_3\)不同時為\(0)\)。四、證明題1.因為\(AA^{-1}=E\)，兩邊取轉置得\((AA^{-1})^T=E^T=E\)，根據\((AB)^T=B^TA^T\)，則\((A^{-1})^TA^T=E\)，所以\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)。2.設\(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0\)，即\(k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0\)，整理得\((k_1+k_3)\alpha_1+(k_