《信號與系統》課件第4章 3

第4章連續時間系統的頻域分析4.1系統與輸入、輸出信號在頻域內的關系

4.2

LTI系統的頻率響應4.3濾波器4.4抽樣和恢復4.5調制與解調4.6小結習題本章研究LTI系統的輸入、輸出信號的頻率關系，從而揭示出系統對輸入信號各個頻率分量的作用，這是又一個非常重要的研究方法——頻域分析法。與時域分析法一樣，它也是分析系統的有力工具。頻域分析法廣泛應用于濾波器的研究、信號的抽樣與恢復、通信系統等等。本章的重點在于明確系統頻率響應的概念及其應用。為了將頻域分析法與時域分析法聯系起來，本章將再次分析簡單的RC系統，通過研究系統的輸入、輸出信號的對應關系，給出系統頻響的基本概念，然后深入研究系統頻率響應的幅頻及相頻特性，最后給出利用頻域分析法分析系統的典型應用——濾波器、信號的采樣和恢復、信號的調制和解調等內容。

系統頻率響應的實質是頻譜密度函數，系統的作用體現在輸入信號的幅度頻譜和相位頻譜的改變上，為了強調頻譜函數的復函數性，在不會使公式變得復雜難讀的情況下，本章盡量采用F(jω)的表示形式。

4.1系統與輸入、輸出信號在頻域內的關系

現在，我們再來看一下圖2.1所示的RC系統響應的問題。

例4.1

求如圖2.1所示RC電路中電容兩端電壓的變化。設R=1Ω，C=1F，e(t)=cos(t)，電容兩端的初始電壓uC(0－)=0V。解我們可得系統的微分方程為

uC′(t)+uC(t)=e(t)

該系統的沖激響應如圖4.1所示，該信號的頻譜為

將系統的輸入信號e(t)=cos(t)u(t)與系統的沖激響應求卷積后得到系統的輸出信號，圖4.2給出了系統的輸入與輸出信號的關系，圖中實線為輸入信號，虛線為輸出信號。圖4.1RC電路的沖激響應圖4.2RC電路中輸入與輸出信號的關系我們看到，當系統的輸入為正弦信號時，輸出也為正弦信號，輸出信號經過一定時間的過渡后趨于穩態。穩態輸出信號與輸入信號的幅值比為，輸出信號比輸入信號相位滯后約0.78。

另一方面，考慮輸入信號的傅里葉級數，我們可得ω=1。將ω=1代入沖激信號的頻譜，可得

我們發現，ω=1將系統的輸入信號與系統聯系起來，在ω=1的條件下，系統沖激響應的幅度頻譜和相位頻譜分別為

和（約－0.78）。而在系統的作用下，輸出信號與輸入信號的幅度之比和相位之差也分別為和

(約－0.78)，這并非巧合，這些數值正是系統對正弦信號作用的一個最好的解釋，它揭示了系統頻響的基本內涵。

我們將上述輸入信號與輸出信號的關系總結一下：若系統的輸入信號是正弦信號，系統的輸出信號也是相應頻率的正弦信號，但信號的幅值與相位將有一定的變化，變化多少由系統本身決定。我們把系統的該特性稱為系統的頻率響應。

4.2LTI系統的頻率響應

系統的頻率響應揭示的是系統對輸入信號的某一頻率分

量的幅度及相位作用，根據LTI系統的線性疊加性，系統的輸出信號反應系統對輸入信號的所有頻率分量共同作用的結

果。系統的頻率響應是頻率的函數，包括系統對輸入信號幅度的作用及對相位的作用，我們分別將其稱為幅頻特性和相頻特性。

由上一節中我們知道頻率響應為系統沖激響應的傅里葉變換，但用求出系統的沖激響應再進行傅里葉變換的方法太過復雜。我們知道，系統的零狀態響應rzs(t)由輸入信號e(t)和沖激響應h(t)的卷積決定，即

rzs(t)=e(t)*h(t)

因為

由時域卷積定理，響應rzs(t)的傅里葉變換為

Rzs(jω)=E(jω)H(jω)則有系統函數為(4.1)H(jω)也稱為頻率特性，|H(jω)|稱為幅頻特性，j(ω)稱為相頻特性。由式(4.1)可以看出，輸出信號的幅度頻譜經過系統的作用后變為

|Rzs(jω)|=|H(jω)||E(jω)|(4.2)而相位頻譜為∠Rzs(jω)=∠H(jω)+∠E(jω)(4.3)即在零狀態條件下，一個LTI系統對輸入信號幅度頻譜的作用就是乘以系統頻率響應的幅頻特性，對輸入信號相位頻譜的作用就是在原輸入信號的相頻特性基礎上附加了一個相位j(ω)。這種疊加作用可以改變輸入信號各分量之間的相對相頻關系，這樣即使系統的增益對所有頻率都是常數的情況下，也有可能在輸入的時域特性上產生很大的變化。如果系統對輸入的改變是以一種有意義的方式進行的，那么這種幅度和相位上的變化都是所希望的；否則，就是不希望有的。在后一種情況下，式(4.2)和式(4.3)被稱為幅度和相位的失真。下面我們給出例題以便更深入地了解系統的頻率響應。

例4.2

已知系統的輸入信號為e(t)=cost+cos2t，如圖4.3所示。該信號加入到以下三個不同的系統上，分別求三個系統的零狀態響應。

（1）H(jω)=1.5;

（2），設t0=2；

（3）

。解（1）根據題意，我們可知|H(jω)|=1.5，j(ω)=0，即輸出信號的各個分量分別是輸入信號的兩個分量經過如下變換得到:

|Rzs(jω)|=|H(jω)||E(jω)|=1.5|E(jω)|

∠Rzs(jω)=∠H(jω)+∠E(jω)=∠E(jω)

系統的輸出信號如圖4.4所示。從圖4.3和圖4.4可見，系統（1）的輸出與輸入信號e(t)波形相同，只是幅度為e(t)的1.5倍。圖4.3輸入信號e(t)=cost+cos2t圖4.4系統(1)的輸出信號rzs(t)=1.5cost+1.5cos2t（2）根據題意，我們可知|H(jω)|=1.5，j(ω)=－ωt0,即輸出信號的各個分量分別是輸入信號的兩個分量經過如下變換得到:

|Rzs(jω)|=|H(jω)||E(jω)|=1.5|E(jω)|

∠Rzs(jω)=∠H(jω)+∠E(jω)=∠E(jω)－ωt0=－ωt0

我們知道，對于輸入信號的cost分量ω=1，對于cos2t分量ω=2，即可得輸出信號為

rzs(t)=1.5cos(t－t0)+1.5cos(2t－2t0)=1.5cos(t－t0)+1.5cos2(t－t0)

圖4.5給出了t0=2時的輸出信號rzs(t)。可見，系統（2）中的輸出信號在波形上與系統（1）相同，但系統（2）中的波形向右延時t0，這是相位作用的結果。圖4.5系統（2）中的延時輸出（3）根據題意，我們可知

即輸出信號的各個分量分別是輸入信號的兩個分量經過如下變換得到:

∠Rzs(jω)=∠H(jω)+∠E(jω)=∠E(jω)－arctan(ω)

我們知道，對于輸入信號的cost分量ω=1，對于cos2t分量ω=2，即可得輸出信號(如圖4.6所示)為圖4.6系統（3）中的輸出信號仔細觀察圖4.6中的波形可以看出，由于上面兩個波形的相位不同，因此相加后的波形在形狀上與輸入波形不同。例4.2中三個系統對輸入信號的作用是不同的，系統(1)將信號按比例放大，相位不變，這樣的系統實現了對信號的放大作用。系統（2）中的輸入、輸出信號波形形狀不變，只有幅度大小和出現時間先后不同，我們把這樣的系統叫做無失真傳輸系統。無失真傳輸系統的頻率響應(如圖4.7所示)為

(4.4)

實際的線性系統，其幅頻與相頻特性都不可能完全滿足不失真傳輸條件。當系統對信號中各頻率分量產生不同程度的衰減，使信號的幅度頻譜改變時，會造成幅度失真；當系統對信號中各頻率分量產生的相移與頻率不成正比時，會使信號的相位頻譜改變，造成相位失真，如例4.2中的系統（3）。工程上，只要在信號占有的頻率范圍內，系統的幅頻與相頻特性基本上滿足不失真傳輸條件，就可以認為達到要求了。圖4.7無失真傳輸條件實際的線性系統，其幅頻與相頻特性都不可能完全滿足不失真傳輸條件。當系統對信號中各頻率分量產生不同程度的衰減，使信號的幅度頻譜改變時，會造成幅度失真；當系統對信號中各頻率分量產生的相移與頻率不成正比時，會使信號的相位頻譜改變，造成相位失真，如例4.2中的系統（3）。工程上，只要在信號占有的頻率范圍內，系統的幅頻與相頻特性基本上滿足不失真傳輸條件，就可以認為達到要求了。

4.3濾波器

在各種不同的應用中，常常需要改變一個信號中各頻率分量的相對大小，或者全部消除某些頻率分量，這樣一類要求是頗為重要的，這樣一類過程稱為濾波。用于改變頻譜形狀的線性時不變系統往往稱之為頻率成形濾波器。專門設計成基本上無失真地通過某些頻率，而顯著地衰減或消除掉另一些頻率的系統稱為頻率選擇性濾波器。研究式(4.2)及式(4.3)給出系統的頻率響應可知，通過恰當地選擇系統的頻率響應，就可以容易地實現上述濾波效果，頻域分析法為這一重要的應用領域提供了理想的工具。若系統的幅頻特性在某一頻帶內保持為常數而在該頻帶外為零，相頻特性始終為過原點的一條直線，則這樣的系統就稱為理想濾波器。

如圖4.8所示分別為理想濾波器的低通、高通、帶通和帶阻頻率特性。對于理想低通濾波器，在0~ωc的頻率范圍內，信號能無衰減地通過，而大于ωc的所有頻率分量則完全衰減。ωc稱為理想低通濾波器的截止頻率。理想高通濾波器對0~ωc范圍內的頻率分量完全衰減，對大于ωc的所有頻率分量則完全通過。理想帶通濾波器僅讓ωc1~ωc2范圍內的所有頻率分量通過。圖4.8理想濾波器的頻率特性4.3.1理想低通濾波器

下面重點研究信號通過理想低通濾波器的情況。對于圖4.8（a）所示的理想低通濾波器，其頻率特性可寫為(4.5)即(4.6)與H(jω)對應的沖激響應為·即(4.7)理想低通濾波器的時域波形如圖4.9所示。圖4.9理想低通濾波器的沖激響應由h(t)的波形可以看出如下特點：

(1)在t=0時δ(t)作用于低通系統，而在t=t0時刻系統響應達最大值，即這表明系統對信號有延時作用，延時量為t0。

(2)響應h(t)比激勵δ(t)展寬了許多，沖激信號中的高頻分量被濾波器衰減了之后信號不再存在以前的突變。圖4.10給出了濾波器的寬度與沖激響應h(t)的關系。可以看出，信號中高頻成分在時域中表現為信號的突變或“陡峭”部分，而較平坦的部分則主要包含低頻成分。圖4.10不同帶寬理想低通濾波器的沖激響應

(3)當t<0時，h(t)≠0，這表明理想低通濾波器是一個非因果系統，它在物理上是無法實現的，其實所有理想濾波器都是物理上無法實現的。實際濾波器的設計原則是研究如何選擇一個系統函數，使它能夠逼近所要求的H(jω)，又能在物理上是可實現的。

理想低通濾波器的階躍響應也是經常用的。在階躍信號輸入下，根據卷積定理有:由此可得階躍響應為(4.9)式中，x=ω(t－t0)。理想低通濾波器的階躍響應如圖4.11所示。圖4.11理想低通濾波器的階躍響應由圖4.11可見，理想低通濾波器的截止頻率ωc越低，輸出s(t)上升的越緩慢。輸出由最小值到最大值所需時間定義為上升時間tr，則由圖4.11可知式中：是將角頻率折合為頻率的濾波帶寬（截止頻率）。于是得到重要結論：階躍響應的上升時間與系統的截止頻率（帶寬）成反比。圖4.12給出了不同濾波器帶寬的階躍響應輸出。圖4.12不同帶寬的理想低通濾波器的階躍響應4.3.2濾波器應用舉例

上節中我們知道，理想濾波器在物理上是無法實現的。在實際應用中，我們常常利用電路實現連續時間的濾波功能，當然，由電路所實現的濾波器往往并不滿足理想濾波器的條件。下面我們以熟悉的簡單一階RC電路為例，進一步研究實際濾波器對輸入信號頻率的作用，并分析系統輸出信號的頻率分量。將例2.1的電路重畫如圖4.13所示。圖4.13簡單的RC電路我們已求出其系統頻率響應為引用符號，得到該系統的幅頻特性及相頻特性分別為為方便起見，假設RC=1，頻率響應如圖4.14所示。圖4.14RC電路的幅頻特性及相頻特性從系統的頻率響應可以看出，系統是一個低通濾波器。與理想低通濾波器相比，由RC電路組成的低通濾波器幅頻在低頻部分也會出現一定程度的衰減，相位在低頻部分類似于理想低通濾波器的線性相位；在高頻部分，幅頻出現了嚴重的衰減，相位基本保持不變。

下面我們研究輸入信號為如圖4.15（a）中虛線所示的周期為2π的方波時，系統的輸出響應的特性。可求得該方波的傅里葉級數為其中，方波的高度為E=2，周期為T1=2π，ω1=1，因此該方波的傅里葉級數為其頻譜圖如圖4.16所示。可以看到，方波的能量大都集中在低頻段。該方波前五次諧波分量的和如圖4.15(a)中實線所示，將該方波和其前五次諧波作為輸入信號分別加到系統上，我們可以得到如圖4.15(b)所示的兩個輸出信號。其中，虛線是方波的輸出，實線是前五次諧波之和的輸出。圖4.15方波前五次諧波的輸出圖4.16方波的頻譜圖我們可以看到，由于低通濾波器的作用，方波的“陡峭”部分變得圓滑，這是因為低通濾波器的高頻衰減作用，方波中的高頻部分被低通濾波器迅速衰減。從圖上還可以看到，盡管圖4.15(a)中前五次諧波之和沒有了高頻部分，與原方波不盡相同，但與其對應的輸出信號與方波的輸出信號卻非常相似，如圖4.15(b)所示。原因何在呢？這是由于低通濾波器只能通過輸入信號的低頻部分，即使輸入信號中存在高頻分量，也無法出現在輸出信號中。因此，盡管輸入信號不同，方波中含有大量的高頻部分，但輸出信號的頻率成分只包含低頻部分，而兩個輸入信號的低頻成分十分相似（方波的前五次諧波之和就是另一個輸入信號），經過系統的作用，輸出信號中相應的成分也十分相似，波形也就非常相似了。

那么，為什么兩個輸出信號又不完全相同呢？注意到，圖4.15（b）中方波的輸出信號有尖角，這又是為什么呢？原因在于圖4.13所示的系統并非理想的低通濾波器，不存在理想的截止頻率，因此方波中的部分高頻（高于五次諧波的頻率成分）會“漏過”系統，成為輸出信號的一部分，產生了圖4.15（b）中虛線的尖角。

4.4抽樣和恢復

所謂“抽樣”，就是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續信號f(t)中“抽取”一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為“抽樣信號”，以fs(t)表示。隨著數字技術與計算機的迅速發展，數字通信、數字信號處理、數字傳媒等“數字化”的信號處理方式得到了廣泛的應用。實際數字化的過程往往在將連續信號經抽樣變成抽樣信號以后，再經量化、編碼變成數字信號。當然，數字信號經過傳輸、處理等過程后，還需要將其恢復成連續信號，否則，我們就沒有辦法聽到手機中的聲音，也無法看到電視中的圖像了，要知道這些都必須是連續信號。信號抽樣及其恢復現象幾乎隨處可見，尤其是在計算機應用如此廣泛的今天。用計算機編程畫一條連續曲線的過程就是一個簡單的信號抽樣及恢復的過程。我們知道，要畫一條連續曲線，需要取若干數據點，很顯然，取得過少就無法畫出光滑的曲線。那么取多少合適呢？在實際畫線時，我們往往需要根據實際情況估計一下，并在條件允許的情況下盡可能取得多一些。然而，在數據量很大的情況下，點數的多少可能直接影響到數據的存儲量，如果存儲量是一個必須考慮的問題，那么，取合適的點數就非常關鍵了。還有，計算機畫出的曲線我們會認為那就是一條光滑曲線。然而，如果放大很多倍再看，那些用有限的數據點畫出的曲線都不是光滑的，而是折線。從理論上講，只要點數是有限的，曲線就不是光滑的。現在的問題是，如果只使用有限個數據點，卻想畫出經過這些點的光滑曲線，我們還需要做些什么呢？也就是說，折線如何才能變成光滑的呢？從上一節中我們知道，低通濾波器可以去掉高頻成分而將折線的尖角去掉。

可見，我們面臨的問題有兩個：第一個問題是抽樣的頻率應取多少，抽樣信號fs(t)才能保留原連續信號f(t)的全部信息，才有可能從抽樣信號中無失真地恢復出原連續信號;第二個問題是如果有可能恢復出原來的信號，那么應該怎樣恢復。4.4.1抽樣定理

如圖4.17所示的抽樣過程中，抽樣信號fs(t)是經過抽樣脈沖序列p(t)與連續信號f(t)相乘來完成的，即

fs(t)=f(t)p(t)

(4.10)

抽樣脈沖序列p(t)是周期信號，其傅里葉變換為(4.11)式中：(4.12)圖4.17抽樣過程方框圖根據頻域卷積定理可知:(4.13)將式(4.11)代入式(4.13)，化簡后得到抽樣信號fs(t)的傅里葉變換為(4.14)式(4.14)表明：信號在時域被抽樣后，它的頻譜Fs(ω)是連續信號頻譜F(ω)的形狀以抽樣頻率ωs為間隔周期地重復而得到的，在重復的過程中幅度被p(t)的傅里葉系數Pn所加權。因為Pn只是n（而不是ω）的函數，所以F(ω)在重復過程中不會發生形狀變化。

若p(t)為沖激序列，則(4.15)代入式(4.14)，將得到沖激抽樣信號的頻譜為(4.16)式(4.16)表明：沖激序列的傅里葉系數Pn為常數，所以Fs(ω)是F(ω)以ωs為周期等幅度重復得到的，如圖4.18所示。因此，在這種情況下抽樣信號fs(t)是由一系列沖激函數構成的，每個沖激的間隔為Ts而強度等于連續信號的抽樣值f(nTs)，如圖4.18所示。圖4.18沖激抽樣信號的頻譜如果抽樣脈沖p(t)是矩形脈沖序列，其脈沖幅度為E，脈寬為τ，抽樣間隔為Ts，可求出:積分后得到則矩形抽樣信號的頻譜為(4.17)顯然，在這種情況下，F(ω)在以ωs為周期的重復過程中幅度以的規律變化，如圖4.19所示。圖4.19矩形抽樣信號的頻譜從圖4.18和圖4.19可以看出，只要ωs≥2ωm，抽樣信號的頻譜就不會產生混疊的現象。這樣，抽樣信號fs(t)才能保留原連續信號f(t)的全部信息。圖4.20畫出了當抽樣頻率ωs>2ωm（不混疊時）及ωs<2ωm（混疊時）兩種情況下抽樣信號的

頻譜。

由上述分析我們可以得到抽樣定理：如果f(t)為帶寬有限的連續信號，其頻譜F(jω)的最高頻率為fm，則以取樣間隔

對信號f(t)進行等間隔取樣所得的取樣信號fs(t)將包含原信號f(t)的全部信息，因而可以從fs(t)完全恢復出原信號。圖4.20抽樣信號的混疊現象該定理表明：若要求信號f(t)被取樣后不丟失信息，必須滿足兩個條件：一是f(t)應為帶寬有限的信號，即其頻譜在ω>ωm(或f>fm)時為零；二是取樣周期不能過大，必須滿足

。最大的取樣周期稱為奈奎斯特

（Nyquist）間隔，2fm稱為奈奎斯特取樣頻率。例如，要傳送頻帶為10kHz的音樂信號，其最低的取樣頻率應為20kHz，即至少每秒要取樣20000次，如果低于此取樣速率，原信號f(t)的信息就會丟失。4.4.2信號的恢復

由上一小節內容我們知道，如果抽樣信號沒有產生混疊，就可以利用低通濾波器取出抽樣信號Fs(ω)在ω=0兩側的頻率分量即可恢復F(ω)，從而無失真地復原f(t)，這種在頻域中分析的方法十分簡潔而直觀。現在，我們以理想的低通濾波器為例，從時域角度說明從抽樣信號恢復為連續時間信號的過程。

假定理想濾波器的頻域特性為(4.18)式中:ωc為濾波器的截止頻率，為以下分析方便，取相位特性為零；

Ts為沖激抽樣序列的周期。

濾波器沖激響應h(t)的表達式為·(4.19)若沖激序列抽樣信號fs(t)為(4.20)則利用時域卷積關系可求得輸出信號，即原連續時間信號f(t):··(4.21)參看圖4.21說明上述結果，圖中給出了從時域和頻域恢復f(t)和F(ω)的過程。式(4.21)表明，連續信號f(t)可展開成Sa函數的無窮級數，級數的系數等于抽樣值f(nTs)。也可以說在抽樣信號fs(t)的每個抽樣值上面有一個峰值為f(nTs)的Sa函數波形，由此合成的信號就是f(t)，如圖4.21所示。按照線性系統的疊加性，當fs(t)通過理想低通濾波器時，抽樣序列的每個沖激信號產生一個響應，將這些響應疊加就可得出f(t)，從而達到由fs(t)恢復f(t)的目的。圖4.21由抽樣信號恢復連續信號的時域和頻域解釋在圖4.21中滿足ωs=2ωm，ωc=ωm，這里ωs是沖激序列的重復角頻率，ωm是f(t)帶寬的角頻率值，此時剛好滿足奈奎斯特間隔(抽樣定理的邊界條件)，(4.21)中的系數，于是式(4.21)簡化為·(4.22)此時，抽樣序列的各個沖激響應零點恰好落在抽樣時刻上。就抽樣點疊加的數值而言，各種沖激響應互相不產生“串擾”，圖4.21所示正是這種情況。當ωs>2ωm時，只要選擇ωm<ωc<ωs－ωm即可正確恢復f(t)波形。當ωs<2ωm時，不滿足抽樣定理，

fs(t)的頻譜出現混疊，在時域圖形中，因Ts過大使沖激響應Sa函數的各種波形在時間軸上相隔較遠，無論如何選擇ωc都不可能使疊加后的波形恢復f(t)。4.4.3實際應用中的信號抽樣及恢復

1.零階抽樣保持

在以上分析中，假定抽樣脈沖是沖激序列，然而，在實際電路與系統中，要產生和傳輸接近δ函數的脈寬且幅度大的脈沖信號比較困難。為此，在數字通信系統中采用了其他抽樣方式，最常見的一種方式稱為零階抽樣保持(或零階保持抽樣，也簡稱為抽樣保持)，圖4.22和4.23分別示出了產生這種抽樣信號的框圖和波形。我們注意到，在這里并不是簡單地將信號f(t)與抽樣信號p(t)相乘。在抽樣瞬間，脈沖序列p(t)對f(t)抽樣，并保持這一樣本值直到下一個抽樣瞬時為止。因此得到的輸出信號fs0(t)具有階梯形狀。圖4.22零階抽樣保持框圖時間的抽樣保持電路有多種形式，圖4.24示出了在大規模集成電路芯片中可以采用的一種電路實例，圖中，MOS晶體管M1和M2為開關，當窄脈沖p1(t)（注意不是沖激序列）到來時，M1、M2導通將f(t)抽樣值引到電容C兩端，此后，電容兩端電壓即保持這一樣本值到下一個抽樣脈沖到來，依此重復即可由f(t)產生fs0(t)波形。圖4.23零階抽樣保持波形圖4.24抽樣保持電路舉例

fs0(t)經傳輸到接收端后需要恢復f(t)信號，為分析如何恢復，借助沖激序列抽樣信號的時域與頻域特性，假定：(4.23)(4.24)式中:Ts為抽樣周期；為重復角頻率；F(ω)為f(t)的頻譜。為求得fs0(t)的頻譜，構成一個線性時不變系統，它具有如下的沖激響應(見圖4.25)：

h0(t)=u(t)－u(t－Ts)

顯然，令fs(t)通過此系統即可在輸出端產生fs0(t)波形，因此可以給出:

fs0(t)=fs(t)*h0(t)

式中:h0(t)的傅里葉變換式為圖4.25沖激響應為h0(t)的系統由頻域關系式得·(4.25)可以看出，零階抽樣保持信號fs0(t)的頻譜的基本特征仍然是F(ω)頻譜以ωs周期重復，但是要乘函數，此外還附加了延時因子項。當F(ω)頻帶受限且滿足抽樣定理時，為復原F(ω)頻譜，在接收端不應利用理想低通濾波器，而是需要引入具有補償性的低通濾波器

(4.26)補償性低通濾波器的幅度特性|H0r(jω)|和相頻特性j(ω)曲線如圖4.26所示。當fs0(t)通過此補償濾波器后，即可復原信號f(t)。從頻域特性解釋，將Fs0(ω)和H0r(jω)相乘，即可得到F(ω)。注意，此處相頻特性斜率為正值，而實際的濾波器相頻特性為負值。一般情況下，在通信系統中，只要求幅頻特性盡可能滿足補償要求，而相頻特性無需滿足式(4.26)，當然，應具有線性相移特性。例如，若H0r(jω)為

函數，則所恢復的f(t)波形在形狀上無失真，僅在時間軸上滯后。圖4.26補償低通特性

2.一階抽樣保持

如果將連續函數f(t)各樣本值用直線連接可構成折線形狀的波形,如圖4.25(c)中的fs1(t)，這種信號稱為f(t)的一階抽樣保持信號。

下面分析fs1(t)的頻譜并導出由此恢復f(t)的方法，構造一個線性時不變系統，它具有三角波形的沖激響應特性h1(t)，如圖4.27(a)所示，表達式如下:當沖激抽樣序列fs(t)通過此系統時，即可在輸出端產生fs1(t)波形，如圖4.27(a)所示，這里每個δ函數產生一個三角波形的響應如圖4.27(c)中的虛線，全部虛線疊加構成了折線圖形fs1(t)。不難求得h1(t)的頻譜為(4.27)由頻域關系式得·(4.28)圖4.27一階抽樣保持可以看出，一階抽樣保持信號fs1(t)的頻譜基本特征仍然是F(ω)頻譜以ωs周期重復，倍乘函數為。當F(ω)頻帶受限且滿足抽樣定理時，為重建F(ω)頻譜，需要引入具有如下補償特性的低通濾波器:(4.29)在以上討論中，沒有考慮信號產生、傳輸、恢復過程中引入的延時，Fs1(ω)相對于Fs(ω)未引入相移，H1r(jω)的相移特性也為零，沖激響應為h1(t)的系統是非因果系統（三角波形在t<0即出現）。這使以上分析過程的表達式得以簡化。如果引入時延特性，在線性相移的條件下，最終仍可無失真重建f(t)，只是在時間軸上相對于原信號有一定延時。

本節討論了由抽樣信號恢復原連續時間信號的方法，這類問題的本質可歸結為由樣本值重建某一函數。從樣本重建信號的過程也稱為“內插”。內插可以是近似的，也可以是完全精確的。在圖4.21中，由沖激抽樣信號產生Sa函數實現內插，完成了f(t)信號的精確恢復。這種重建過程也稱帶限內插。此時，f(t)的頻帶必須受限，且要滿足抽樣定理的要求。由于要產生接近沖激序列的信號和接近理想低通的系統都相當困難，因而這種方法在實際問題中很少采用。從內插的觀點考慮，零階抽樣保持信號fs0(t)和一階抽樣保持信號fs1(t)都是對信號f(t)的逼近，分別用階梯信號和折線信號近似表示連續的函數曲線，后者也稱為線性內插。這些近似比較粗糙，如果在樣本點之間用高階多項式或其他數學函數進行擬合，可以得到更為精確的逼近函數。

目前，在數字通信系統中廣泛采用零階抽樣保持來產生和傳輸信號，在接收端利用補償濾波器（大致如圖4.24特性）恢復連續時間信號。

4.5調制與解調

在通信系統中，信號在發射端傳輸到接收端，往往需要進行調制和解調。

無線電通信系統是通過空間輻射方式傳送信號的，由電磁波理論可以知道，天線尺寸為被輻射信號波長的十分之一或更大些，信號才能有效地被輻射。對于語音信號來說，相應的天線尺寸要在幾十公里以上，但實際上不可能制造這樣的天線。調制過程將信號頻譜搬移到任何所需的較高頻率范圍，這就容易以電磁波形式輻射出去。從另一方面講，如果不進行調制就把被傳送的信號直接輻射出去，那么各電臺所發出的信號頻率就會相同，它們混在一起，收信者將無法選擇所要接收的信號。調制作用的實質是把各種信號的頻譜搬移，使它們互不重疊，占據不同的頻率范圍，也即信號分別托附于不同頻率的載波上，這樣接收機就可以分離出所需頻率的信號，不至于互相干擾。此問題的解決為在一個信道中傳輸多對通話提供了依據，這就是利用調制原理實現“多路復用”。在簡單的通信系統中，每個電臺只允許有一對通話對使用，而“多路復用”技術可以用同一部電臺將各路信號的頻譜分別搬移到不同的頻率區段，從而完成在一個信道內傳送多路信號的“多路通信”。近代通信系統中，無論是有線傳輸或無線傳輸，都廣泛采用多路復用技術。

下面應用傅里葉變換的某些性質說明搬移信號頻譜的原理。設載波信號為cos(ω0t)，它的傅里葉變換為

F［cos(ω０t)］=π［δ(ω+ω0)+δ(ω－ω0)］

若調制信號g(t)的頻譜為G(ω)，占據－ωm~ωm的有限頻帶，如圖4.28(b)所示。將

g(t)與cos(ω0t)進行時域相乘(見圖4.28(a))即可得到已調信號f(t)，根據卷積定理容易求得已調信號的頻譜F(ω)，過程如下：

由圖4.26可見，信號的頻譜被搬移到載頻ω0附近。由已調信號f(t)恢復原始信號g(t)的過程稱為解調，圖4.29(a)示出了實現解調的一種原理方框圖，其中，cos(ω0t)信號是接收端的本地載波信號，它與發送端的載波同頻同相。

f(t)與cos(ω0t)相乘的結果使頻譜F(ω)向左、右分別移動±ω0(并乘以系數1／２)，得到如圖4.29(b)所示的頻譜G0(ω),此圖形也可從時域的相乘關系得到解釋：圖4.28調制原理方框圖及其頻譜圖4.29同步解調原理方框圖及其頻譜再利用一個低通濾波器(帶寬大于ωm，小于2ω0－ωm)，濾除在頻率為2ω0附近的分量，即可取出g(t)，完成解調，詳見圖4.29(b)。

這種解調器稱為乘積解調(或同步解調)，需要在接收端產生與發送端頻率相同的本地載波，這將使接收機復雜化。為了在接收端省去本地載波，可采用如下方法：在發射信號中加入一定強度的載波信號Acos(ω0t)，這時，發送端的合成信號為［A+g(t)］cos(ω0t)，如果A足夠大，對于全部t，有A+g(t)>0，于是，已調信號的包絡就是A+g(t)(見圖4.30)。這時，利用簡單的包絡檢波器(由二極管、電阻、電容組成)即可從圖4.30相應的波形中提取包絡，恢復g(t)，不需要本地載波。此方法常用于民用通信設備(例如廣播接收機)，這時需要降低接收機的成本，但付出的代價是要使用價格昂貴的發射機，因為需要提供足夠強的信號Acos(ω0t)的附加功率。顯然，這是合算的，因為對于大多數的接收機來說，只有一個發射機。由圖4.30中波形不難發現，在這種調制方法中，載波的振幅隨信號g(t)成比例地改變，因而稱為“振幅調制”或“調幅”(AM)；前述不傳送載波的方案則稱為“抑制載波振幅調制”(AM-SC)；此外，還有“單邊帶調制”(SSB)、“殘留邊帶調制”(VSB)等等。圖4.30調幅、抑制載波調幅及其解調波形也可以控制載波的頻率與相位，使它們隨信號g(t)成比例地變化，這兩種調制方法分別稱為“頻率調制”或“調頻”(FM)與“相位調制”或“調相”(PM)。它們的原理也是使g(t)的頻譜G(ω)搬移，但搬移以后的頻譜不再與原始頻譜相似。

調制理論的詳細研究將是通信原理課程的主題，而各種調制電路的分析要在高頻電路(通信電路)課程中學習。

4.6小結

本章將傅里葉變換引入系統分析中，即頻域分析法。系統的頻