函數的概念與性質（知識清單）-2026年高考數學一輪復習（原卷版）

專題01函數的概念與性質

目錄

01理?思維導圖：呈現教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤?基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。

【知能解讀01】函數的相關概念

【知能解讀02】函數的單調性

【知能解讀。3】函數的奇偶性

【知能解讀04】函數的周期性

【知能解讀05】函數的對稱性

03破?重點難點：突破重難點，沖刺高分。屈屈

【重難點突破01】函數值域的求法

【重難點突破02】常見奇/偶函數的類型及應用

【重難點突破03】函數的奇偶性、周期性、對稱性關系

【重難點突破04】抽象函數的性質綜合

04辨?易混易錯：辨析易混易錯知識點，夯實基礎。

【易混易錯01】復合函數定義域忽略內層值域與外層定義域關系致錯

【易混易錯02】忽略二次型式子最高次系數為0致錯

【易混易錯03］判斷函數奇偶性時忽略定義域致錯

【易混易錯04］利用單調性解不等式時忽略定義域致錯

【易混易錯05］研究分段函數單調性時忽略分段點致錯

05點?方法技巧：點撥解題方法，練一題通一類

【方法技巧01】函數定義域的常見類型

【方法技巧02】求函數解析式常用方法

【方法技巧03】分段函數的常見類型及解法

【方法技巧04】函數單調性的應用及方法

【方法技巧05】函數奇偶性的應用及方法

思維3槌

o難點：抽象函數的函數性質應用

知怩解犢01函數的相關概念

1、函數的定義：一般地，設A,3是非空的數集，如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應

關系了,在集合3中都有唯一確定的y和它對應，那么就稱3為從集合A到集合5的一個函數,

記作y=/(x),xeA.

2、函數的三要素

(1)在函數y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；

(2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合伏尤)|尤GA｝叫做函數的值域。顯然，值域是集合8的

子集.

(3)函數的對應關系：y=/(x),xeA.

3、相等函數與分段函數

(1)相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等.

(2)分段函數：在函數定義域內，對于自變量*取值的不同區間，有著不同的對應關系，這樣的函數稱為

分段函數.分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數雖然是由幾個部分構

成，但它表示的是一個函數，各部分函數定義域不可以相交.

【真題實戰】(2025.北京.二模)函數〃元)=6巨+2的定義域為.

如惚解核402函數的單調性

1、單調函數的定義

設函數/(X)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值看,馬，

當王＜/時，都有了(X1)＜，(X2)，那么就說函數段)在區間D上是單調遞增函數。

當王＜%2時，都有/'(匹)＞_/＞(0)，那么就說函數加。在區間D上是單調遞減函數。

單調性的圖形趨勢(從左往右)

2、函數的單調區間

若函數在區間D上是增函數或減函數，則稱函數y=*切在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D

叫做y=#x)的單調區間.

【注意】

(1)函數單調性關注的是整個區間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，故單調區間的端點若屬于定義

域，則區間可開可閉，若區間端點不屬于定義域則只能開.

(2)單調區間。U定義域/.

(3)遵循最簡原則，，單調區間應盡可能大；

(4)單調區間之間可用“，”分開，不能用“U”，可以用“和”來表示.

3、函數單調性的性質

若函數/(x)與g(x)在區間。上具有單調性，則在區間。上具有以下性質：

(1)/(x)與/(x)+C(C為常數)具有相同的單調性.

(2)/(x)與—/(%)的單調性相反.

(3)當。＞0時，4。)與/(%)單調性相同；當。＜0時，4(x)與/(x)單調性相反.

(4)若/(幻加，則/(%)與乂而具有相同的單調性.

(5)若/(%)恒為正值或恒為負值，則當。＞0時，/(x)與」一具有相反的單調性；

/(%)

當。＜0時，/(x)與具有相同的單調性.

/(X)

(6)/(x)與g(x)的和與差的單調性(相同區間上)：

簡記為：/+/=/;(2)'+、=';(3)/-、=/;(4)'-/=、.

(7)復合函數的單調性：對于復合函數y=/[g(x)],

若f=g(x)在區間(a,b)上是單調函數，且在區間(g(a),g(6))或(g(6),g(a))上是單調函數

若f=g(x)與＞=式。的單調性相同，則y=/[g(x)]為增函數

若f=g(x)與y=/⑺的單調性相反，則y=/[g(x)]為減函數.簡稱“同增異減

【真題實戰】(2025?浙江金華?三模)已知函數/(X)=〃?-Inx在區間(1,4)上單調遞增，則。的最小值為

()

A.1B.2C.3D.4

笈惚解篌403函數的奇偶性

1、函數的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/(尤)的定義域內任意一個無，都

偶函數關于y軸對稱

有/(_x)=y(x),那么函數/(x)是偶函數

如果對于函數/(X)的定義域內任意一個工,都

奇函數關于原點對稱

有/(_九)=—/(%),那么函數了(%)是奇函數

2、函數奇偶性的幾個重要結論

(1)/(X)為奇函數=/(x)的圖象關于原點對稱；f(x)為偶函數=/0)的圖象關于y軸對稱.

(2)如果函數/(X)是偶函數,那么f(x)=/(W).

(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即/(x)=0,xe。，其中定義域。是關于原點對稱的非

空數集.

(4)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.

(5)偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于

原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數.

【真題實戰】(2025?全國一卷?高考真題)設f(x)是定義在R上且周期為2的偶函數，當24x<3時，

D.~2

知怩解族104函數的周期性

1、周期函數的定義

對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有/(x+T)=f(x)，那

么就稱函數f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

2、最小正周期：如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做了(無)的

最小正周期.

【真題實戰】(2025?吉林?三模)已知/(無)是定義在R上的奇函數，且〃1-2”是偶函數，當xe(O,l]

時，/(x)=-x2,則〃7)=()

A.-49B.-1C.0D.1

笈惚解禳405函數的對稱性

1、關于線對稱

若函數y=f(x)滿足了(.+無)=/(方-x),則函數y=f(x)關于直線x=土也■對稱，特別地，當。=6=0時，

2

函數y=f(x)關于y軸對稱，此時函數y=/(x)是偶函數.

2、關于點對稱

若函數>=/(尤)滿足f(2a-x)=26-/(元)，則函數y=f(x)關于點3，6)對稱，特別地，當4=0,6=0時,

/(x)=-/(-x),則函數y=f(x)關于原點對稱，此時函數f(x)是奇函數.

【真題實戰】(2025?湖南長沙?三模)己知函數f(x)和g(x)的定義域均為R,且y=/(4+x)為偶函數，

y=g(尤+4)+1為奇函數，若VxeR,均有/(x)+g(x)=Y+1,則f(7>g(7)=()

A.575B.598C.621D.624

◎￡1q點燃點

童難立突破01函數值域的求法

1、單調性法：如果一個函數為單調函數，則由定義域結合單調性可快速求出函數的最值（值域）.

2、圖象法：作出函數圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數值的區域確定值域.

3、配方法：主要用于二次函數或可化為二次函數的函數，要特別注意自變量的取值范圍.

4、換元法：換元法是將函數解析式中關于尤的部分表達式視為一個整體，并用新元f代替，將解析式化歸

為熟悉的函數，進而解出最值（值域）.

5、分離常數法：主要用于含有一次的分式函數，形如丁=竺吆或丫=竺~竺J（a,c至少有一個不

cx+dcx+a

為零）的函數，求其值域可用此法.

nv~+bx+C

6、判別式法：主要用于含有二次的分式函數，形如：y=-------------

ax~+ex+j

將函數式化成關于X的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數y的取值范圍，即得函數的值域。應用

判別式法時必須考慮原函數的定義域，并且注意變形過程中的等價性.

7、導數法：對可導函數/（x）求導，令/（x）=O,求出極值點，判斷函數的單調性，函數最值在極值點處

或區間端點處.

【典例1］（24-25高三上?福建福州?月考）下列函數最小值為4的是（）

424

A.y=x+—B.y=x+—

xx~

C.y=|x+4|D.y=（x+4）2

【典例2】（2025?甘肅金昌?模擬預測）已知正數x,y滿足x+y=4,則而T-y的取值范圍為（

A.(5/5,3]B.(-3,75)C.灼D.(73,3)

【典例3】（2025嚀夏陜西模擬預測）已知函數/（x+l）=2「2T,則在上的最大值為（）

315

A.-B.—C.0D.1

24

《難點突破02常見奇/偶函數的類型及應用

1、/（%）二優+“一"（〃>0且〃。0）為偶函數;

2、f^=ax-a~x(〃>。且〃。0)為奇函數；

3、/⑴:〃一--(a>0且awO)為奇函數；

b—Y

4、%)=log-------(〃〉°且〃。0/。0)為奇函數；

-ab+x

5、/(x)=log”(J.2+1±x)(〃>°且〃三0)為奇函數；

6、/(%)=|av+Z?|+|ar-Z?|為偶函數；

7、/(%)二麻+,-麻—，為奇函數.

【典例1】(2025?重慶沙坪壩?模擬預測)已知函數/(%)=5皿叱(2，+4.2-，)為偶函數，則實數〃的值

為.

【典例2】(2025?河北?模擬預測)若/(尤)=(e，-eT)log2("?W+6)(其中a>0)是偶函數，貝陷=

()

A.2B.1C.—D.一

22

童難立突破03函數的奇偶性、周期性、對稱性關系

(1)函數/(九)是偶函數；②函數圖象關于直線x=a對稱；③函數的周期為21al.

(2)函數/(%)是奇函數；②函數圖象關于點(a,0)對稱；③函數的周期為21al.

(3)函數/(%)是奇函數；②函數圖象關于直線x=a對稱；③函數的周期為4時.

(4)函數/(%)是偶函數；②函數圖象關于點(a,0)對稱；③函數的周期為41d.

其中aw0,上面每組三個結論中的任意兩個能夠推出第三個.

【典例1】(2025?廣東惠州?模擬預測)已知函數的定義域為R,"尤+2)為偶函數，〃x+l)為奇函

數，則()

A.=0B.”-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

【典例2】(2025?江蘇鎮江?模擬預測)已知函數/(x)滿足：①/(x+1)為奇函數；②

20

f(x+2)=f(2-x)+2x,則E于①=.

1=1

童難點突破04抽象函數的性質綜合

1、抽象函數求值：以抽象函數為載體的求值問題的常見形式，是給出函數滿足的特殊條件，指定求出某

處的函數值或某抽象代數式的值.常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令％=,-2,-1,0,1,2..等特

殊值求抽象函數的函數值.

2、判斷抽象函數單調性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結論；

(2)賦值：給變量賦值要根據條件與結論的關系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數y)=…，判斷符號時要變形為：

fM-/(%1)=/((%一陽)+X1)—/(xJ或/(%2)-/(%1)=/(%)—/((七一%)+%)；

②若給出的是“積型”抽象函數〃孫)=…，判斷符號時要變形為：

—/(又)或/(%)一/(%)=/(%)一/9,土.

\XlJ\X2J

【典例1】(2025?山東青島?三模)已知函數/(尤)的定義域為R,/(x+y)-/(x-y)=2/(l-x)/(y),

"D=l,則八2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

【典例2](24-25高三上?安徽亳州?月考)已知函數〃x)對任意實數x、y恒有〃x+y)=〃x)+/(江

當x>0時，/(x)<0,且/(l)=-2.

⑴求證：為奇函數，并求〃-2)的值；

(2)判斷了(尤)在R上的單調性，并說明理由；

⑶若對任意xeR,不等式/(改2)+〃_2。</(耳+4恒成立，求實數。的取值范圍.

◎H曷溟曷錯

易能易譽([01復合函數定義域忽略內層值域與外層定義域關系致錯

辨析：在復合函數中，外層函數的定義域是內層函數的值域，求復合函數定義域類型為：

1、已知了(X)的定義域為A,求/'(g(x))的定義域，其實質是g(x)的取值范圍為A,求X的取值范圍;

2、已知/(g(x))的定義域為B,求/(%)的定義域,其實質是已知/(g(x))中的x的取值范圍為B,求g(x)

的范圍(值域)，此范圍就是/(x)的定義域.

3、已知/'(g(x))的定義域，求/(〃(x))的定義域，要先按(2)求出了(無)的定義域.

【典例1](24-25高三上?福建寧德?開學考試)已知函數y=/(2x-l)的定義域是[-1,3],則/=痣^的

定義域是()

A.(-2,5]B.(-2,3]C.[-1,3]D.[-2,5]

【典例2](24-25高三上.云南保山.全真模擬)已知函數=則函數g(x)=〃2x)+/(尤2)的

定義域為()

A.[-V2V2]B.(—co,0]C.D.[-

易混易錯二02忽略二次型式子最高次系數為0致錯

辨析：在二次型函數丁=以2+6%+。中，當awO時為二次函數，其圖象為拋物線；當a=O,b/O時為一

次函數，其圖象為直線。在處理此類問題時，應密切注意/項的系數是否為o,若不能確定，應分類討論，

另外有關三個“二次”之間的關系的結論也是我們應關注的對象.

【典例1](24-25圖三上?四川內江?月考)已知函數/(x)=dmx2+:nr+l的定義域是R，則機的取值范圍

是()

A.0<<4B.0<m<4C.m>4D.0<m<4

y1

【典例2](23-24高三上.陜西漢中?月考)函數〃x)=^_；的定義域為R,貝M的取值范圍為

ax-2ax+\

()

A.{4。<〃<1}B.?<0或a>l}C.D.{4〃40或〃川

易福易錯：03判斷函數奇偶性時忽略定義域致錯

辨析：函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱.若不具備這個條件，一定是非奇非偶函

數.在定義域關于原點對稱的前提下，如果對定義域內任意X都有/（-x）=-/（%）,則/（X）為奇函數；如

果對定義域內任意X都有/（-x）=/（x）,則/（X）為偶函數，如果對定義域內存在尤0使/（-/）#-/（/），

則/（X）不是奇函數；如果對定義域內存在與使/（-/）//（小），則/（X）不是偶函數.

【典例1］（24-25高三下?重慶?月考）己知函數〃尤）=ln=（。為常數），貝u（）

A.BaeR,/（x）為偶函數

B.3aeR,〃尤）為奇函數

C.3aeR,/（尤）為既奇又偶函數

D.VaeR,/（%）為非奇非偶函數

【典例2】（2025?山東濟寧?模擬預測）己知函數/（x）=不京，則下列是奇函數的是（）

3—3

A./（%+2）+；B./（x+1）-^

C.f（x+2）+3D./（x+1）-3

易混易播[04利用單調性解不等式時忽略定義域致錯

辨析：解抽象函數不等式時需要注意函數的定義域，需在函數定義域前提下利用函數的單調性與奇偶性進

行求解.

【典例1】（2025.河南.三模）已知"X）為定義在（-4,4）上的奇函數，若“X）在［0,4）上單調遞減,則滿

足不等式f（a+l）+/（l-的實數0的取值范圍是（）

A.卜石,+（?）B.C.（-指,-1）（2,小）D.卜逐,-1）（1,逐）

【典例2］（24-25高三下?甘肅白銀?月考）若函數〃x）=ln￡,則不等式/（f?-4尤一2）+〃7x）<0的

解集為（）

A.{x\l<x<2}B.卜

D.0

易混易褶（研究分段函數單調性時忽略分段點致錯

辨析：分段函數的單調性與分段點息息相關，在判斷分段函數的單調性或者根據分段函數單調性解參數的

題目中，除了考慮每一段的單調性還需要單獨考慮分段點的情況.

/、-x+ax,x<l

【典例1］（24-25高三上?天津?月考）若函數、、/滿足對任意實數者二%，都有

^6-a）x-a,x>1

/&）-y（%）>。成立，則實數。的取值范圍是（）

Xx—X1

7

A.(-co,2]B.(1,2)C.[2,6)D.2,J

x2-lax—l,x<l

【典例2】（2024.廣東韶關.一模）已知函數〃力=2C在R上是單調函數，貝心的取值范圍

—6,x>l

lx

是()

A.(-a),2]B.[1,2]C.(l,+oo)D.[2,+00)

力法技巧

方法技巧01函數定義域的常見類型

函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值范圍

1、分式的分母不能為零.

2、偶次方根的被開方數的被開方數必須大于等于零，即祗（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被開方數取全體實數，即底（其中〃=2左+1,左eN*）中，xeR.

3、零次幕的底數不能為零，即x°中無，0.

4、如果函數是一些簡單函數通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各個簡單簡單函數定義域的交集.

【注意】定義域用集合或區間表示，若用區間表示熟記，不能用“或”連接，而應用并集符號“U”連接.

【典例1】（24-25高三下?內蒙古呼和浩特?月考）已知函數〃x）=Jx2-6x+5+二二的定義域為（）

A.(1,5)B.(-oo,l)u(5,+oo)

C.(fl](5,+co)D.(-<o,l]u[5,+oo)

2

【典例2】(24-25高三上?山東?月考)函數了={7_卜=31的定義域是()

A.(yio)B.(-10,4)C.(-W,T)(10,+w)D.

方法技巧02求函數解析式常用方法

1、待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數等)，可用待定系數法.

(1)確定所有函數問題含待定系數的一般解析式；

(2)根據恒等條件，列出一組含有待定系數的方程；

(3)解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決.

2、換元法：主要用于解決已知/(g(x))的解析式，求函數的解析式的問題.

(1)先令g(x)=f,注意分析/的取值范圍；

(2)反解出尤，即用含/的代數式表示尤；

⑶將/(g(%))中的x度替換為t的表示,可求得/⑺的解析式,從而求得〃江

3、配湊法：由已知條件/(g(￡))=/(%),可將/(龍)改寫成關于g(x)的表達式，然后以無替代g(x),便

得八X)的解析式.

4、方程組法：主要解決已知與/(-尤)、f的方程，求了(%)解析式.

例如：若條件是關于"％)與/(-%)的條件(或者與的條件，可把x代為-x(或者把x代為

-)得到第二個式子，與原式聯立方程組，求出/(%).

X

1—X2/、

【典例1](24-25高三上?河北承德?月考)已知函數=5臺(/0),貝葉(彳)=()

A.71吊T("0)B.(—

(尤T)(1)

44

C.7~不一1(戶。)D.7~~不T("1)

(xT)(1)

【典例2](24-25高三上?安徽安慶?月考)⑴已知〃X)-2/R)=3X+2,求的表達式;

(2)已知奇函數的定義域為R,當x>0時，/(%)=x2+x+l.求函數的解析式.

方法技巧03分段函數的常見類型及解法

1、求函數值問題：根據所給自變量值的大小，選擇相應的對應關系求值，有時每段交替使用求值.

2、解方程或解不等式：分類求出各子區間上的解，再將它們合并在一起，但要檢驗所求是否符合相應各段

自變量的取值范圍.

3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后進行比較得出最大值、最小值，合并得出值域.

4、圖象及其應用：根據每段函數的定義域和解析式在同一坐標系中作出圖象，作圖時要注意每段圖象端點

的虛實.

2X>4

【典例1】(2025?云南麗江?三模)已知函數〃x)=,、x一小則/(2+題23)的值為()

I\十LI%

A.24B.4C.12D.8

/、-x+lax-a2+l,x<a,

【典例2】(2025?湖北?二模)已知a>0且"1,若函數"％=…、c的值域為R,

Q+lOga(x+〃)-2,X>Q

則實數〃的取值范圍為()

A.B.C.(1,2]D.[2,包)

0一%—1r<0

【典例3】(2025?山東濟南?一模)已知函數「二’則/(2"+/(尤-3)>。的解集是()